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基础知识·预习
问题1 结合二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象总结：
(1)抛物线 $y=ax^2+k(a≠0)$ 的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y 随 x 的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数 $y=ax^2+k(a≠0)$ 的图象与 $y=ax^2$ 的图象有什么关系？
问题1 结合二次函数 $y=\frac{1}{2}x^2+2$ 和 $y=\frac{1}{2}x^2-2$ 的图象总结：
(1)抛物线 $y=ax^2+k(a≠0)$ 的开口方向由哪个系数决定？它的对称轴在哪里？顶点坐标是什么？
(2)y 随 x 的变化情况是怎样的？
问题2 二次函数 $y=ax^2+k(a≠0)$ 的图象与 $y=ax^2$ 的图象有什么关系？
答案
1.(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数a决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；对称轴是y轴（直线x=0）；顶点坐标是(0, k)。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状完全相同，仅位置不同：$y=ax^2+k(a≠0)$的图象可由$y=ax^2$的图象沿y轴平移得到，当k＞0时，将$y=ax^2$的图象向上平移k个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象；当k＜0时，将$y=ax^2$的图象向下平移|k|个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状完全相同，仅位置不同：$y=ax^2+k(a≠0)$的图象可由$y=ax^2$的图象沿y轴平移得到，当k＞0时，将$y=ax^2$的图象向上平移k个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象；当k＜0时，将$y=ax^2$的图象向下平移|k|个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象。
解析
【分析】
解题时可结合给出的两个具体二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+2$和$y=\frac{1}{2}x^2-2$的图象特征，类比已学的$y=ax^2$的性质推导：
1. 解决问题1(1)：先观察两个具体函数的开口方向，二者a值均为正、开口都向上，可推知开口方向由a的符号决定；两个函数都不含x的一次项，对称轴均为y轴，当x=0时函数值就是k，即可得到顶点坐标。
2. 解决问题1(2)：结合开口方向分析增减性，开口向上时图象从左到右先降后升，开口向下时先升后降，分对称轴左右两侧总结y随x的变化规律即可。
3. 解决问题2：两个函数的二次项系数a相同，因此形状完全相同，仅常数项不同，对应图象沿y轴平移，结合“上加下减”的平移规律总结二者关系即可。
【解析】
问题1解答
(1) 对比$y=\frac{1}{2}x^2+2$、$y=\frac{1}{2}x^2-2$的图象：两个函数a均为$\frac{1}{2}＞0$，开口都向上，若a为负则开口向下，因此开口方向由系数$a$决定；两个函数均没有x的一次项，对称轴均为y轴（直线$x=0$）；当$x=0$时，两个函数的函数值分别为$2$和$-2$，对应顶点纵坐标，因此顶点坐标为$(0,k)$。
(2) 结合开口方向分析增减性：当$a＞0$时抛物线开口向上，图象左降右升，因此$x＜0$时y随x的增大而减小，$x＞0$时y随x的增大而增大；当$a＜0$时抛物线开口向下，图象左升右降，因此$x＜0$时y随x的增大而增大，$x＞0$时y随x的增大而减小。
问题2解答
两个函数的二次项系数$a$相同，因此图象形状完全相同，仅位置不同：$y=ax^2+k(a≠0)$的图象可由$y=ax^2$的图象沿y轴平移得到，当$k＞0$时向上平移k个单位，当$k＜0$时向下平移$|k|$个单位。
【答案】
1.(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数a决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；对称轴是y轴（直线x=0）；顶点坐标是(0, k)。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状完全相同，仅位置不同：$y=ax^2+k(a≠0)$的图象可由$y=ax^2$的图象沿y轴平移得到，当k＞0时，将$y=ax^2$的图象向上平移k个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象；当k＜0时，将$y=ax^2$的图象向下平移|k|个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象平移规律
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，侧重考查对$y=ax^2+k$类二次函数基本性质的理解，以及它与$y=ax^2$图象的平移关系，是后续学习复杂二次函数的重要基础，相关结论需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时可结合给出的两个具体二次函数$y=\frac{1}{2}x^2+2$和$y=\frac{1}{2}x^2-2$的图象特征，类比已学的$y=ax^2$的性质推导：
1. 解决问题1(1)：先观察两个具体函数的开口方向，二者a值均为正、开口都向上，可推知开口方向由a的符号决定；两个函数都不含x的一次项，对称轴均为y轴，当x=0时函数值就是k，即可得到顶点坐标。
2. 解决问题1(2)：结合开口方向分析增减性，开口向上时图象从左到右先降后升，开口向下时先升后降，分对称轴左右两侧总结y随x的变化规律即可。
3. 解决问题2：两个函数的二次项系数a相同，因此形状完全相同，仅常数项不同，对应图象沿y轴平移，结合“上加下减”的平移规律总结二者关系即可。
【解析】
问题1解答
(1) 对比$y=\frac{1}{2}x^2+2$、$y=\frac{1}{2}x^2-2$的图象：两个函数a均为$\frac{1}{2}＞0$，开口都向上，若a为负则开口向下，因此开口方向由系数$a$决定；两个函数均没有x的一次项，对称轴均为y轴（直线$x=0$）；当$x=0$时，两个函数的函数值分别为$2$和$-2$，对应顶点纵坐标，因此顶点坐标为$(0,k)$。
(2) 结合开口方向分析增减性：当$a＞0$时抛物线开口向上，图象左降右升，因此$x＜0$时y随x的增大而减小，$x＞0$时y随x的增大而增大；当$a＜0$时抛物线开口向下，图象左升右降，因此$x＜0$时y随x的增大而增大，$x＞0$时y随x的增大而减小。
问题2解答
两个函数的二次项系数$a$相同，因此图象形状完全相同，仅位置不同：$y=ax^2+k(a≠0)$的图象可由$y=ax^2$的图象沿y轴平移得到，当$k＞0$时向上平移k个单位，当$k＜0$时向下平移$|k|$个单位。
【答案】
1.(1) 抛物线$y=ax^2+k(a≠0)$的开口方向由系数a决定：a＞0时开口向上，a＜0时开口向下；对称轴是y轴（直线x=0）；顶点坐标是(0, k)。
1.(2) 当a＞0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而减小，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而增大；当a＜0时，在对称轴左侧（x＜0），y随x的增大而增大，在对称轴右侧（x＞0），y随x的增大而减小。
2. 两个函数的图象形状完全相同，仅位置不同：$y=ax^2+k(a≠0)$的图象可由$y=ax^2$的图象沿y轴平移得到，当k＞0时，将$y=ax^2$的图象向上平移k个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象；当k＜0时，将$y=ax^2$的图象向下平移|k|个单位长度得到$y=ax^2+k$的图象。
【知识点】
1. 二次函数$y=ax^2+k$的性质
2. 二次函数图象平移规律
3. 二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数基础题型，侧重考查对$y=ax^2+k$类二次函数基本性质的理解，以及它与$y=ax^2$图象的平移关系，是后续学习复杂二次函数的重要基础，相关结论需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
【典型例题1】画出二次函数$y=x^2 -4$的图象,并解答问题.
(1)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)已知点$A(6,y_1),B(-6,y_2)$是抛物线上的两点,比较$y_1$和$y_2$的大小.
【解】列表:
描点并连线(如图):
(1)二次函数$y=x^2 -4$的图象开口向上,顶点坐标为$(0,-4)$,对称轴为$y$轴.
(2)$\because$点$A$和点$B$到抛物线$y=x^2 -4$的对称轴$y$轴的距离相等,
$\therefore y_1=y_2$.
(1)指出图象的开口方向、顶点坐标和对称轴.
(2)已知点$A(6,y_1),B(-6,y_2)$是抛物线上的两点,比较$y_1$和$y_2$的大小.
【解】列表:
描点并连线(如图):
(1)二次函数$y=x^2 -4$的图象开口向上,顶点坐标为$(0,-4)$,对称轴为$y$轴.
(2)$\because$点$A$和点$B$到抛物线$y=x^2 -4$的对称轴$y$轴的距离相等,
$\therefore y_1=y_2$.
答案
解：
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$| $-3$| $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
(1) 二次函数$y=x^2-4$的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$和点$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1=y_2$。
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$| $-3$| $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
(1) 二次函数$y=x^2-4$的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$和点$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1=y_2$。
解析
【分析】
解决本题需按逻辑逐步推导：首先绘制二次函数图象，遵循“列表-描点-连线”的基本步骤，由于该二次函数是y=ax²+k的特殊形式，顶点在y轴上，选取对称的整数x值计算对应y值更简便；其次解答两小问：(1) 对于y=ax²+k型二次函数，二次项系数a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，同时可直接得出顶点坐标为(0,k)、对称轴为y轴；(2) 比较抛物线上两点的函数值，可利用抛物线对称性：若两点到对称轴的距离相等，则函数值相等，本题A、B横坐标互为相反数，到y轴（对称轴）距离相等，因此函数值相等，也可代入解析式直接计算验证结果。
【解析】
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$| $-3$| $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
(1) 二次函数$y=x^2-4$的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$和点$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1=y_2$。
【答案】
图象按上述列表、描点、连线步骤绘制；
(1) 开口向上，顶点坐标为$\boldsymbol{(0,-4)}$，对称轴为$\boldsymbol{y}$轴；
(2) $\boldsymbol{y_1=y_2}$。
【知识点】
1. 二次函数图象画法
2. 二次函数基本性质
3. 二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查特殊形式二次函数的性质及对称性的应用，既可以通过性质直接推导结论，也可以代入数值计算验证，有助于夯实二次函数基础，体会数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.85
解决本题需按逻辑逐步推导：首先绘制二次函数图象，遵循“列表-描点-连线”的基本步骤，由于该二次函数是y=ax²+k的特殊形式，顶点在y轴上，选取对称的整数x值计算对应y值更简便；其次解答两小问：(1) 对于y=ax²+k型二次函数，二次项系数a的符号决定开口方向，a＞0开口向上，同时可直接得出顶点坐标为(0,k)、对称轴为y轴；(2) 比较抛物线上两点的函数值，可利用抛物线对称性：若两点到对称轴的距离相等，则函数值相等，本题A、B横坐标互为相反数，到y轴（对称轴）距离相等，因此函数值相等，也可代入解析式直接计算验证结果。
【解析】
列表：
| $x$ | $\dots$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $\dots$ |
|-----|---------|------|------|------|-----|-----|-----|-----|---------|
| $y$ | $\dots$ | $5$ | $0$ | $-3$ | $-4$| $-3$| $0$ | $5$ | $\dots$ |
在平面直角坐标系中描出表中各点，用平滑曲线顺次连接各点，得到二次函数$y=x^2-4$的图象。
(1) 二次函数$y=x^2-4$的图象开口向上，顶点坐标为$(0,-4)$，对称轴为$y$轴。
(2) $\because$ 抛物线$y=x^2-4$的对称轴是$y$轴，点$A(6,y_1)$和点$B(-6,y_2)$到对称轴$y$轴的距离相等，
$\therefore y_1=y_2$。
【答案】
图象按上述列表、描点、连线步骤绘制；
(1) 开口向上，顶点坐标为$\boldsymbol{(0,-4)}$，对称轴为$\boldsymbol{y}$轴；
(2) $\boldsymbol{y_1=y_2}$。
【知识点】
1. 二次函数图象画法
2. 二次函数基本性质
3. 二次函数对称性
【点评】
本题属于二次函数基础题型，重点考查特殊形式二次函数的性质及对称性的应用，既可以通过性质直接推导结论，也可以代入数值计算验证，有助于夯实二次函数基础，体会数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.85
