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基础知识·预习
问题1 结合二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象总结：
(1)抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y随x的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象有什么关系？
问题1 结合二次函数$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2$和$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的图象总结：
(1)抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y随x的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$的图象与$y=ax^2$的图象有什么关系？
答案
1.(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数a决定：当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下；它的对称轴是直线x=h；顶点坐标是(h, 0)。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而增大，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：当h＞0时，将$y=ax^2$的图象向右平移h个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象；当h＜0时，将$y=ax^2$的图象向左平移|h|个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而增大，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：当h＞0时，将$y=ax^2$的图象向右平移h个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象；当h＜0时，将$y=ax^2$的图象向左平移|h|个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象。
解析
【分析】
解决本题可从题目给出的两个具体二次函数入手，类比已学的$y=ax^2$的性质，推广到一般形式$y=a(x-h)^2$的性质：
1. 针对问题1(1)：观察给出的两个函数二次项系数均为$-\frac{1}{2}$，开口都向下，可推断开口方向和$a$的符号有关；再看两个函数括号内分别为$(x+1)$、$(x-1)$，对应对称轴分别为直线$x=-1$、直线$x=1$，顶点分别为$(-1,0)$、$(1,0)$，由此可总结一般式的对称轴和顶点规律。
2. 针对问题1(2)：结合抛物线开口方向，分对称轴两侧讨论增减性：开口向上时左降右升，开口向下时左升右降。
3. 针对问题2：两个函数二次项系数$a$相同，说明图象形状、开口方向一致，仅$x$的表达式有差异，结合图象平移“左加右减”的规律即可得到两个图象的平移关系。
【解析】
问题1解答
(1) 对比两个给定函数的性质：两个函数的$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口均向下，可知抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
从$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2$的对称轴为直线$x=-1$、顶点$(-1,0)$，$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$、顶点$(1,0)$，可总结得：抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) 结合开口方向和对称轴分析增减性：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧（$x＜h$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$）时，$y$随$x$的增大而增大。
当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜h$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$）时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2解答
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$与$y=ax^2$的二次项系数$a$完全相同，因此两个函数的图象形状、开口方向完全一致，仅位置不同，平移规律如下：
当$h＞0$时，将$y=ax^2$的图象向右平移$h$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象；
当$h＜0$时，将$y=ax^2$的图象向左平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象。
【答案】
1.(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数a决定：当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下；它的对称轴是直线x=h；顶点坐标是(h, 0)。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而增大，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：当h＞0时，将$y=ax^2$的图象向右平移h个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象；当h＜0时，将$y=ax^2$的图象向左平移|h|个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础性质的考察题，通过具体函数推导一般顶点式的性质，能帮助学生理解记忆“左加右减”的平移规律和顶点式各参数的意义，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
解决本题可从题目给出的两个具体二次函数入手，类比已学的$y=ax^2$的性质，推广到一般形式$y=a(x-h)^2$的性质：
1. 针对问题1(1)：观察给出的两个函数二次项系数均为$-\frac{1}{2}$，开口都向下，可推断开口方向和$a$的符号有关；再看两个函数括号内分别为$(x+1)$、$(x-1)$，对应对称轴分别为直线$x=-1$、直线$x=1$，顶点分别为$(-1,0)$、$(1,0)$，由此可总结一般式的对称轴和顶点规律。
2. 针对问题1(2)：结合抛物线开口方向，分对称轴两侧讨论增减性：开口向上时左降右升，开口向下时左升右降。
3. 针对问题2：两个函数二次项系数$a$相同，说明图象形状、开口方向一致，仅$x$的表达式有差异，结合图象平移“左加右减”的规律即可得到两个图象的平移关系。
【解析】
问题1解答
(1) 对比两个给定函数的性质：两个函数的$a=-\frac{1}{2}＜0$，开口均向下，可知抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由$a$的符号决定：$a＞0$时开口向上，$a＜0$时开口向下。
从$y=-\frac{1}{2}(x+1)^2=-\frac{1}{2}[x-(-1)]^2$的对称轴为直线$x=-1$、顶点$(-1,0)$，$y=-\frac{1}{2}(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$、顶点$(1,0)$，可总结得：抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的对称轴是直线$x=h$，顶点坐标为$(h,0)$。
(2) 结合开口方向和对称轴分析增减性：
当$a＞0$时，抛物线开口向上，在对称轴左侧（$x＜h$）时，$y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧（$x＞h$）时，$y$随$x$的增大而增大。
当$a＜0$时，抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜h$）时，$y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞h$）时，$y$随$x$的增大而减小。
问题2解答
二次函数$y=a(x-h)^2(a≠0)$与$y=ax^2$的二次项系数$a$完全相同，因此两个函数的图象形状、开口方向完全一致，仅位置不同，平移规律如下：
当$h＞0$时，将$y=ax^2$的图象向右平移$h$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象；
当$h＜0$时，将$y=ax^2$的图象向左平移$|h|$个单位长度，即可得到$y=a(x-h)^2$的图象。
【答案】
1.(1) 抛物线$y=a(x-h)^2(a≠0)$的开口方向由系数a决定：当a＞0时开口向上，当a＜0时开口向下；它的对称轴是直线x=h；顶点坐标是(h, 0)。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而减小，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧也就是x＜h时，y随x的增大而增大，在对称轴右侧也就是x＞h时，y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状、开口方向完全相同，仅位置不同：当h＞0时，将$y=ax^2$的图象向右平移h个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象；当h＜0时，将$y=ax^2$的图象向左平移|h|个单位长度就得到$y=a(x-h)^2$的图象。
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数增减性，二次函数图象平移
【点评】
本题是二次函数基础性质的考察题，通过具体函数推导一般顶点式的性质，能帮助学生理解记忆“左加右减”的平移规律和顶点式各参数的意义，是后续学习复杂二次函数的重要基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】已知二次函数 $y=(x-3)^2$.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)已知点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴的右侧, $x_1＜x_2$,试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小.
【解】(1)二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上,对称轴是直线 $x=3$,顶点坐标为 $(3,0)$.
(2)由(1)知二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上.
∵点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴右侧, $x_1＜x_2$,
∴$y_1＜y_2$.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
(2)已知点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴的右侧, $x_1＜x_2$,试比较 $y_1$ 与 $y_2$ 的大小.
【解】(1)二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上,对称轴是直线 $x=3$,顶点坐标为 $(3,0)$.
(2)由(1)知二次函数 $y=(x-3)^2$ 的图象开口向上.
∵点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 在该二次函数图象上,且都在对称轴右侧, $x_1＜x_2$,
∴$y_1＜y_2$.
答案
解：
(1) 该二次函数的二次项系数为$1$，大于$0$，因此图象开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)知二次函数$y=(x-3)^2$的图象开口向上，在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
(1) 该二次函数的二次项系数为$1$，大于$0$，因此图象开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)知二次函数$y=(x-3)^2$的图象开口向上，在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
解析
【分析】
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次项系数$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题给出的函数$y=(x-3)^2$对应$a=1$、$h=3$、$k=0$，代入对应性质即可求解。
（2）开口向上的二次函数，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。已知A、B两点均在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，结合增减性即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$的二次项系数为$1$，$1＞0$，因此图象开口向上；根据顶点式的性质，该函数的对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)可知二次函数$y=(x-3)^2$的图象开口向上，因此在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，满足$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(2) $y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，重点考察对二次函数顶点式参数意义、增减性规律的掌握，解题关键是熟练记忆顶点式对应的图象性质，是二次函数章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
本题考查二次函数顶点式的相关性质，解题思路如下：
（1）对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$，二次项系数$a$的符号决定开口方向：$a＞0$时图象开口向上，$a＜0$时图象开口向下；对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题给出的函数$y=(x-3)^2$对应$a=1$、$h=3$、$k=0$，代入对应性质即可求解。
（2）开口向上的二次函数，对称轴右侧$y$随$x$的增大而增大，对称轴左侧$y$随$x$的增大而减小。已知A、B两点均在对称轴右侧，且$x_1＜x_2$，结合增减性即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
【解析】
(1) 二次函数$y=(x-3)^2$的二次项系数为$1$，$1＞0$，因此图象开口向上；根据顶点式的性质，该函数的对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$。
(2) 由(1)可知二次函数$y=(x-3)^2$的图象开口向上，因此在对称轴直线$x=3$的右侧，$y$随$x$的增大而增大。
∵点$A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$在该二次函数图象上，且都在对称轴右侧，满足$x_1＜x_2$，
∴$y_1＜y_2$。
【答案】
(1) 开口向上，对称轴是直线$x=3$，顶点坐标为$(3,0)$；
(2) $y_1＜y_2$
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数增减性；二次函数图象特征
【点评】
本题属于二次函数性质的基础考查题，重点考察对二次函数顶点式参数意义、增减性规律的掌握，解题关键是熟练记忆顶点式对应的图象性质，是二次函数章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.85
