4.已知抛物线$y=mx^2+m-2(m≠0)$的顶点在$y$轴的负半轴上，且开口向上，则$m$的取值范围是。

4. $0＜m＜2$

【分析】
解题时先结合二次函数的性质分析两个条件：①抛物线开口向上，说明二次项系数大于0；②抛物线解析式中无一次项，对称轴为y轴，顶点坐标为$(0, m-2)$，顶点在y轴负半轴说明顶点纵坐标小于0。最后联立两个关于m的不等式求解即可得到取值范围。
【解析】
解：
∵ 抛物线$y=mx^2+m-2$开口向上，
∴ $m＞0$，
又
∵ 该抛物线顶点在y轴的负半轴上，且抛物线顶点坐标为$(0, m-2)$，
∴ $m-2 ＜ 0$，
解得：$m＜2$，
联立可得$m$的取值范围是$0＜m＜2$。
【答案】
$0＜m＜2$
【知识点】
二次函数的性质，解一元一次不等式
【点评】
本题考查二次函数的基础性质应用，解题核心是根据开口方向、顶点位置的特征列出对应不等式，属于基础题型，掌握二次函数图象与系数的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5. 抛物线 $ y = ax^2 + c (a ≠ 0) $ 与x轴交于A(-2,0),B两点,与y轴交于点C(0,-4),则△ABC的面积是。

5. 8

【分析】
要计算△ABC的面积，需先确定底AB的长度和AB边上的高。首先利用已知的抛物线上两点坐标求出抛物线解析式，再结合抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴的性质，得到B点坐标，算出AB长度；AB在x轴上，所以AB边上的高就是点C到x轴的距离，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
1. 求抛物线解析式：
将点C(0,-4)代入$y = ax^2 + c$，可得$c=-4$；
再将点A(-2,0)和$c=-4$代入解析式，得：
$0 = a×(-2)^2 -4$，即$4a=4$，解得$a=1$，
所以抛物线解析式为$y=x^2 -4$。
2. 求B点坐标：
抛物线$y=ax^2+c$的对称轴为y轴（直线$x=0$），A、B是抛物线与x轴的两个交点，两点关于对称轴对称，
已知A(-2,0)，因此B点坐标为(2,0)。
3. 计算△ABC的面积：
AB的长度为$|2 - (-2)|=4$，
点C(0,-4)到x轴（AB所在直线）的距离为$|-4|=4$，
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×底×高$，可得：
$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4×4=8$。
【答案】
8
【知识点】
二次函数的图像与性质，三角形面积计算，坐标与图形性质
【点评】
本题解题核心是利用抛物线的对称性快速得到B点坐标，再结合坐标的几何意义计算面积，属于基础题型，熟练掌握二次函数的基本性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

6. 将函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象适当地上下平移，使得到的新图象经过点$(4,-2)$，请求出平移的方向和距离。

6.【解】设新图象对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2+b$.
$\because$ 新图象经过点 $(4,-2)$,
$\therefore \frac{1}{2} × 4^2 + b = -2$.
解得 $b=-10$.
$\therefore$ 新图象对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2-10$.
$\therefore$ 将函数 $y=\frac{1}{2}x^2$ 的图象向下平移 10 个单位长度,得到的新图象经过点 $(4,-2)$.

【分析】
解决本题首先要明确二次函数上下平移的规律：二次函数图象上下平移时，二次项系数不变，仅常数项遵循“上加下减”的变化规律，即向上平移时常数项加平移距离，向下平移时常数项减平移距离。据此我们可以先设平移后的函数解析式为$y=\frac{1}{2}x^2+b$（$b$为常数，$b＞0$表示向上平移，$b＜0$表示向下平移，平移距离为$\vert b\vert$）。再根据“函数图象上的点坐标满足函数解析式”，将已知点$(4,-2)$代入设好的解析式，求出参数$b$的值，最后根据$b$的符号和绝对值即可判断平移的方向和距离。
【解析】
设平移后新图象对应的函数解析式为 $y=\frac{1}{2}x^2+b$。
$\because$ 新图象经过点 $(4,-2)$，
$\therefore$ 将$x=4$，$y=-2$代入解析式得：$\frac{1}{2} × 4^2 + b = -2$，
计算得：$8 + b = -2$，
解得 $b=-10$。
$\because b=-10＜0$，$\vert b\vert=10$，
$\therefore$ 平移方式为向下平移10个单位长度。
【答案】
将函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象向下平移10个单位长度。
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.待定系数法求解析式
3.点在函数图象上的性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查二次函数平移规律和待定系数法的应用，解题核心是牢记二次函数上下平移时仅常数项变化，遵循“上加下减”的规则，代入已知点求解参数即可得到结论，难度较低。
【难度系数】
0.8

7.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$是抛物线$y=-2x^2 -2$上的点，且$|x_1|＞|x_2|$，则$y_1$与$y_2$的大小关系为（）

A.$y_1=y_2$
B.$y_1＞y_2$
C.$y_1＜y_2$
D.无法确定

7. C

【分析】
首先先明确抛物线的基本性质：先看二次项系数判断开口方向，再确定对称轴，本题抛物线对称轴为y轴，|x|的几何意义是抛物线上的点到y轴（对称轴）的水平距离。对于开口向下的抛物线，离对称轴越远的点，对应的函数值越小，结合已知|x₁|＞|x₂|即可判断y₁和y₂的大小关系。
【解析】
对于抛物线$y=-2x^2 -2$：
1. 二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下；
2. 抛物线无一次项，对称轴为$y$轴（即直线$x=0$）；
3. 开口向下的抛物线上，点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小；
已知$|x_1|＞|x_2|$，说明点$A$到对称轴$y$轴的距离大于点$B$到$y$轴的距离，因此$y_1＜y_2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图象性质；二次函数值大小比较
【点评】
本题是二次函数的基础题型，解题核心是利用抛物线的开口方向和点到对称轴的距离关系判断函数值大小，也可以直接代入特殊值验证结果，属于易得分的常考题。
【难度系数】
0.8

8.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),C是y轴上的点,四边形OABC为矩形,AB=1.若抛物线$y=2x^2 + c$与矩形OABC的边总有两个公共点,则实数c的取值范围是 ()

A.$c＞8$或$c＜-1$
B.$-1＜c＜8$
C.$c＞1$或$c＜-8$
D.$-8＜c＜1$

8. D 【解析】如图,由题意得 $C(0,1),A(2,0)$.
当抛物线经过点 $C$ 时,抛物线与矩形的边只有一个公共点.
将 $(0,1)$ 代入 $y=2x^2 + c$,得 $c=1$.
当抛物线经过点 $A$ 时,抛物线与矩形的边只有一个公共点.
将 $(2,0)$ 代入 $y=2x^2 + c$,得 $8 + c = 0$,解得 $c=-8$.
结合图象得当 $-8＜c＜1$ 时,抛物线与矩形的边总有两个公共点. 故选 D.

【分析】
解题时首先根据矩形的性质确定矩形各顶点的坐标，明确抛物线是开口向上、对称轴为y轴的二次函数；接下来找抛物线与矩形边只有1个公共点的两个临界情况：抛物线经过点C、抛物线经过点A，将这两个点代入抛物线解析式求出对应c的临界值；最后结合函数图象，判断出两个公共点对应的c的取值范围即可。
【解析】
由题意，点A坐标为(2,0)，四边形OABC为矩形，AB=1，可得点C坐标为(0,1)。
① 当抛物线经过点C(0,1)时，抛物线与矩形的边只有1个公共点，将(0,1)代入$y=2x^2 + c$得：
$1=2×0^2 + c$，解得$c=1$。
② 当抛物线经过点A(2,0)时，抛物线与矩形的边只有1个公共点，将(2,0)代入$y=2x^2 + c$得：
$0=2×2^2 + c$，即$8+c=0$，解得$c=-8$。
结合图象可知，当$-8＜c＜1$时，抛物线$y=2x^2 + c$与矩形OABC的边总有两个公共点。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
二次函数图象与性质，矩形的性质，待定系数法求参数
【点评】
本题是二次函数与矩形结合的典型题型，解题核心是找到临界交点对应的参数值，结合图象判断参数范围，侧重考查数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6

9. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=ax^2+3(a≠0)$与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$于点B,C,则BC的长为.

9. 6

【分析】
要计算BC的长度，首先需要确定B、C两点的坐标，可按以下思路推导：
第一步，求点A的坐标：A是抛物线$y=ax^2+3$与y轴的交点，y轴上所有点横坐标为0，代入抛物线解析式即可得到A的纵坐标；
第二步，确定直线BC的解析式：BC过点A且平行于x轴，平行于x轴的直线上所有点纵坐标相等，因此直线BC的解析式为y等于A点的纵坐标；
第三步，求B、C坐标：将直线BC的解析式和抛物线$y=\frac{1}{3}x^2$联立，解方程得到两个交点的横坐标，两点纵坐标均为3；
第四步，计算BC长度：B、C纵坐标相同，两点距离等于横坐标之差的绝对值。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将$x=0$代入$y=ax^2+3$，得$y=3$，因此点A坐标为$(0,3)$。
2. 确定直线BC的解析式：
∵BC过点A且与x轴平行，
∴直线BC上所有点的纵坐标均为3，即直线BC的解析式为$y=3$。
3. 求B、C两点的坐标：
联立$\begin{cases}y=3 \\ y=\frac{1}{3}x^2 \end{cases}$，将$y=3$代入$y=\frac{1}{3}x^2$，得：
$3=\frac{1}{3}x^2$，解得$x^2=9$，即$x_1=3$，$x_2=-3$。
因此B点坐标为$(-3,3)$，C点坐标为$(3,3)$。
4. 计算BC的长度：
B、C两点纵坐标相同，因此$BC=|3 - (-3)|=6$。
【答案】
6
【知识点】
二次函数的图象与性质；直线解析式确定；两点间距离计算
【点评】
本题是二次函数基础题型，解题核心是先推导得到直线BC的解析式，再通过联立方程求交点坐标，进而计算线段长度，逻辑链条清晰，属于常规考查题型。
【难度系数】
0.8

10.若抛物线$y=2x^{m^2 -4m -3}+m -5$的顶点在$x$轴下方，则$m=$。

10. $-1$

【分析】
解题时首先明确抛物线对应二次函数，需满足两个条件：一是自变量x的最高次数为2，二是二次项系数不为0，据此先列方程求出m的可能取值；再结合二次函数的顶点性质，根据“顶点在x轴下方”的约束条件筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
∵ 函数$y=2x^{m^2 -4m -3}+m -5$是抛物线，属于二次函数
∴ x的最高次数为2，即：
$m^2 - 4m - 3 = 2$
整理得：$m^2 -4m -5 = 0$
因式分解得：$(m-5)(m+1)=0$
解得：$m=5$ 或 $m=-1$
又
∵ 二次项系数$2＞0$，该抛物线开口向上，且函数无一次项，顶点坐标为$(0, m-5)$
已知顶点在x轴下方，故顶点纵坐标小于0：
$m - 5 ＜ 0$，即$m ＜ 5$
∴ $m=5$不符合要求，舍去，故$m=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 二次函数的图象与性质
3. 一元二次方程的解法
【点评】
本题综合考查二次函数的基本概念和图象性质，解题时需先根据二次函数的定义确定参数的可能值，再结合图象约束条件筛选结果，易错点是遗漏二次函数次数要求或忽略对参数结果的验证。
【难度系数】
0.7

11.已知直线$y=2x$与抛物线$y=ax^2+3$（$a≠0$）相交于点$(2,b)$。
(1)求$a,b$的值。
(2)若直线$y=2x$上点A的纵坐标为2，抛物线$y=ax^2+3$的顶点为B，求$△ AOB$的面积。

11.【解】(1)$\because$ 点$(2,b)$在直线 $y=2x$ 上,
$\therefore b=4$.
又点$(2,b)$,即点$(2,4)$在抛物线 $y=ax^2+3$ 上,
$\therefore 4a+3=4$.
$\therefore a=\frac{1}{4}$.
(2)在 $y=2x$ 中,令 $y=2$,则 $x=1$,
$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(1,2)$.
抛物线 $y=\frac{1}{4}x^2+3$ 的顶点 $B$ 的坐标为 $(0,3)$.
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OB · |x_A|=\frac{1}{2} × 3 × 1=\frac{3}{2}$.

【分析】
(1) 交点坐标同时满足相交的两个函数的解析式，先将点$(2,b)$代入直线$y=2x$可求出$b$的值，再将得到的完整交点坐标代入抛物线$y=ax^2+3$，即可解出$a$的值。
(2) 先根据点A在直线$y=2x$上且纵坐标为2，代入直线解析式求出点A的横坐标，得到A点坐标；再根据抛物线$y=ax^2+3$的形式，确定其顶点B的坐标；最后观察$△ AOB$的位置特征，OB在y轴上，以OB为底，点A的横坐标绝对值为高，代入三角形面积公式即可求解。
【解析】
(1) $\because$ 点$(2,b)$在直线 $y=2x$ 上，
$\therefore$ 把$x=2$代入$y=2x$，得$b=2×2=4$。
又$\because$ 点$(2,4)$在抛物线 $y=ax^2+3$ 上，
$\therefore$ 把$x=2,y=4$代入抛物线解析式，得$4a+3=4$，
解得$a=\frac{1}{4}$。
(2) $\because$ 点A在直线$y=2x$上，且纵坐标为2，
$\therefore$ 把$y=2$代入$y=2x$，得$2=2x$，解得$x=1$，
$\therefore$ 点A的坐标为$(1,2)$。
$\because$ 抛物线$y=\frac{1}{4}x^2+3$的对称轴为y轴，
$\therefore$ 顶点B的坐标为$(0,3)$。
$△ AOB$中，$OB=3$，OB边上的高为点A到y轴的距离，即$|x_A|=1$，
$\therefore S_{△ AOB}=\frac{1}{2} × OB × |x_A|=\frac{1}{2} × 3 × 1=\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) $a=\frac{1}{4}$，$b=4$；(2) $\frac{3}{2}$
【知识点】
函数图像上点的坐标特征；二次函数的顶点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是掌握函数图像上的点的坐标满足对应函数解析式的规律，计算面积时结合坐标特征选择简便方法即可，整体难度较低。
【难度系数】
0.8

12.已知$y$关于$x$的二次函数$y=2x^2+m$.
(1)若点$(-2,y_1)$与$(3,y_2)$在此二次函数的图象上，则$y_1$$y_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
(2)如图，该二次函数的图象经过点$(0,-4)$，正方形$ABCD$的顶点$C$，$D$在$x$轴上，$A$，$B$恰好在该二次函数的图象上，求图中两块阴影部分的面积和.

12.【解】(1)$＜$
(2)设题图中两块阴影部分的面积和为 $S$.
$\because$ 二次函数 $y=2x^2+m$ 的图象经过点 $(0,-4)$,
$\therefore m=-4$.
$\therefore y=2x^2-4$.
$\because$ 四边形 $ABCD$ 为正方形,
$\therefore$ 易证四边形 $ADOE$ 与四边形 $BCOE$ 都是矩形.
$\because$ 二次函数 $y=2x^2-4$ 的图象和正方形 $ABCD$ 都是轴对称图形,它们的对称轴都是 $y$ 轴,
$\therefore OD=OC=\frac{1}{2}BC,S=S_{\mathrm{矩形}BCOE}$.
设点 $B$ 的坐标为 $(n,2n)(n＞0)$.
$\because$ 点 $B$ 在二次函数 $y=2x^2-4$ 的图象上,
$\therefore 2n=2n^2-4$.
解得 $n_1=2,n_2=-1$(舍去).
$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(2,4)$.
$\therefore S=S_{\mathrm{矩形}BCOE}=2 × 4=8$.

【分析】
(1) 先明确二次函数$y=2x^2+m$的性质：开口向上，对称轴为y轴，图象上的点离对称轴越远，对应的函数值越大，计算两个点到对称轴的距离即可比较$y_1$和$y_2$的大小。
(2) 首先将点$(0,-4)$代入二次函数解析式求出$m$，确定函数解析式；再利用二次函数和正方形都关于y轴对称的性质，可知两块阴影部分的面积和等于右侧矩形$BCOE$的面积；接着根据正方形边长相等的性质，设点$B$的坐标为$(n,2n)$（$n＞0$），代入解析式求出$n$的值，最后计算矩形面积即可得到阴影部分的总面积。
【解析】
(1) 二次函数$y=2x^2+m$开口向上，对称轴为y轴，点到对称轴的距离越远，函数值越大。
点$(-2,y_1)$到y轴的距离为$|-2|=2$，点$(3,y_2)$到y轴的距离为$|3|=3$，$2＜3$，因此$y_1＜y_2$。
(2) 设两块阴影部分的面积和为$S$：
① 求二次函数解析式：
$\because$ 二次函数$y=2x^2+m$的图象经过点$(0,-4)$，将$x=0,y=-4$代入得$m=-4$，
$\therefore$ 二次函数解析式为$y=2x^2-4$。
② 利用对称性转化面积：
$\because$ 二次函数$y=2x^2-4$和正方形$ABCD$都关于y轴对称，
$\therefore$ 左侧阴影部分的面积和右侧空白部分的面积相等，两块阴影部分的面积和等于矩形$BCOE$的面积，即$S=S_{\mathrm{矩形}BCOE}$。
③ 求点$B$的坐标：
设点$B$的横坐标为$n$（$n＞0$），$\because$ 四边形$ABCD$是正方形，$\therefore BC=AB=2n$，即点$B$的纵坐标为$2n$，$\therefore B(n,2n)$。
将$B(n,2n)$代入$y=2x^2-4$得：$2n=2n^2-4$，整理得$n^2-n-2=0$，
解得$n_1=2$，$n_2=-1$（不符合$n＞0$，舍去），
$\therefore$ 点$B$的坐标为$(2,4)$，即$OC=2$，$BC=4$。
④ 计算阴影面积：
$S=S_{\mathrm{矩形}BCOE}=OC× BC=2×4=8$。
【答案】
(1) $＜$；(2) $\boldsymbol{8}$
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数的对称性，正方形的性质
【点评】
本题将二次函数的性质与几何图形面积计算结合，核心解题技巧是利用对称性将不规则的阴影面积转化为规则矩形的面积，既考查了基础的函数代入求值能力，也考查了数形结合的转化思想，综合性适中。
【难度系数】
0.7