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8. 已知函数 $y=ax^2(a≠0)$ 的图象与函数 $y=2x-3$ 的图象交于点 $(1,b)$.
(1)试求 $a$ 和 $b$ 的值.
(2)写出函数 $y=ax^2$ 的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴.
(3)当 $x$ 取何值时,二次函数 $y=ax^2$ 中的 $y$ 随 $x$ 的增大而增大?
(1)试求 $a$ 和 $b$ 的值.
(2)写出函数 $y=ax^2$ 的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴.
(3)当 $x$ 取何值时,二次函数 $y=ax^2$ 中的 $y$ 随 $x$ 的增大而增大?
答案
【解】(1)将$x=1,y=b$代入$y=2x-3$,得$b=-1$。$\therefore$两个函数图象的公共点坐标为$(1,-1)$。再将$x=1,y=-1$代入$y=ax^2$,得$a=-1$。故$a=-1,b=-1$。
(2)由(1)知$a=-1$,故二次函数的解析式为$y=-x^2$,其图象的顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
(3)当$x≤0$时,$y$随$x$的增大而增大。
(2)由(1)知$a=-1$,故二次函数的解析式为$y=-x^2$,其图象的顶点坐标为$(0,0)$,对称轴为$y$轴。
(3)当$x≤0$时,$y$随$x$的增大而增大。
解析
【分析】
(1) 函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将交点$(1,b)$代入一次函数解析式求出$b$的值，得到完整交点坐标后，再代入二次函数解析式即可求出$a$的值；
(2) 将(1)中求出的$a$代入$y=ax^2$即可得到二次函数解析式，形如$y=ax^2$的二次函数的顶点为原点、对称轴为$y$轴，直接对应写出即可；
(3) 先根据$a$的符号判断二次函数开口方向，开口向下的二次函数在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=1,y=b$代入$y=2x-3$，得$b=2×1-3=-1$，$\therefore$两个函数图象的公共点坐标为$(1,-1)$。再将$x=1,y=-1$代入$y=ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。故$a=-1,b=-1$。
(2) 由(1)知$a=-1$，故二次函数的解析式为$y=-x^2$，其图象的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
(3) 二次函数$y=-x^2$开口向下，对称轴为$y$轴，因此当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$；
(2) 函数解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
(3) 当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
1. 函数交点的性质
2. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查函数交点的应用和二次函数的基本性质，解题核心是理解交点坐标满足所有相交函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点、对称轴、增减性等基础知识点即可轻松解答，适合巩固二次函数入门内容。
【难度系数】
0.8
(1) 函数图象的交点坐标同时满足两个函数的解析式，因此先将交点$(1,b)$代入一次函数解析式求出$b$的值，得到完整交点坐标后，再代入二次函数解析式即可求出$a$的值；
(2) 将(1)中求出的$a$代入$y=ax^2$即可得到二次函数解析式，形如$y=ax^2$的二次函数的顶点为原点、对称轴为$y$轴，直接对应写出即可；
(3) 先根据$a$的符号判断二次函数开口方向，开口向下的二次函数在对称轴左侧$y$随$x$的增大而增大，结合对称轴即可得到$x$的取值范围。
【解析】
(1) 将$x=1,y=b$代入$y=2x-3$，得$b=2×1-3=-1$，$\therefore$两个函数图象的公共点坐标为$(1,-1)$。再将$x=1,y=-1$代入$y=ax^2$，得$-1=a×1^2$，解得$a=-1$。故$a=-1,b=-1$。
(2) 由(1)知$a=-1$，故二次函数的解析式为$y=-x^2$，其图象的顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴。
(3) 二次函数$y=-x^2$开口向下，对称轴为$y$轴，因此当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【答案】
(1) $a=-1$，$b=-1$；
(2) 函数解析式为$y=-x^2$，顶点坐标为$(0,0)$，对称轴为$y$轴；
(3) 当$x≤0$时，$y$随$x$的增大而增大。
【知识点】
1. 函数交点的性质
2. 二次函数$y=ax^2$的图象与性质
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数的基础题型，重点考查函数交点的应用和二次函数的基本性质，解题核心是理解交点坐标满足所有相交函数的解析式，熟练掌握二次函数的顶点、对称轴、增减性等基础知识点即可轻松解答，适合巩固二次函数入门内容。
【难度系数】
0.8
9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数$y=kx^2$（k为常数，且$k≠0$）和一次函数$y=kx-2$的图象大致是（
C
）答案
9. C
解析
【分析】
本题是同参数的一次函数与二次函数图象判断题，解题思路如下：首先利用一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，快速排除明显错误的选项；再根据参数k的正负分别分析二次函数的开口方向、一次函数的增减性，验证两个函数对应的k符号是否一致，排除矛盾的选项，最终得到正确答案。
【解析】
第一步：分析一次函数的固定特征
对于一次函数$y=kx-2$，当$x=0$时，$y=-2$，因此该函数图象恒过点$(0,-2)$，即与y轴交于负半轴，由此可排除选项D（D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合性质）。
第二步：分情况讨论参数k的符号
① 若$k＞0$：二次函数$y=kx^2$开口向上；一次函数$y=kx-2$斜率为正，图象呈上升趋势，经过第一、三、四象限。观察选项B，其中一次函数呈下降趋势（对应$k＜0$），与$k＞0$矛盾，排除B。
② 若$k＜0$：二次函数$y=kx^2$开口向下；一次函数$y=kx-2$斜率为负，图象呈下降趋势，经过第二、三、四象限。观察选项A，其中一次函数呈上升趋势（对应$k＞0$），与$k＜0$矛盾，排除A。
第三步：验证剩余选项
选项C中二次函数开口向下（对应$k＜0$），一次函数呈下降趋势、与y轴交于负半轴，完全符合$k＜0$时两个函数的图象性质，因此C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象、二次函数的图象、参数与图象的关系
【点评】
本题属于函数图象判断的基础题型，解题的核心是抓住两个函数的参数k符号一致的特点，结合函数的截距、开口方向、增减性等基本性质逐一排除错误选项即可，侧重考查对函数基础性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
本题是同参数的一次函数与二次函数图象判断题，解题思路如下：首先利用一次函数的常数项确定它与y轴的交点位置，快速排除明显错误的选项；再根据参数k的正负分别分析二次函数的开口方向、一次函数的增减性，验证两个函数对应的k符号是否一致，排除矛盾的选项，最终得到正确答案。
【解析】
第一步：分析一次函数的固定特征
对于一次函数$y=kx-2$，当$x=0$时，$y=-2$，因此该函数图象恒过点$(0,-2)$，即与y轴交于负半轴，由此可排除选项D（D中一次函数与y轴交于正半轴，不符合性质）。
第二步：分情况讨论参数k的符号
① 若$k＞0$：二次函数$y=kx^2$开口向上；一次函数$y=kx-2$斜率为正，图象呈上升趋势，经过第一、三、四象限。观察选项B，其中一次函数呈下降趋势（对应$k＜0$），与$k＞0$矛盾，排除B。
② 若$k＜0$：二次函数$y=kx^2$开口向下；一次函数$y=kx-2$斜率为负，图象呈下降趋势，经过第二、三、四象限。观察选项A，其中一次函数呈上升趋势（对应$k＞0$），与$k＜0$矛盾，排除A。
第三步：验证剩余选项
选项C中二次函数开口向下（对应$k＜0$），一次函数呈下降趋势、与y轴交于负半轴，完全符合$k＜0$时两个函数的图象性质，因此C正确。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的图象、二次函数的图象、参数与图象的关系
【点评】
本题属于函数图象判断的基础题型，解题的核心是抓住两个函数的参数k符号一致的特点，结合函数的截距、开口方向、增减性等基本性质逐一排除错误选项即可，侧重考查对函数基础性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在同一平面直角坐标系中,直线$y=2$分别交抛物线$y=x^2(x≥0),y=ax^2(x≥0)$于点$A,B$,且$AB=1$,则$a$的值为（
A.$0.5$
B.$1.5$
C.$6-4\sqrt{2}$
D.$6+4\sqrt{2}$
C
）A.$0.5$
B.$1.5$
C.$6-4\sqrt{2}$
D.$6+4\sqrt{2}$
答案
10. C
解析
【分析】
解题时首先要明确：纵坐标相同的两个点之间的距离等于横坐标差的绝对值。第一步先求直线y=2与抛物线y=x²(x≥0)的交点A的横坐标；第二步结合AB=1和图像中B点在A点右侧的特征，求出B点的横坐标；第三步将B点坐标代入y=ax²，通过计算求出a的值，计算过程中注意二次根式的有理化运算。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将y=2代入y=x²(x≥0)，得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（x为负数不符合x≥0的要求，舍去），因此A点坐标为$(\sqrt{2}, 2)$。
2. 求点B的坐标：
由图可知B点在A点右侧，且AB=1，两点纵坐标均为2，因此B点横坐标为$\sqrt{2}+1$，纵坐标为2，即B$(\sqrt{2}+1, 2)$。
3. 计算a的值：
将B$(\sqrt{2}+1, 2)$代入$y=ax^2$，得：
$2=a· (\sqrt{2}+1)^2$
先计算$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=3+2\sqrt{2}$，代入得：
$a=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}$
对分母有理化，分子分母同乘$3-2\sqrt{2}$：
$a=\frac{2×(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}=6-4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质，二次函数点坐标特征，二次根式有理化
【点评】
本题重点考查二次函数图像上的点与解析式的对应关系，解题的突破口是利用纵坐标相等的两点距离等于横坐标差得到点B的坐标，计算时注意二次根式的运算规则，避免有理化步骤出错。
【难度系数】
0.6
解题时首先要明确：纵坐标相同的两个点之间的距离等于横坐标差的绝对值。第一步先求直线y=2与抛物线y=x²(x≥0)的交点A的横坐标；第二步结合AB=1和图像中B点在A点右侧的特征，求出B点的横坐标；第三步将B点坐标代入y=ax²，通过计算求出a的值，计算过程中注意二次根式的有理化运算。
【解析】
1. 求点A的坐标：
将y=2代入y=x²(x≥0)，得$x^2=2$，解得$x=\sqrt{2}$（x为负数不符合x≥0的要求，舍去），因此A点坐标为$(\sqrt{2}, 2)$。
2. 求点B的坐标：
由图可知B点在A点右侧，且AB=1，两点纵坐标均为2，因此B点横坐标为$\sqrt{2}+1$，纵坐标为2，即B$(\sqrt{2}+1, 2)$。
3. 计算a的值：
将B$(\sqrt{2}+1, 2)$代入$y=ax^2$，得：
$2=a· (\sqrt{2}+1)^2$
先计算$(\sqrt{2}+1)^2=(\sqrt{2})^2+2×\sqrt{2}×1+1^2=3+2\sqrt{2}$，代入得：
$a=\frac{2}{3+2\sqrt{2}}$
对分母有理化，分子分母同乘$3-2\sqrt{2}$：
$a=\frac{2×(3-2\sqrt{2})}{(3+2\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}=\frac{6-4\sqrt{2}}{9-8}=6-4\sqrt{2}$
【答案】
C
【知识点】
二次函数的图像性质，二次函数点坐标特征，二次根式有理化
【点评】
本题重点考查二次函数图像上的点与解析式的对应关系，解题的突破口是利用纵坐标相等的两点距离等于横坐标差得到点B的坐标，计算时注意二次根式的运算规则，避免有理化步骤出错。
【难度系数】
0.6
11.若$y=(m+1)x^{m^2+m}$是二次函数，且当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，则$m$的值为
-2
。答案
11. -2
解析
【分析】
要解决本题，需结合二次函数的定义和增减性两个条件逐步推导：首先，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此可列出关于m的方程和不等式，得到m的可能取值；再根据“x＞0时，y随x的增大而减小”的性质，判断二次函数的开口方向，即二次项系数小于0，对可能的m值进行筛选，最终得到符合所有条件的m值。
【解析】
第一步：根据二次函数的定义列条件：
二次函数中自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，因此：
$\begin{cases}m^2 + m = 2 \quad \mathrm{(1)} \\ m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{(2)} \end{cases}$
解方程①：移项得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
由不等式②得$m≠ -1$，两个解均满足该条件。
第二步：根据函数增减性筛选m值：
已知当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0：
$m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
结合第一步得到的两个解，只有$m=-2$满足$m ＜ -1$，$m=1$时$m+1=2＞0$，开口向上，不符合增减性要求，故舍去。
【答案】
-2
【知识点】
1.二次函数的定义
2.二次函数的增减性
3.解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，解题的关键是牢记二次函数的定义限制和图象性质，易错点是容易遗漏二次项系数的符号要求，求出m的可能值后要逐一验证所有条件是否都满足，避免多解错解。
【难度系数】
0.7
要解决本题，需结合二次函数的定义和增减性两个条件逐步推导：首先，二次函数要求自变量的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此可列出关于m的方程和不等式，得到m的可能取值；再根据“x＞0时，y随x的增大而减小”的性质，判断二次函数的开口方向，即二次项系数小于0，对可能的m值进行筛选，最终得到符合所有条件的m值。
【解析】
第一步：根据二次函数的定义列条件：
二次函数中自变量x的最高次数为2，且二次项系数不为0，因此：
$\begin{cases}m^2 + m = 2 \quad \mathrm{(1)} \\ m + 1 ≠ 0 \quad \mathrm{(2)} \end{cases}$
解方程①：移项得$m^2 + m - 2 = 0$，因式分解得$(m+2)(m-1)=0$，解得$m=-2$或$m=1$。
由不等式②得$m≠ -1$，两个解均满足该条件。
第二步：根据函数增减性筛选m值：
已知当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，说明二次函数开口向下，即二次项系数小于0：
$m + 1 ＜ 0$，解得$m ＜ -1$。
结合第一步得到的两个解，只有$m=-2$满足$m ＜ -1$，$m=1$时$m+1=2＞0$，开口向上，不符合增减性要求，故舍去。
【答案】
-2
【知识点】
1.二次函数的定义
2.二次函数的增减性
3.解一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数的基础综合题，解题的关键是牢记二次函数的定义限制和图象性质，易错点是容易遗漏二次项系数的符号要求，求出m的可能值后要逐一验证所有条件是否都满足，避免多解错解。
【难度系数】
0.7
12.如图，直线$l$经过$A(4,0)$和$B(0,4)$两点，它与抛物线$y=ax^2$在第一象限内相交于点$P$，$△ AOP$的面积为4，则$a$的值为
$\frac{1}{2}$
。答案
12. $\frac{1}{2}$ 【解析】易求得$△ AOB$的面积为8. 由$△ AOP$的面积为4,可知$P$是$AB$的中点. 由$A(4,0)$,$B(0,4)$可得点$P$的坐标为$(2,2)$. 将$x=2,y=2$代入$y=ax^2$,得$2=4a$. 解得$a=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：直线过A(4,0)、B(0,4)两点，△AOP的面积为4，P是直线和抛物线在第一象限的交点。首先可以利用△AOP的底OA的长度和面积，求出点P的纵坐标；再求出直线AB的解析式，代入P的纵坐标得到P的横坐标；最后将P点坐标代入抛物线解析式，即可求出参数a的值。也可以通过对比△AOB和△AOP的面积，直接得到P是AB中点，快速得到P点坐标简化计算。
【解析】
步骤1：求点P的纵坐标
已知点A坐标为(4,0)，则$OA=4$，设点P的纵坐标为$y_P$，由$S_{△ AOP}=4$可得：
$\frac{1}{2} × OA × y_P = 4$
代入$OA=4$，解得$y_P=2$。
步骤2：求直线AB的解析式
设直线l的解析式为$y=kx+b$，将A(4,0)、B(0,4)代入解析式：
当$x=0$时，$b=4$；
当$x=4$时，$4k + 4 = 0$，解得$k=-1$。
因此直线AB的解析式为$y=-x+4$。
步骤3：求点P的坐标
因为点P在直线AB上，且$y_P=2$，代入直线解析式得：
$2 = -x + 4$，解得$x=2$，即P点坐标为$(2,2)$。
步骤4：求a的值
将P(2,2)代入抛物线$y=ax^2$得：
$2 = a × 2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数参数求解，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是通过三角形面积确定两函数交点的坐标，再代入解析式求解未知参数，难度不大，侧重考查坐标运算和函数性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：直线过A(4,0)、B(0,4)两点，△AOP的面积为4，P是直线和抛物线在第一象限的交点。首先可以利用△AOP的底OA的长度和面积，求出点P的纵坐标；再求出直线AB的解析式，代入P的纵坐标得到P的横坐标；最后将P点坐标代入抛物线解析式，即可求出参数a的值。也可以通过对比△AOB和△AOP的面积，直接得到P是AB中点，快速得到P点坐标简化计算。
【解析】
步骤1：求点P的纵坐标
已知点A坐标为(4,0)，则$OA=4$，设点P的纵坐标为$y_P$，由$S_{△ AOP}=4$可得：
$\frac{1}{2} × OA × y_P = 4$
代入$OA=4$，解得$y_P=2$。
步骤2：求直线AB的解析式
设直线l的解析式为$y=kx+b$，将A(4,0)、B(0,4)代入解析式：
当$x=0$时，$b=4$；
当$x=4$时，$4k + 4 = 0$，解得$k=-1$。
因此直线AB的解析式为$y=-x+4$。
步骤3：求点P的坐标
因为点P在直线AB上，且$y_P=2$，代入直线解析式得：
$2 = -x + 4$，解得$x=2$，即P点坐标为$(2,2)$。
步骤4：求a的值
将P(2,2)代入抛物线$y=ax^2$得：
$2 = a × 2^2$，即$4a=2$，解得$a=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
一次函数解析式求解，二次函数参数求解，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是通过三角形面积确定两函数交点的坐标，再代入解析式求解未知参数，难度不大，侧重考查坐标运算和函数性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
13. 在平面直角坐标系中,已知点$A(-1,1)$,$B(2,1)$.若抛物线$y=ax^2(a≠0)$与线段$AB$有公共点,则$a$的取值范围是
$a≥\frac{1}{4}$
.答案
13. $a≥\frac{1}{4}$ 【解析】若抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$A(-1,1)$,则$1=a·(-1)^2$。解得$a=1$。若抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$B(2,1)$,则$1=a·2^2$。解得$a=\frac{1}{4}$。$\because$抛物线$y=ax^2(a≠0)$与线段$AB$有公共点，$\therefore a≥\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
首先观察线段AB的特征：点A(-1,1)、B(2,1)的纵坐标均为1，横坐标范围是-1≤x≤2，即线段AB是直线y=1上x∈[-1,2]的部分。抛物线y=ax²与线段AB有公共点，等价于方程ax²=1在x∈[-1,2]范围内有解。首先可判断a＞0（若a＜0，抛物线开口向下，函数最大值为0，不可能与y=1相交），接下来只需计算抛物线经过线段两个端点A、B时对应的a值，再结合二次函数的性质判断a的取值范围即可。
【解析】
1. 当抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$A(-1,1)$时，将点A坐标代入解析式：
$1=a·(-1)^2$，解得$a=1$。
2. 当抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$B(2,1)$时，将点B坐标代入解析式：
$1=a·2^2$，解得$a=\frac{1}{4}$。
3. 对于开口向上的抛物线$y=ax^2(a＞0)$，a越小开口越大，a越大开口越小：当$a＜\frac{1}{4}$时，抛物线开口过大，在$x∈[-1,2]$范围内$ax^2＜1$恒成立，与线段AB无交点；当$a≥\frac{1}{4}$时，存在$x∈[-1,2]$使得$ax^2=1$，即抛物线与线段AB有公共点。
【答案】
$a≥\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 函数交点问题求解
【点评】
本题属于二次函数与线段交点的常考题型，解题核心是抓住边界点的取值，结合二次函数开口大小和系数a的关系判断范围，避免因错判开口变化规律导致范围写反。
【难度系数】
0.6
首先观察线段AB的特征：点A(-1,1)、B(2,1)的纵坐标均为1，横坐标范围是-1≤x≤2，即线段AB是直线y=1上x∈[-1,2]的部分。抛物线y=ax²与线段AB有公共点，等价于方程ax²=1在x∈[-1,2]范围内有解。首先可判断a＞0（若a＜0，抛物线开口向下，函数最大值为0，不可能与y=1相交），接下来只需计算抛物线经过线段两个端点A、B时对应的a值，再结合二次函数的性质判断a的取值范围即可。
【解析】
1. 当抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$A(-1,1)$时，将点A坐标代入解析式：
$1=a·(-1)^2$，解得$a=1$。
2. 当抛物线$y=ax^2(a≠0)$经过点$B(2,1)$时，将点B坐标代入解析式：
$1=a·2^2$，解得$a=\frac{1}{4}$。
3. 对于开口向上的抛物线$y=ax^2(a＞0)$，a越小开口越大，a越大开口越小：当$a＜\frac{1}{4}$时，抛物线开口过大，在$x∈[-1,2]$范围内$ax^2＜1$恒成立，与线段AB无交点；当$a≥\frac{1}{4}$时，存在$x∈[-1,2]$使得$ax^2=1$，即抛物线与线段AB有公共点。
【答案】
$a≥\frac{1}{4}$
【知识点】
1. 二次函数的图象与性质
2. 函数交点问题求解
【点评】
本题属于二次函数与线段交点的常考题型，解题核心是抓住边界点的取值，结合二次函数开口大小和系数a的关系判断范围，避免因错判开口变化规律导致范围写反。
【难度系数】
0.6
14.已知点$A(3,5),B(0,1)$.若点$M$在抛物线$y=\frac{1}{4}x^2$上运动,则$AM+BM$的最小值为
6
.答案
14. 6 【解析】设点$M$的横坐标为$m$,则$M(m,\frac{1}{4}m^2)$,点$M$到$x$轴的距离为$\frac{1}{4}m^2$,点$M$到直线$y=-1$的距离为$\frac{1}{4}m^2+1$。$\because B(0,1)$，$\therefore BM=\sqrt{(m-0)^2+(\frac{1}{4}m^2-1)^2}=\frac{1}{4}m^2+1$。$\therefore$点$M$到点$B$的距离与点$M$到直线$y=-1$的距离相等。$\because$点$A$的横坐标为3，$\therefore$当点$M$为直线$x=3$与抛物线的公共点时，$AM+BM$最小。如图,设直线$x=3$与直线$y=-1$相交于点$B'(3,-1)$. 故$AM+BM$的最小值为$AB'$的长。$\because A(3,5)$，$\therefore AB'=5-(-1)=6$。
解析
【分析】
本题为抛物线上动点的线段和最小值问题，常规将军饮马模型无法直接使用，因此可先通过坐标法表示线段BM的长度，化简后发现BM等于点M到直线y=-1的距离，进而将AM+BM转化为AM与点M到直线y=-1的距离之和，再根据垂线段最短的性质，即可求出最小值。
【解析】
设点M的横坐标为$m$，则$M$的坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2)$。
先计算$BM$的长度：
$\because B(0,1)$，
$\therefore BM=\sqrt{(m-0)^2+(\frac{1}{4}m^2-1)^2}$
$=\sqrt{m^2+\frac{1}{16}m^4-\frac{1}{2}m^2+1}$
$=\sqrt{\frac{1}{16}m^4+\frac{1}{2}m^2+1}$
$=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2+1)^2}=\frac{1}{4}m^2+1$。
再看点$M$到直线$y=-1$的距离：$\frac{1}{4}m^2 - (-1)=\frac{1}{4}m^2+1$，因此$BM$等于点$M$到直线$y=-1$的距离。
由此可得$AM+BM=AM + \mathrm{点}M\mathrm{到直线}y=-1\mathrm{的距离}$，根据垂线段最短，过点$A(3,5)$作直线$y=-1$的垂线，垂足为$B'$，此时垂线与抛物线的交点即为使$AM+BM$最小的点$M$，最小值为线段$AB'$的长度。
易知$B'$坐标为$(3,-1)$，因此$AB'=5-(-1)=6$。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，二次函数的性质，两点间距离公式
【点评】
本题将二次函数与线段最值问题结合，核心解题思路是通过代数运算将动线段BM转化为点到直线的距离，再利用垂线段最短求解，考查了转化思想与数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
本题为抛物线上动点的线段和最小值问题，常规将军饮马模型无法直接使用，因此可先通过坐标法表示线段BM的长度，化简后发现BM等于点M到直线y=-1的距离，进而将AM+BM转化为AM与点M到直线y=-1的距离之和，再根据垂线段最短的性质，即可求出最小值。
【解析】
设点M的横坐标为$m$，则$M$的坐标为$(m,\frac{1}{4}m^2)$。
先计算$BM$的长度：
$\because B(0,1)$，
$\therefore BM=\sqrt{(m-0)^2+(\frac{1}{4}m^2-1)^2}$
$=\sqrt{m^2+\frac{1}{16}m^4-\frac{1}{2}m^2+1}$
$=\sqrt{\frac{1}{16}m^4+\frac{1}{2}m^2+1}$
$=\sqrt{(\frac{1}{4}m^2+1)^2}=\frac{1}{4}m^2+1$。
再看点$M$到直线$y=-1$的距离：$\frac{1}{4}m^2 - (-1)=\frac{1}{4}m^2+1$，因此$BM$等于点$M$到直线$y=-1$的距离。
由此可得$AM+BM=AM + \mathrm{点}M\mathrm{到直线}y=-1\mathrm{的距离}$，根据垂线段最短，过点$A(3,5)$作直线$y=-1$的垂线，垂足为$B'$，此时垂线与抛物线的交点即为使$AM+BM$最小的点$M$，最小值为线段$AB'$的长度。
易知$B'$坐标为$(3,-1)$，因此$AB'=5-(-1)=6$。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，二次函数的性质，两点间距离公式
【点评】
本题将二次函数与线段最值问题结合，核心解题思路是通过代数运算将动线段BM转化为点到直线的距离，再利用垂线段最短求解，考查了转化思想与数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
15.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,D在二次函数$y=x^2$的图象上,点B,D在y轴的同侧,且点B在点D的左侧.设点B,D的横坐标分别为m,n,判断$n-m$是不是定值,并说明理由.
答案
15. 【解】$n-m$是定值. 理由如下：
如图,过点$B$作$BF⊥ y$轴,垂足为$F$,过点$D$作$DE⊥ y$轴,垂足为$E$。
$\because$点$B,D$的横坐标分别为$m,n$,正方形$ABCD$的顶点$B,D$都在二次函数$y=x^2$的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$。
$\therefore BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$轴,$DE⊥ y$轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$。
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BF=AE,AF=DE$。
$\therefore AF=n$。
$\therefore m=n^2-n-m^2$。
$\therefore m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$点$B,D$在$y$轴的同侧，
$\therefore m+n≠0$。
$\therefore n-m=1$,$n-m$是定值。
解析
【分析】
要判断$n-m$是不是定值，首先可根据二次函数解析式写出B、D两点的坐标，再结合正方形的性质推导坐标间的关系。由于正方形邻边垂直且相等，我们可以过B、D作y轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两个直角三角形全等，得到对应边的等量关系，再将坐标代入等量关系中变形化简，结合B、D在y轴同侧的条件，即可推导出$n$和$m$的关系，判断$n-m$是否为定值。
【解析】
过点$B$作$BF⊥ y$轴，垂足为$F$，过点$D$作$DE⊥ y$轴，垂足为$E$。
$\because$点$B,D$的横坐标分别为$m,n$，且点$B,D$在二次函数$y=x^2$的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$，即$BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$轴，$DE⊥ y$轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$，
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠DEA\\∠FAB=∠EDA\\AB=DA\end{array} $
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BF=AE,AF=DE$，即$AE=m,AF=n$。
$\because AE+AF=OE-OA+OA-OF=OE-OF$，
$\therefore m+n=n^2-m^2$，整理得$m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$点$B,D$在$y$轴的同侧，$\therefore m,n$同号，$m+n≠0$，
等式两边同时除以$m+n$得$n-m=1$，为定值。
【答案】
$n-m$是定值，$n-m=1$。理由如下：
如图,过点$B$作$BF⊥ y$轴,垂足为$F$,过点$D$作$DE⊥ y$轴,垂足为$E$。
$\because$点$B,D$的横坐标分别为$m,n$,正方形$ABCD$的顶点$B,D$都在二次函数$y=x^2$的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$。
$\therefore BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$轴,$DE⊥ y$轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$。
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BF=AE,AF=DE$。
$\therefore AF=n$。
$\therefore m=n^2-n-m^2$。
$\therefore m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$点$B,D$在$y$轴的同侧，
$\therefore m+n≠0$。
$\therefore n-m=1$,$n-m$是定值。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
这是典型的代数与几何结合的综合题，将二次函数、正方形性质、全等三角形的知识融合考查，核心是运用数形结合思想，通过作辅助线构造全等三角形建立坐标间的等量关系，化简时要注意结合题目的隐含条件排除$m+n=0$的情况，避免错解。
【难度系数】
0.6
要判断$n-m$是不是定值，首先可根据二次函数解析式写出B、D两点的坐标，再结合正方形的性质推导坐标间的关系。由于正方形邻边垂直且相等，我们可以过B、D作y轴的垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两个直角三角形全等，得到对应边的等量关系，再将坐标代入等量关系中变形化简，结合B、D在y轴同侧的条件，即可推导出$n$和$m$的关系，判断$n-m$是否为定值。
【解析】
过点$B$作$BF⊥ y$轴，垂足为$F$，过点$D$作$DE⊥ y$轴，垂足为$E$。
$\because$点$B,D$的横坐标分别为$m,n$，且点$B,D$在二次函数$y=x^2$的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$，即$BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$轴，$DE⊥ y$轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$，
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
在$△ ABF$和$△ DAE$中：
$\{\begin{array}{l}∠AFB=∠DEA\\∠FAB=∠EDA\\AB=DA\end{array} $
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$，
$\therefore BF=AE,AF=DE$，即$AE=m,AF=n$。
$\because AE+AF=OE-OA+OA-OF=OE-OF$，
$\therefore m+n=n^2-m^2$，整理得$m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$点$B,D$在$y$轴的同侧，$\therefore m,n$同号，$m+n≠0$，
等式两边同时除以$m+n$得$n-m=1$，为定值。
【答案】
$n-m$是定值，$n-m=1$。理由如下：
如图,过点$B$作$BF⊥ y$轴,垂足为$F$,过点$D$作$DE⊥ y$轴,垂足为$E$。
$\because$点$B,D$的横坐标分别为$m,n$,正方形$ABCD$的顶点$B,D$都在二次函数$y=x^2$的图象上，
$\therefore B(m,m^2),D(n,n^2)$。
$\therefore BF=m,OF=m^2,DE=n,OE=n^2$。
$\because BF⊥ y$轴,$DE⊥ y$轴，
$\therefore ∠ AFB=∠ DEA=90°$。
$\because$四边形$ABCD$是正方形，
$\therefore ∠ DAB=90°,AD=AB$。
$\therefore ∠ FAB=90°-∠ EAD=∠ EDA$。
$\therefore △ ABF≌△ DAE(\mathrm{AAS})$。
$\therefore BF=AE,AF=DE$。
$\therefore AF=n$。
$\therefore m=n^2-n-m^2$。
$\therefore m+n=(n-m)(n+m)$。
$\because$点$B,D$在$y$轴的同侧，
$\therefore m+n≠0$。
$\therefore n-m=1$,$n-m$是定值。
【知识点】
二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【点评】
这是典型的代数与几何结合的综合题，将二次函数、正方形性质、全等三角形的知识融合考查，核心是运用数形结合思想，通过作辅助线构造全等三角形建立坐标间的等量关系，化简时要注意结合题目的隐含条件排除$m+n=0$的情况，避免错解。
【难度系数】
0.6
