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19. (9分)如图7,某农场拟建一间矩形种牛饲养室,饲养室的一面靠现有墙(墙足够长),已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50 m.设饲养室长为x(单位:m),占地面积为y(单位:m²).
(1)如图7①,问:饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图7②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
(1)如图7①,问:饲养室长x为多少时,占地面积y最大?
(2)如图7②,现要求在图中所示位置留2 m宽的门,且仍使饲养室的占地面积最大,小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算,判断小敏的说法是否正确.
答案
解：
(1) 由题意得，饲养室的宽为$\frac{50 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{50 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 25x \quad (0 ＜ x ＜ 50)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{25}{2 × (-\frac{1}{2})} = 25$时，$y$取得最大值。
即饲养室长$x$为$25\ \mathrm{m}$时，占地面积$y$最大。
(2) 由题意，留2 m宽的门后，饲养室的宽为$\frac{50 - x + 2}{2} = \frac{52 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{52 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 26x \quad (2 ＜ x ＜ 52)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{26}{2 × (-\frac{1}{2})} = 26$时，$y$取得最大值。
$\because 26 - 25 = 1 ≠ 2$，
$\therefore$ 小敏的说法不正确。
(1) 由题意得，饲养室的宽为$\frac{50 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{50 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 25x \quad (0 ＜ x ＜ 50)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{25}{2 × (-\frac{1}{2})} = 25$时，$y$取得最大值。
即饲养室长$x$为$25\ \mathrm{m}$时，占地面积$y$最大。
(2) 由题意，留2 m宽的门后，饲养室的宽为$\frac{50 - x + 2}{2} = \frac{52 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{52 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 26x \quad (2 ＜ x ＜ 52)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{26}{2 × (-\frac{1}{2})} = 26$时，$y$取得最大值。
$\because 26 - 25 = 1 ≠ 2$，
$\therefore$ 小敏的说法不正确。
解析
【分析】
(1) 第一问求最大占地面积，首先根据围墙总长和饲养室的长x推导宽的表达式：因为饲养室一面靠墙，围墙仅需修建1个长和2个宽，总长度为50m，因此宽为$\frac{50-x}{2}$；再根据矩形面积公式列出y关于x的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，代入二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对应x的值。
(2) 第二问留2m宽的门，门的位置无需修建围墙，等效于围墙可使用的总长度增加2m，因此先推导新的宽的表达式为$\frac{50+2-x}{2}$，再列出面积的二次函数，求出使y最大的x值，和第一问的结果作差，判断差值是否为2即可验证小敏的说法是否正确。
【解析】
(1) 由题意得，饲养室垂直于墙的宽为$\frac{50 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{50 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 25x \quad (0 ＜ x ＜ 50)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{25}{2 × (-\frac{1}{2})} = 25$时，$y$取得最大值。
即饲养室长$x$为$25\ \mathrm{m}$时，占地面积$y$最大。
(2) 留2 m宽的门后，等效可利用的围墙总长为$50+2=52\ \mathrm{m}$，饲养室的宽为$\frac{52 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{52 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 26x \quad (2 ＜ x ＜ 52)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{26}{2 × (-\frac{1}{2})} = 26$时，$y$取得最大值。
$\because 26 - 25 = 1 ≠ 2$，
$\therefore$ 小敏的说法不正确。
【答案】
(1) 饲养室长为25m时，占地面积最大；
(2) 小敏的说法不正确。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确梳理题中的数量关系，正确列出面积关于边长的函数表达式，尤其要注意留门的情况对围墙可用长度的影响，避免因数量关系理解错误出现解题偏差。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问求最大占地面积，首先根据围墙总长和饲养室的长x推导宽的表达式：因为饲养室一面靠墙，围墙仅需修建1个长和2个宽，总长度为50m，因此宽为$\frac{50-x}{2}$；再根据矩形面积公式列出y关于x的二次函数，由于二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取得最大值，代入二次函数顶点横坐标公式$x=-\frac{b}{2a}$即可求出对应x的值。
(2) 第二问留2m宽的门，门的位置无需修建围墙，等效于围墙可使用的总长度增加2m，因此先推导新的宽的表达式为$\frac{50+2-x}{2}$，再列出面积的二次函数，求出使y最大的x值，和第一问的结果作差，判断差值是否为2即可验证小敏的说法是否正确。
【解析】
(1) 由题意得，饲养室垂直于墙的宽为$\frac{50 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{50 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 25x \quad (0 ＜ x ＜ 50)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{25}{2 × (-\frac{1}{2})} = 25$时，$y$取得最大值。
即饲养室长$x$为$25\ \mathrm{m}$时，占地面积$y$最大。
(2) 留2 m宽的门后，等效可利用的围墙总长为$50+2=52\ \mathrm{m}$，饲养室的宽为$\frac{52 - x}{2}\ \mathrm{m}$，
则占地面积：
$y = x · \frac{52 - x}{2} = -\frac{1}{2}x^2 + 26x \quad (2 ＜ x ＜ 52)$
$\because a = -\frac{1}{2} ＜ 0$，函数图象开口向下，
$\therefore$ 当$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{26}{2 × (-\frac{1}{2})} = 26$时，$y$取得最大值。
$\because 26 - 25 = 1 ≠ 2$，
$\therefore$ 小敏的说法不正确。
【答案】
(1) 饲养室长为25m时，占地面积最大；
(2) 小敏的说法不正确。
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，矩形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查二次函数的应用，解题核心是准确梳理题中的数量关系，正确列出面积关于边长的函数表达式，尤其要注意留门的情况对围墙可用长度的影响，避免因数量关系理解错误出现解题偏差。
【难度系数】
0.7
20. (9分)如图8,在平面直角坐标系中,抛物线的顶点为A(1,-4),且与x轴交于B,C两点,点B的坐标为(3,0).
(1)写出C点的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)观察图象,直接写出函数值为正数时,自变量的取值范围.
21. (10分)随着人们生活方式的改变,租车出行成为一种新选
(1)写出C点的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)观察图象,直接写出函数值为正数时,自变量的取值范围.
21. (10分)随着人们生活方式的改变,租车出行成为一种新选
答案
解：
(1) ∵抛物线的顶点为A(1,-4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1。
∵点B、C关于直线x=1对称，点B的坐标为(3,0)，
∴C点的坐标为(-1,0)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-4$，
将点B(3,0)代入解析式，得：
$0=a·(3-1)^2-4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2-4$，即$y=x^2-2x-3$。
(2) 函数值为正数时，自变量的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
(1) ∵抛物线的顶点为A(1,-4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1。
∵点B、C关于直线x=1对称，点B的坐标为(3,0)，
∴C点的坐标为(-1,0)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-4$，
将点B(3,0)代入解析式，得：
$0=a·(3-1)^2-4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2-4$，即$y=x^2-2x-3$。
(2) 函数值为正数时，自变量的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
解析
【分析】
(1) 求解C点坐标：抛物线是轴对称图形，顶点横坐标即为对称轴，已知顶点A(1,-4)，可得对称轴为直线x=1；抛物线与x轴的交点B、C关于对称轴对称，两点到对称轴的距离相等，B点(3,0)到对称轴的距离为3-1=2，因此C点横坐标为1-2=-1，纵坐标为0，即可得到C点坐标。求解抛物线解析式：已知顶点坐标，优先选择顶点式$y=a(x-h)^2+k$（h,k为顶点坐标）设解析式，代入B点坐标求出参数a，整理即可得到最终解析式。
(2) 函数值为正数即y＞0，对应图象中抛物线位于x轴上方的部分，观察图象直接读取该部分对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为A(1,-4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1。
∵点B、C关于直线x=1对称，点B的坐标为(3,0)，
∴C点的坐标为(-1,0)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-4$，
将点B(3,0)代入解析式，得：
$0=a·(3-1)^2-4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2-4$，即$y=x^2-2x-3$。
(2) 函数值为正数时，即抛物线图象在x轴上方的部分，对应的自变量的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
【答案】
(1) C点坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$，抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$（或$y=(x-1)^2-4$）；
(2) 自变量的取值范围为$\boldsymbol{x＜-1或x＞3}$。
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数解析式求解；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查二次函数的基本性质，利用对称性求交点坐标、选择顶点式简化解析式计算，同时体现了数形结合的思想，熟练掌握二次函数基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解C点坐标：抛物线是轴对称图形，顶点横坐标即为对称轴，已知顶点A(1,-4)，可得对称轴为直线x=1；抛物线与x轴的交点B、C关于对称轴对称，两点到对称轴的距离相等，B点(3,0)到对称轴的距离为3-1=2，因此C点横坐标为1-2=-1，纵坐标为0，即可得到C点坐标。求解抛物线解析式：已知顶点坐标，优先选择顶点式$y=a(x-h)^2+k$（h,k为顶点坐标）设解析式，代入B点坐标求出参数a，整理即可得到最终解析式。
(2) 函数值为正数即y＞0，对应图象中抛物线位于x轴上方的部分，观察图象直接读取该部分对应的x的取值范围即可。
【解析】
(1)
∵抛物线的顶点为A(1,-4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1。
∵点B、C关于直线x=1对称，点B的坐标为(3,0)，
∴C点的坐标为(-1,0)。
设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2-4$，
将点B(3,0)代入解析式，得：
$0=a·(3-1)^2-4$，
解得$a=1$，
∴抛物线的解析式为$y=(x-1)^2-4$，即$y=x^2-2x-3$。
(2) 函数值为正数时，即抛物线图象在x轴上方的部分，对应的自变量的取值范围是$x＜-1$或$x＞3$。
【答案】
(1) C点坐标为$\boldsymbol{(-1,0)}$，抛物线的解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-3}$（或$y=(x-1)^2-4$）；
(2) 自变量的取值范围为$\boldsymbol{x＜-1或x＞3}$。
【知识点】
抛物线的对称性；二次函数解析式求解；二次函数图象性质
【点评】
本题是二次函数的基础常考题，主要考查二次函数的基本性质，利用对称性求交点坐标、选择顶点式简化解析式计算，同时体现了数形结合的思想，熟练掌握二次函数基础知识点即可顺利解题。
【难度系数】
0.8
