登录
1. 顶点坐标为$(0,2)$，且与抛物线$y=-\dfrac{1}{3}x^2$的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为
$y=\dfrac{1}{3}x^2+2$
。答案
1. $y=\dfrac{1}{3}x^2+2$
解析
【分析】
解题时先明确二次函数中二次项系数a的作用：a的绝对值决定抛物线的形状，a的符号决定抛物线的开口方向。首先根据已知抛物线的a值，结合“形状相同、开口方向相反”的条件确定所求抛物线的a值；再结合给出的顶点坐标(0,2)，由于顶点在y轴上，因此所求抛物线解析式可设为$y=ax^2+c$的形式，代入顶点坐标即可求出常数项，最终得到解析式。
【解析】
解：设所求抛物线的解析式为$y=ax^2+c$。
1. 确定a的值：
已知所求抛物线与$y=-\dfrac{1}{3}x^2$形状相同、开口方向相反，因此二次项系数满足$a = -(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$。
2. 确定c的值：
已知抛物线顶点坐标为$(0,2)$，将$x=0$，$y=2$代入$y=\dfrac{1}{3}x^2+c$，得：
$2=\dfrac{1}{3}×0^2 + c$，解得$c=2$。
因此所求抛物线的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x^2+2$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{3}x^2+2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心是理解二次项系数对抛物线形状和开口方向的影响，结合顶点坐标用待定系数法即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时先明确二次函数中二次项系数a的作用：a的绝对值决定抛物线的形状，a的符号决定抛物线的开口方向。首先根据已知抛物线的a值，结合“形状相同、开口方向相反”的条件确定所求抛物线的a值；再结合给出的顶点坐标(0,2)，由于顶点在y轴上，因此所求抛物线解析式可设为$y=ax^2+c$的形式，代入顶点坐标即可求出常数项，最终得到解析式。
【解析】
解：设所求抛物线的解析式为$y=ax^2+c$。
1. 确定a的值：
已知所求抛物线与$y=-\dfrac{1}{3}x^2$形状相同、开口方向相反，因此二次项系数满足$a = -(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{3}$。
2. 确定c的值：
已知抛物线顶点坐标为$(0,2)$，将$x=0$，$y=2$代入$y=\dfrac{1}{3}x^2+c$，得：
$2=\dfrac{1}{3}×0^2 + c$，解得$c=2$。
因此所求抛物线的函数解析式为$y=\dfrac{1}{3}x^2+2$。
【答案】
$y=\dfrac{1}{3}x^2+2$
【知识点】
二次函数的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；二次函数顶点式
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，核心是理解二次项系数对抛物线形状和开口方向的影响，结合顶点坐标用待定系数法即可求解，难度较低。
【难度系数】
0.8
【典型例题 2】若抛物线 $y=2x^2$ 经过平移后得到抛物线 $y=2x^2-3$，则平移方法是
（
A.向左平移 3 个单位长度
B.向右平移 3 个单位长度
C.向上平移 3 个单位长度
D.向下平移 3 个单位长度
【答案】D
规律方法 抛物线 $y=ax^2+k(a≠0)$ 与 $y=ax^2$ 的形状相同，把抛物线 $y=ax^2$ 向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移$|k|$个单位长度，就得到抛物线 $y=ax^2+k$。
（
D
）A.向左平移 3 个单位长度
B.向右平移 3 个单位长度
C.向上平移 3 个单位长度
D.向下平移 3 个单位长度
【答案】D
规律方法 抛物线 $y=ax^2+k(a≠0)$ 与 $y=ax^2$ 的形状相同，把抛物线 $y=ax^2$ 向上$(k＞0)$或向下$(k＜0)$平移$|k|$个单位长度，就得到抛物线 $y=ax^2+k$。
答案
D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：平移只改变图象的位置，不改变形状和开口方向，因此先观察两个抛物线的二次项系数，确认形状一致后，对比解析式的变化：若自变量x无加减变化，说明是上下平移；若常数项无变化，自变量x有加减变化，说明是左右平移。本题中两个解析式的自变量x没有变化，只有常数项不同，因此判断为上下平移，再根据“上加下减”的规律判断平移方向和距离即可。
【解析】
第一步：对比两个抛物线解析式，$y=2x^2$与$y=2x^2-3$的二次项系数均为2，说明两个抛物线形状、开口方向完全相同，仅位置不同。
第二步：观察解析式的变化，两个式子中自变量x没有发生加减变形，因此不属于左右平移，排除A、B选项。
第三步：根据二次函数上下平移规律“上加下减常数项”，平移后的解析式是在原解析式的基础上整体减去3，因此是将原抛物线向下平移3个单位长度，排除C选项。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对“上加下减常数项，左加右减自变量”平移规律的理解和运用，解题时注意区分上下平移和左右平移对应的解析式变化特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆二次函数图象的平移规律：平移只改变图象的位置，不改变形状和开口方向，因此先观察两个抛物线的二次项系数，确认形状一致后，对比解析式的变化：若自变量x无加减变化，说明是上下平移；若常数项无变化，自变量x有加减变化，说明是左右平移。本题中两个解析式的自变量x没有变化，只有常数项不同，因此判断为上下平移，再根据“上加下减”的规律判断平移方向和距离即可。
【解析】
第一步：对比两个抛物线解析式，$y=2x^2$与$y=2x^2-3$的二次项系数均为2，说明两个抛物线形状、开口方向完全相同，仅位置不同。
第二步：观察解析式的变化，两个式子中自变量x没有发生加减变形，因此不属于左右平移，排除A、B选项。
第三步：根据二次函数上下平移规律“上加下减常数项”，平移后的解析式是在原解析式的基础上整体减去3，因此是将原抛物线向下平移3个单位长度，排除C选项。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数图象平移规律
2.抛物线的性质
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心考查对“上加下减常数项，左加右减自变量”平移规律的理解和运用，解题时注意区分上下平移和左右平移对应的解析式变化特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 将抛物线 $y=2x^2$ 向下平移5个单位长度，所得抛物线对应的函数解析式是
$y=2x^2-5$
.答案
2. $y=2x^2-5$
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的上下平移问题，解题时首先回忆二次函数平移的规律：沿y轴方向上下平移时，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移n个单位，就在原解析式末尾加n；向下平移n个单位，就在原解析式末尾减n。本题明确是向下平移5个单位，直接套用该规律计算即可。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的规律“上加下减常数项”：
原抛物线的解析式为$y=2x^2$，将其向下平移5个单位长度，只需在原解析式的基础上减去5，
因此平移后所得抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2-5$。
【答案】
$y=2x^2-5$
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数上下平移的规律，牢记“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速求解，是二次函数模块的常规考点。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数图象的上下平移问题，解题时首先回忆二次函数平移的规律：沿y轴方向上下平移时，遵循“上加下减”的原则，即图象向上平移n个单位，就在原解析式末尾加n；向下平移n个单位，就在原解析式末尾减n。本题明确是向下平移5个单位，直接套用该规律计算即可。
【解析】
根据二次函数图象上下平移的规律“上加下减常数项”：
原抛物线的解析式为$y=2x^2$，将其向下平移5个单位长度，只需在原解析式的基础上减去5，
因此平移后所得抛物线对应的函数解析式为$y=2x^2-5$。
【答案】
$y=2x^2-5$
【知识点】
二次函数图象平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数上下平移的规律，牢记“上加下减、左加右减”的平移口诀即可快速求解，是二次函数模块的常规考点。
【难度系数】
0.9
1. 下列关于抛物线$y=\frac{1}{3}x^2 +3$的说法错误的是（
A.抛物线开口向上
B.抛物线经过点(3,6)
C.抛物线的顶点是(1,3)
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
C
）A.抛物线开口向上
B.抛物线经过点(3,6)
C.抛物线的顶点是(1,3)
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大
答案
1. C
解析
【分析】
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题思路是逐一分析每个选项：首先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；再将点的横坐标代入函数解析式，验证纵坐标是否匹配来判断点是否在抛物线上；结合$y=ax^2+k$的顶点坐标、对称轴判断顶点是否正确，以及函数的增减性是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2 +3$，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，因此抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意。
选项B：将$x=3$代入解析式，得$y=\frac{1}{3}×3^2 +3=\frac{1}{3}×9 +3=3+3=6$，因此点$(3,6)$在抛物线上，B说法正确，不符合题意。
选项C：形如$y=ax^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=3$，因此顶点坐标是$(0,3)$，不是$(1,3)$，C说法错误，符合题意。
选项D：该抛物线开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对无一次项的二次函数基本性质的掌握，只要熟记开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性等核心性质，通过逐一排查即可快速得出答案，易错点是混淆该类抛物线的顶点坐标，误记为$(1,k)$。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数$y=ax^2+k$的图象与性质，解题思路是逐一分析每个选项：首先根据二次项系数$a$的正负判断开口方向；再将点的横坐标代入函数解析式，验证纵坐标是否匹配来判断点是否在抛物线上；结合$y=ax^2+k$的顶点坐标、对称轴判断顶点是否正确，以及函数的增减性是否正确，最终选出错误的选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}x^2 +3$，二次项系数$a=\frac{1}{3}＞0$，因此抛物线开口向上，A说法正确，不符合题意。
选项B：将$x=3$代入解析式，得$y=\frac{1}{3}×3^2 +3=\frac{1}{3}×9 +3=3+3=6$，因此点$(3,6)$在抛物线上，B说法正确，不符合题意。
选项C：形如$y=ax^2+k$的抛物线，顶点坐标为$(0,k)$，本题中$k=3$，因此顶点坐标是$(0,3)$，不是$(1,3)$，C说法错误，符合题意。
选项D：该抛物线开口向上，对称轴为y轴（即直线$x=0$），因此当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而增大，D说法正确，不符合题意。
综上，说法错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质；2. 函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，核心考查对无一次项的二次函数基本性质的掌握，只要熟记开口方向、顶点坐标、对称轴、增减性等核心性质，通过逐一排查即可快速得出答案，易错点是混淆该类抛物线的顶点坐标，误记为$(1,k)$。
【难度系数】
0.8
2.若一次函数$y=ax - c$的图象如图所示，则二次函数$y=ax^2 + c$的图象大致为（
D
）答案
2. D
解析
【分析】
解题需分两步：第一步先根据一次函数的图象特征推导系数$a$和常数$c$的符号：先看一次函数的升降趋势判断$a$的正负，再看一次函数与$y$轴的交点位置判断$-c$的正负，进而得到$c$的符号；第二步结合二次函数的图象性质，由$a$的符号判断抛物线的开口方向，由$c$的符号判断抛物线与$y$轴的交点位置，最终匹配对应选项即可。
【解析】
首先分析一次函数$y=ax - c$的图象：
1. 直线从左到右呈下降趋势，因此$a ＜ 0$；
2. 直线与$y$轴交于正半轴，即$x=0$时，$y=-c＞0$，因此$c ＜ 0$。
再推导二次函数$y=ax^2 + c$的图象特征：
1. 二次项系数$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下；
2. 常数项$c ＜ 0$，所以抛物线与$y$轴的交点$(0,c)$位于$y$轴负半轴。
综上，符合特征的图象为选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数、二次函数图象与系数的对应关系，解题核心是通过已知函数图象确定系数符号，再推导目标函数的图象特征，是函数图象类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
解题需分两步：第一步先根据一次函数的图象特征推导系数$a$和常数$c$的符号：先看一次函数的升降趋势判断$a$的正负，再看一次函数与$y$轴的交点位置判断$-c$的正负，进而得到$c$的符号；第二步结合二次函数的图象性质，由$a$的符号判断抛物线的开口方向，由$c$的符号判断抛物线与$y$轴的交点位置，最终匹配对应选项即可。
【解析】
首先分析一次函数$y=ax - c$的图象：
1. 直线从左到右呈下降趋势，因此$a ＜ 0$；
2. 直线与$y$轴交于正半轴，即$x=0$时，$y=-c＞0$，因此$c ＜ 0$。
再推导二次函数$y=ax^2 + c$的图象特征：
1. 二次项系数$a ＜ 0$，所以抛物线开口向下；
2. 常数项$c ＜ 0$，所以抛物线与$y$轴的交点$(0,c)$位于$y$轴负半轴。
综上，符合特征的图象为选项D。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查一次函数、二次函数图象与系数的对应关系，解题核心是通过已知函数图象确定系数符号，再推导目标函数的图象特征，是函数图象类的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3. 抛物线 $y=1-\frac{1}{2}x^2$ 可由抛物线 $y=-\frac{1}{2}x^2$ 向
上
平移 1
个单位长度得到。答案
3. 上 1
解析
【分析】
解题时首先观察两个抛物线的二次项系数，二者均为$-\frac{1}{2}$，说明抛物线形状、开口方向完全一致，仅存在平移变换。接下来可以通过两种思路推导：一是回忆二次函数平移规则“上加下减常数项，左加右减自变量”，上下平移只需对比两个表达式的常数项差值即可判断；二是分别求出两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移情况推导整个抛物线的平移情况。常数项增加为向上平移，减少为向下平移，差值就是平移的单位长度。
【解析】
方法一：根据二次函数图像上下平移的“上加下减”规则：向上平移$m$个单位，原函数表达式整体加$m$；向下平移$m$个单位，原函数表达式整体减$m$。
原抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，平移后的表达式整理为$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，相当于在原表达式基础上加了1，因此是向上平移1个单位长度。
方法二：对比顶点坐标。抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因此$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{2}x^2+1$的顶点为$(0,1)$。顶点从$(0,0)$移动到$(0,1)$，是向上平移了1个单位，因此整个抛物线向上平移1个单位长度。
【答案】
上；1
【知识点】
二次函数图像平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数图像的平移规则，既可以通过函数表达式的常数项变化直接求解，也可以通过对比顶点坐标的变化推导，牢记“上加下减、左加右减”的平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先观察两个抛物线的二次项系数，二者均为$-\frac{1}{2}$，说明抛物线形状、开口方向完全一致，仅存在平移变换。接下来可以通过两种思路推导：一是回忆二次函数平移规则“上加下减常数项，左加右减自变量”，上下平移只需对比两个表达式的常数项差值即可判断；二是分别求出两个抛物线的顶点坐标，通过顶点的平移情况推导整个抛物线的平移情况。常数项增加为向上平移，减少为向下平移，差值就是平移的单位长度。
【解析】
方法一：根据二次函数图像上下平移的“上加下减”规则：向上平移$m$个单位，原函数表达式整体加$m$；向下平移$m$个单位，原函数表达式整体减$m$。
原抛物线表达式为$y=-\frac{1}{2}x^2$，平移后的表达式整理为$y=-\frac{1}{2}x^2+1$，相当于在原表达式基础上加了1，因此是向上平移1个单位长度。
方法二：对比顶点坐标。抛物线$y=ax^2+k$的顶点坐标为$(0,k)$，因此$y=-\frac{1}{2}x^2$的顶点为$(0,0)$，$y=-\frac{1}{2}x^2+1$的顶点为$(0,1)$。顶点从$(0,0)$移动到$(0,1)$，是向上平移了1个单位，因此整个抛物线向上平移1个单位长度。
【答案】
上；1
【知识点】
二次函数图像平移规律
【点评】
本题属于基础题型，重点考查二次函数图像的平移规则，既可以通过函数表达式的常数项变化直接求解，也可以通过对比顶点坐标的变化推导，牢记“上加下减、左加右减”的平移规律即可快速解题。
【难度系数】
0.9
