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21. (10分)随着人们生活方式的改变,租车出行成为一种新选择.某租车公司根据去年运营经验得出:每天租车的车辆数$y$(单位:辆)与每辆车每天的租金$x$(单位:元)满足关系式$y=-\frac{1}{50}x+36$（$500≤ x≤1800$,且$x$为50的整数倍）,公司需要为每辆租出的车每天支出各种费用共200元.设租车公司每天的利润为$w$元.
(1)求$w$与$x$的函数关系式.(利润=租金-支出)
(2)公司在十一黄金周的前3天每天都获得了最大利润,但是后4天执行了物价局的新规定:每辆车每天的租金不超过800元.请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元.
(1)求$w$与$x$的函数关系式.(利润=租金-支出)
(2)公司在十一黄金周的前3天每天都获得了最大利润,但是后4天执行了物价局的新规定:每辆车每天的租金不超过800元.请确定这7天公司获得的总利润最多为多少元.
答案
解：
(1) 由利润的计算规则可得：
$\begin{aligned}w&=(x-200)y\\&=(x-200)(-\frac{1}{50}x+36)\\&=-\frac{1}{50}x^2 + 40x -7200\end{aligned}$
其中自变量x的取值范围为$500≤ x≤1800$，且x为50的整数倍。
(2) 将函数关系式配方得：
$w=-\frac{1}{50}(x-1000)^2 + 12800$
$\because a=-\frac{1}{50}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1000$，且$500≤ x≤1800$，
$\therefore$ 当$x=1000$时，w取得最大值12800元，即前3天单日最大利润为12800元。
由新规定可知后4天满足$500≤ x≤800$，
$\because$ 当$x≤1000$时，w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=800$时，后4天单日利润取得最大值，代入得：
$w=-\frac{1}{50}×(800-1000)^2 +12800=12000$元。
7天总利润最大值为：
$3×12800 + 4×12000=86400$元。
答：这7天公司获得的总利润最多为86400元。
(1) 由利润的计算规则可得：
$\begin{aligned}w&=(x-200)y\\&=(x-200)(-\frac{1}{50}x+36)\\&=-\frac{1}{50}x^2 + 40x -7200\end{aligned}$
其中自变量x的取值范围为$500≤ x≤1800$，且x为50的整数倍。
(2) 将函数关系式配方得：
$w=-\frac{1}{50}(x-1000)^2 + 12800$
$\because a=-\frac{1}{50}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1000$，且$500≤ x≤1800$，
$\therefore$ 当$x=1000$时，w取得最大值12800元，即前3天单日最大利润为12800元。
由新规定可知后4天满足$500≤ x≤800$，
$\because$ 当$x≤1000$时，w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=800$时，后4天单日利润取得最大值，代入得：
$w=-\frac{1}{50}×(800-1000)^2 +12800=12000$元。
7天总利润最大值为：
$3×12800 + 4×12000=86400$元。
答：这7天公司获得的总利润最多为86400元。
解析
【分析】
(1) 求解利润w与租金x的函数关系式，首先明确利润计算逻辑：单日总利润=每辆车的单日利润×当天租出的车辆数。其中每辆车的单日利润为租金x减去每辆车的支出200元，租出车辆数y与x的关系式题目已给出，将两个量代入利润公式展开整理即可，同时要标注自变量x的取值范围。
(2) 求7天总利润最大值，需分别计算前3天和后4天的单日最大利润再求和。首先将(1)得到的二次函数配方，确定开口方向和对称轴：二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，前3天无额外租金限制，因此对称轴处x=1000对应单日最大利润。后4天租金不超过800元，即x的取值范围变为500≤x≤800，该区间在对称轴左侧，此时w随x的增大而增大，因此区间右端点x=800对应后4天的单日最大利润，最后分别计算3天和4天的利润相加即可得到总利润最大值。
【解析】
(1) 根据“总利润=每辆车的利润×租出车辆数”，每辆车的利润为$(x-200)$元，租出车辆数$y=-\frac{1}{50}x+36$，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-200)y\\&=(x-200)(-\frac{1}{50}x+36)\\&=-\frac{1}{50}x^2 + 40x -7200\end{aligned}$
自变量x的取值范围：$500≤ x≤1800$，且x为50的整数倍。
(2) 将w的函数关系式配方得：
$w=-\frac{1}{50}(x-1000)^2 + 12800$
$\because a=-\frac{1}{50}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1000$，结合x的取值范围$500≤ x≤1800$，
$\therefore$ 当$x=1000$时，w取得最大值，单日最大利润为12800元，即前3天每天最大利润为12800元。
后4天租金不超过800元，即x的取值范围为$500≤ x≤800$，
$\because$ 当$x≤1000$时，w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=800$时，后4天单日利润取得最大值，代入得：
$w=-\frac{1}{50}×(800-1000)^2 +12800=12000$元。
7天总利润最大值为：
$3×12800 + 4×12000=86400$元。
【答案】
(1) $w=-\frac{1}{50}x^2 + 40x -7200$（$500≤ x≤1800$，且x为50的整数倍）；
(2) 这7天公司获得的总利润最多为86400元。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数最值，列函数关系式
【点评】
本题结合租车出行的生活场景，考查二次函数在利润优化问题中的应用，解题核心是准确列出函数关系式，结合二次函数的性质和自变量的实际取值范围确定最值，需要注意不同限制条件下最值对应自变量的取值变化，能有效考查学生运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解利润w与租金x的函数关系式，首先明确利润计算逻辑：单日总利润=每辆车的单日利润×当天租出的车辆数。其中每辆车的单日利润为租金x减去每辆车的支出200元，租出车辆数y与x的关系式题目已给出，将两个量代入利润公式展开整理即可，同时要标注自变量x的取值范围。
(2) 求7天总利润最大值，需分别计算前3天和后4天的单日最大利润再求和。首先将(1)得到的二次函数配方，确定开口方向和对称轴：二次项系数为负，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，前3天无额外租金限制，因此对称轴处x=1000对应单日最大利润。后4天租金不超过800元，即x的取值范围变为500≤x≤800，该区间在对称轴左侧，此时w随x的增大而增大，因此区间右端点x=800对应后4天的单日最大利润，最后分别计算3天和4天的利润相加即可得到总利润最大值。
【解析】
(1) 根据“总利润=每辆车的利润×租出车辆数”，每辆车的利润为$(x-200)$元，租出车辆数$y=-\frac{1}{50}x+36$，因此：
$\begin{aligned}w&=(x-200)y\\&=(x-200)(-\frac{1}{50}x+36)\\&=-\frac{1}{50}x^2 + 40x -7200\end{aligned}$
自变量x的取值范围：$500≤ x≤1800$，且x为50的整数倍。
(2) 将w的函数关系式配方得：
$w=-\frac{1}{50}(x-1000)^2 + 12800$
$\because a=-\frac{1}{50}＜0$，抛物线开口向下，对称轴为直线$x=1000$，结合x的取值范围$500≤ x≤1800$，
$\therefore$ 当$x=1000$时，w取得最大值，单日最大利润为12800元，即前3天每天最大利润为12800元。
后4天租金不超过800元，即x的取值范围为$500≤ x≤800$，
$\because$ 当$x≤1000$时，w随x的增大而增大，
$\therefore$ 当$x=800$时，后4天单日利润取得最大值，代入得：
$w=-\frac{1}{50}×(800-1000)^2 +12800=12000$元。
7天总利润最大值为：
$3×12800 + 4×12000=86400$元。
【答案】
(1) $w=-\frac{1}{50}x^2 + 40x -7200$（$500≤ x≤1800$，且x为50的整数倍）；
(2) 这7天公司获得的总利润最多为86400元。
【知识点】
二次函数的应用，二次函数最值，列函数关系式
【点评】
本题结合租车出行的生活场景，考查二次函数在利润优化问题中的应用，解题核心是准确列出函数关系式，结合二次函数的性质和自变量的实际取值范围确定最值，需要注意不同限制条件下最值对应自变量的取值变化，能有效考查学生运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
22. (10分)(2025·河南)在二次函数$y=ax^2+bx-2$中，$x$与$y$的几组对应值如下表所示.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出$n$的值.
(1)求二次函数的解析式.
(2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象.
(3)将二次函数的图象向右平移$n$个单位长度后，当$0≤x≤3$时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出$n$的值.
答案
解：(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a - b = 0 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=3$得$b=2$。
所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对$y=x^2+2x-2$配方，得$y=(x+1)^2-3$，
所以二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
在坐标系中描出点$(-2,-2),(-1,-3),(0,-2),(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(3) $n$的值为$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$。
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a - b = 0 \\a + b = 3\end{cases}$
两式相加得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入$a+b=3$得$b=2$。
所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对$y=x^2+2x-2$配方，得$y=(x+1)^2-3$，
所以二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
在坐标系中描出点$(-2,-2),(-1,-3),(0,-2),(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(3) $n$的值为$4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$。
解析
【分析】
(1) 已知二次函数解析式为$y=ax^2+bx-2$，仅含a、b两个未知系数，因此选取两组x、y的对应值代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，进而得到解析式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；画二次函数图象时，先确定顶点，再选取若干对称的已知点，描点后用平滑曲线顺次连接即可。
(3) 二次函数向右平移n个单位遵循“左加右减”的规律，得到平移后的解析式后，分对称轴在区间$0≤x≤3$的左侧、区间内、右侧三种情况，分别求对应区间的最大值和最小值，根据最值差为5列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a - b = 0 ①\\a + b = 3 ②\end{cases}$
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入②得$b=2$。
所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对$y=x^2+2x-2$配方，得$y=(x+1)^2-3$，
所以二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画图象时，先描出点$(-2,-2)、(-1,-3)、(0,-2)、(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(3) 平移后函数解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，对称轴为$x=n-1$，分情况讨论区间$0≤x≤3$的最值：
若对称轴在区间内，最小值为顶点值$-3$，由最值差为5得最大值为2，代入端点值求解得符合条件的$n=4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$；若对称轴在区间外，求解所得的n均不符合取值范围，舍去。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-2$
(2) 顶点坐标为$(-1,-3)$，图象画法见解析
(3) $n=4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的平移
【点评】
本题层层递进考查二次函数的核心知识点，前两问侧重基础应用，第三问需要结合分类讨论思想分析区间最值，能有效检验学生对二次函数性质的掌握程度和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 已知二次函数解析式为$y=ax^2+bx-2$，仅含a、b两个未知系数，因此选取两组x、y的对应值代入解析式，得到二元一次方程组，解方程组即可求出a、b，进而得到解析式。
(2) 求顶点坐标可通过配方法将一般式转化为顶点式，直接得到顶点坐标；画二次函数图象时，先确定顶点，再选取若干对称的已知点，描点后用平滑曲线顺次连接即可。
(3) 二次函数向右平移n个单位遵循“左加右减”的规律，得到平移后的解析式后，分对称轴在区间$0≤x≤3$的左侧、区间内、右侧三种情况，分别求对应区间的最大值和最小值，根据最值差为5列方程求解，舍去不符合条件的解即可得到n的值。
【解析】
(1) 将$x=-2,y=-2$和$x=1,y=1$代入$y=ax^2+bx-2$，得：
$\begin{cases}4a - 2b - 2 = -2 \\a + b - 2 = 1\end{cases}$
化简得：
$\begin{cases}2a - b = 0 ①\\a + b = 3 ②\end{cases}$
①+②得$3a=3$，解得$a=1$，将$a=1$代入②得$b=2$。
所以二次函数的解析式为$y=x^2+2x-2$。
(2) 对$y=x^2+2x-2$配方，得$y=(x+1)^2-3$，
所以二次函数图象的顶点坐标为$(-1,-3)$。
画图象时，先描出点$(-2,-2)、(-1,-3)、(0,-2)、(1,1)$，用平滑曲线顺次连接各点，即可得到该二次函数的图象。
(3) 平移后函数解析式为$y=(x+1-n)^2-3$，对称轴为$x=n-1$，分情况讨论区间$0≤x≤3$的最值：
若对称轴在区间内，最小值为顶点值$-3$，由最值差为5得最大值为2，代入端点值求解得符合条件的$n=4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$；若对称轴在区间外，求解所得的n均不符合取值范围，舍去。
【答案】
(1) $y=x^2+2x-2$
(2) 顶点坐标为$(-1,-3)$，图象画法见解析
(3) $n=4-\sqrt{5}$或$1+\sqrt{5}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象与性质；二次函数的平移
【点评】
本题层层递进考查二次函数的核心知识点，前两问侧重基础应用，第三问需要结合分类讨论思想分析区间最值，能有效检验学生对二次函数性质的掌握程度和综合分析能力。
【难度系数】
0.6
