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15. 已知关于$ x $的二次函数$ y=ax^2+(a^2-1)x-a $的图象与$ x $轴的一个交点的坐标为$(m,0)$.若$2＜m＜3$,则$ a $的取值范围是.
答案
解：对二次函数解析式因式分解得：
$y=ax^2+(a^2-1)x-a=(ax-1)(x+a)$
令$y=0$，得$(ax-1)(x+a)=0$，
解得二次函数与$x$轴的两个交点横坐标为$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，正根为$x=\frac{1}{a}$，由$2＜m＜3$得$2＜\frac{1}{a}＜3$，
解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
2. 当$a＜0$时，正根为$x=-a$，由$2＜m＜3$得$2＜-a＜3$，
解得$-3＜a＜-2$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$。
$y=ax^2+(a^2-1)x-a=(ax-1)(x+a)$
令$y=0$，得$(ax-1)(x+a)=0$，
解得二次函数与$x$轴的两个交点横坐标为$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$。
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，正根为$x=\frac{1}{a}$，由$2＜m＜3$得$2＜\frac{1}{a}＜3$，
解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
2. 当$a＜0$时，正根为$x=-a$，由$2＜m＜3$得$2＜-a＜3$，
解得$-3＜a＜-2$。
综上，$a$的取值范围是$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要求出二次函数与x轴的交点坐标，我们可以先对函数解析式因式分解，令y=0即可得到两个交点的横坐标。由于二次项系数a的正负会影响两个交点的取值正负和大小，因此需要分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别判断哪个交点的取值落在2到3之间，再解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
先对二次函数解析式因式分解：
$y=ax^2+(a^2-1)x-a=(ax-1)(x+a)$
令$y=0$，则$(ax-1)(x+a)=0$，解得二次函数与x轴的两个交点横坐标为：
$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，$\frac{1}{a}＞0$，$-a＜0$，符合$2＜m＜3$的交点为$x=\frac{1}{a}$，即$2＜\frac{1}{a}＜3$，
不等式三边同时取倒数（不等号方向改变），解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
2. 当$a＜0$时，$\frac{1}{a}＜0$，$-a＞0$，符合$2＜m＜3$的交点为$x=-a$，即$2＜-a＜3$，
不等式三边同时乘-1（不等号方向改变），解得$-3＜a＜-2$。
综上可得a的取值范围。
【答案】
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$
【知识点】
二次函数与x轴交点，因式分解，分类讨论
【点评】
本题重点考查二次函数零点的求解方法，解题核心是通过因式分解快速得到交点坐标，再结合参数的符号分类讨论，易错点是容易忽略a的正负性导致漏解，或解不等式时未正确改变不等号方向出现错解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先需要求出二次函数与x轴的交点坐标，我们可以先对函数解析式因式分解，令y=0即可得到两个交点的横坐标。由于二次项系数a的正负会影响两个交点的取值正负和大小，因此需要分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别判断哪个交点的取值落在2到3之间，再解对应的不等式即可得到a的取值范围。
【解析】
先对二次函数解析式因式分解：
$y=ax^2+(a^2-1)x-a=(ax-1)(x+a)$
令$y=0$，则$(ax-1)(x+a)=0$，解得二次函数与x轴的两个交点横坐标为：
$x_1=\frac{1}{a}$，$x_2=-a$
分两种情况讨论：
1. 当$a＞0$时，$\frac{1}{a}＞0$，$-a＜0$，符合$2＜m＜3$的交点为$x=\frac{1}{a}$，即$2＜\frac{1}{a}＜3$，
不等式三边同时取倒数（不等号方向改变），解得$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$；
2. 当$a＜0$时，$\frac{1}{a}＜0$，$-a＞0$，符合$2＜m＜3$的交点为$x=-a$，即$2＜-a＜3$，
不等式三边同时乘-1（不等号方向改变），解得$-3＜a＜-2$。
综上可得a的取值范围。
【答案】
$\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}$或$-3＜a＜-2$
【知识点】
二次函数与x轴交点，因式分解，分类讨论
【点评】
本题重点考查二次函数零点的求解方法，解题核心是通过因式分解快速得到交点坐标，再结合参数的符号分类讨论，易错点是容易忽略a的正负性导致漏解，或解不等式时未正确改变不等号方向出现错解。
【难度系数】
0.6
三、解答题(本大题共8小题,共75分)
16. (8分)已知抛物线$y_1=-x^2+mx+n$,直线$y_2=kx+b$,$y_1$的对称轴与$y_2$交于点$A(-1,5)$,点$A$与$y_1$的顶点$B$的距离是4.
(1)求$y_1$的解析式;
(2)若$y_2$随着$x$的增大而增大,且$y_1$与$y_2$都经过$x$轴上的同一点,求$y_2$的解析式.
16. (8分)已知抛物线$y_1=-x^2+mx+n$,直线$y_2=kx+b$,$y_1$的对称轴与$y_2$交于点$A(-1,5)$,点$A$与$y_1$的顶点$B$的距离是4.
(1)求$y_1$的解析式;
(2)若$y_2$随着$x$的增大而增大,且$y_1$与$y_2$都经过$x$轴上的同一点,求$y_2$的解析式.
答案
解：
(1) 抛物线$y_1=-x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，
由题意得抛物线的对称轴为$x=-1$，即$\frac{m}{2}=-1$，解得$m=-2$。
∵点$A(-1,5)$与抛物线顶点$B$的距离为4，且顶点$B$在对称轴$x=-1$上，
∴顶点$B$的坐标为$(-1,1)$或$(-1,9)$。
当顶点$B$为$(-1,1)$时，$y_1=-(x+1)^2+1=-x^2-2x$；
当顶点$B$为$(-1,9)$时，$y_1=-(x+1)^2+9=-x^2-2x+8$。
综上，$y_1$的解析式为$y_1=-x^2-2x$或$y_1=-x^2-2x+8$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$y_1=-x^2-2x$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，
即抛物线与$x$轴的交点为$(0,0)$和$(-2,0)$。
∵$y_2$随$x$的增大而增大，∴$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(0,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\b=0\end{cases}$，解得$k=-5$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\b=10\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=5x+10$。
② 当$y_1=-x^2-2x+8$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，
即抛物线与$x$轴的交点为$(2,0)$和$(-4,0)$。
∵$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\2k+b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{5}{3}$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-4,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{5}{3}\\b=\frac{20}{3}\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$。
综上，$y_2$的解析式为$y_2=5x+10$或$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$。
(1) 抛物线$y_1=-x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，
由题意得抛物线的对称轴为$x=-1$，即$\frac{m}{2}=-1$，解得$m=-2$。
∵点$A(-1,5)$与抛物线顶点$B$的距离为4，且顶点$B$在对称轴$x=-1$上，
∴顶点$B$的坐标为$(-1,1)$或$(-1,9)$。
当顶点$B$为$(-1,1)$时，$y_1=-(x+1)^2+1=-x^2-2x$；
当顶点$B$为$(-1,9)$时，$y_1=-(x+1)^2+9=-x^2-2x+8$。
综上，$y_1$的解析式为$y_1=-x^2-2x$或$y_1=-x^2-2x+8$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$y_1=-x^2-2x$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，
即抛物线与$x$轴的交点为$(0,0)$和$(-2,0)$。
∵$y_2$随$x$的增大而增大，∴$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(0,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\b=0\end{cases}$，解得$k=-5$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\b=10\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=5x+10$。
② 当$y_1=-x^2-2x+8$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，
即抛物线与$x$轴的交点为$(2,0)$和$(-4,0)$。
∵$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\2k+b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{5}{3}$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-4,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{5}{3}\\b=\frac{20}{3}\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$。
综上，$y_2$的解析式为$y_2=5x+10$或$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$。
解析
【分析】
(1) 首先根据点A是抛物线对称轴与直线的交点，可得抛物线对称轴为x=-1，结合抛物线对称轴公式$x=\frac{m}{2}$即可求出m的值；再由点A到顶点B的距离为4，且顶点在对称轴上，可得顶点B的纵坐标有两种可能（比A的纵坐标大4或小4），得到顶点坐标后用顶点式即可写出$y_1$的解析式，注意不要漏解。
(2) 先根据“$y_2$随x的增大而增大”得$k＞0$；再分别求出两种$y_1$解析式与x轴的交点坐标，因为$y_2$过点A且和$y_1$共过x轴上同一点，将两个点代入直线解析式，求出k和b后舍去$k≤0$的情况，即可得到符合条件的$y_2$解析式。
【解析】
(1) 抛物线$y_1=-x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，
由题意可知抛物线的对称轴过点$A(-1,5)$，故对称轴为$x=-1$，即$\frac{m}{2}=-1$，解得$m=-2$。
∵点$A(-1,5)$与抛物线顶点$B$的距离为4，且顶点$B$在对称轴$x=-1$上，
∴顶点$B$的坐标为$(-1,1)$或$(-1,9)$。
当顶点$B$为$(-1,1)$时，代入顶点式得$y_1=-(x+1)^2+1=-x^2-2x$；
当顶点$B$为$(-1,9)$时，代入顶点式得$y_1=-(x+1)^2+9=-x^2-2x+8$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$y_1=-x^2-2x$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，即抛物线与x轴的交点为$(0,0)$和$(-2,0)$。
∵$y_2$随x的增大而增大，
∴$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(0,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\b=0\end{cases}$，解得$k=-5$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\b=10\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=5x+10$。
② 当$y_1=-x^2-2x+8$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，即抛物线与x轴的交点为$(2,0)$和$(-4,0)$。
∵$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\2k+b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{5}{3}$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-4,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{5}{3}\\b=\frac{20}{3}\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) $y_1=-x^2-2x$或$y_1=-x^2-2x+8$；
(2) $y_2=5x+10$或$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题过程中需要运用分类讨论思想，注意不要遗漏顶点位置、抛物线与x轴交点的多种可能，同时要结合一次函数的单调性对所求结果进行筛选，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
(1) 首先根据点A是抛物线对称轴与直线的交点，可得抛物线对称轴为x=-1，结合抛物线对称轴公式$x=\frac{m}{2}$即可求出m的值；再由点A到顶点B的距离为4，且顶点在对称轴上，可得顶点B的纵坐标有两种可能（比A的纵坐标大4或小4），得到顶点坐标后用顶点式即可写出$y_1$的解析式，注意不要漏解。
(2) 先根据“$y_2$随x的增大而增大”得$k＞0$；再分别求出两种$y_1$解析式与x轴的交点坐标，因为$y_2$过点A且和$y_1$共过x轴上同一点，将两个点代入直线解析式，求出k和b后舍去$k≤0$的情况，即可得到符合条件的$y_2$解析式。
【解析】
(1) 抛物线$y_1=-x^2+mx+n$的对称轴为直线$x=\frac{m}{2}$，
由题意可知抛物线的对称轴过点$A(-1,5)$，故对称轴为$x=-1$，即$\frac{m}{2}=-1$，解得$m=-2$。
∵点$A(-1,5)$与抛物线顶点$B$的距离为4，且顶点$B$在对称轴$x=-1$上，
∴顶点$B$的坐标为$(-1,1)$或$(-1,9)$。
当顶点$B$为$(-1,1)$时，代入顶点式得$y_1=-(x+1)^2+1=-x^2-2x$；
当顶点$B$为$(-1,9)$时，代入顶点式得$y_1=-(x+1)^2+9=-x^2-2x+8$。
(2) 分两种情况讨论：
① 当$y_1=-x^2-2x$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x=0$，解得$x_1=0$，$x_2=-2$，即抛物线与x轴的交点为$(0,0)$和$(-2,0)$。
∵$y_2$随x的增大而增大，
∴$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(0,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\b=0\end{cases}$，解得$k=-5$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-2k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=5\\b=10\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=5x+10$。
② 当$y_1=-x^2-2x+8$时，令$y_1=0$，即$-x^2-2x+8=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-4$，即抛物线与x轴的交点为$(2,0)$和$(-4,0)$。
∵$k＞0$，且直线$y_2=kx+b$过点$A(-1,5)$：
若直线过点$(2,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\2k+b=0\end{cases}$，解得$k=-\frac{5}{3}$，不符合$k＞0$，舍去；
若直线过点$(-4,0)$，代入得$\begin{cases}-k+b=5\\-4k+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=\frac{5}{3}\\b=\frac{20}{3}\end{cases}$，符合条件，此时$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$。
【答案】
(1) $y_1=-x^2-2x$或$y_1=-x^2-2x+8$；
(2) $y_2=5x+10$或$y_2=\frac{5}{3}x+\frac{20}{3}$
【知识点】
二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的综合题，解题过程中需要运用分类讨论思想，注意不要遗漏顶点位置、抛物线与x轴交点的多种可能，同时要结合一次函数的单调性对所求结果进行筛选，避免出现不符合题意的增解。
【难度系数】
0.6
17. (9分)已知二次函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1$（$m$为常数）.
(1)若点$(2,-1)$在该函数图象上，则$m=$；
(2)求证：该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图象上有两个点$A(m+1,y_1)$，$B(m+p,y_2)$，当$y_1＜y_2$时，直接写出$p$的取值范围.
(1)若点$(2,-1)$在该函数图象上，则$m=$；
(2)求证：该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点；
(3)若该函数图象上有两个点$A(m+1,y_1)$，$B(m+p,y_2)$，当$y_1＜y_2$时，直接写出$p$的取值范围.
答案
解：(1) 将点$(2,-1)$代入函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1$，得：
$-1 = \frac{1}{2} × 2^2 - 2m + m -1$
化简得：$-1 = 1 - m$
解得：$m=2$
(2) 证明：令$y=0$，得一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1 = 0$。
判别式$\Delta = (-m)^2 - 4 × \frac{1}{2} × (m-1)$
$= m^2 - 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1$
$\because (m-1)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点。
(3) $p$的取值范围是$\boldsymbol{p＞1}$或$\boldsymbol{p＜-1}$。
$-1 = \frac{1}{2} × 2^2 - 2m + m -1$
化简得：$-1 = 1 - m$
解得：$m=2$
(2) 证明：令$y=0$，得一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1 = 0$。
判别式$\Delta = (-m)^2 - 4 × \frac{1}{2} × (m-1)$
$= m^2 - 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1$
$\because (m-1)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点。
(3) $p$的取值范围是$\boldsymbol{p＞1}$或$\boldsymbol{p＜-1}$。
解析
【分析】
(1) 点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点$(2,-1)$代入二次函数解析式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值；
(2) 二次函数图象与$x$轴的交点个数对应$y=0$时一元二次方程的实数根个数，因此只需证明该一元二次方程的判别式$\Delta＞0$即可，计算$\Delta$后通过配方即可判断其恒大于0；
(3) 先求出二次函数的对称轴，该函数开口向上，横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。先求出点$A$到对称轴的距离，再根据$y_1＜y_2$推出点$B$到对称轴的距离更大，列绝对值不等式求解即可得到$p$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(2,-1)$代入函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1$，得：
$-1 = \frac{1}{2} × 2^2 - 2m + m -1$
化简得：$-1 = 1 - m$
解得：$m=2$
(2) 证明：令$y=0$，得一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1 = 0$。
判别式$\Delta = (-m)^2 - 4 × \frac{1}{2} × (m-1)$
$= m^2 - 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1$
$\because (m-1)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点。
(3) 二次函数对称轴为直线$x=\frac{-(-m)}{2×\frac{1}{2}}=m$，函数开口向上。
点$A$到对称轴的距离为$|(m+1)-m|=1$，点$B$到对称轴的距离为$|(m+p)-m|=|p|$。
$\because y_1＜y_2$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，
$\therefore |p|＞1$，解得$p＞1$或$p＜-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{p＞1}$或$\boldsymbol{p＜-1}$。
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，题型设置由易到难，是二次函数章节的典型考题，涵盖了代入求参数、判别式的应用、利用增减性比较函数值大小等考点，熟练掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
(1) 点在函数图象上时，点的坐标满足函数解析式，将点$(2,-1)$代入二次函数解析式，得到关于$m$的一元一次方程，解方程即可求出$m$的值；
(2) 二次函数图象与$x$轴的交点个数对应$y=0$时一元二次方程的实数根个数，因此只需证明该一元二次方程的判别式$\Delta＞0$即可，计算$\Delta$后通过配方即可判断其恒大于0；
(3) 先求出二次函数的对称轴，该函数开口向上，横坐标离对称轴越远，对应的函数值越大。先求出点$A$到对称轴的距离，再根据$y_1＜y_2$推出点$B$到对称轴的距离更大，列绝对值不等式求解即可得到$p$的取值范围。
【解析】
(1) 将点$(2,-1)$代入函数$y=\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1$，得：
$-1 = \frac{1}{2} × 2^2 - 2m + m -1$
化简得：$-1 = 1 - m$
解得：$m=2$
(2) 证明：令$y=0$，得一元二次方程$\frac{1}{2}x^2 - mx + m -1 = 0$。
判别式$\Delta = (-m)^2 - 4 × \frac{1}{2} × (m-1)$
$= m^2 - 2m + 2$
$= (m-1)^2 + 1$
$\because (m-1)^2 ≥ 0$，
$\therefore \Delta = (m-1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
$\therefore$ 该一元二次方程有两个不相等的实数根，
即该二次函数的图象与$x$轴有两个不同的公共点。
(3) 二次函数对称轴为直线$x=\frac{-(-m)}{2×\frac{1}{2}}=m$，函数开口向上。
点$A$到对称轴的距离为$|(m+1)-m|=1$，点$B$到对称轴的距离为$|(m+p)-m|=|p|$。
$\because y_1＜y_2$，开口向上时离对称轴越远函数值越大，
$\therefore |p|＞1$，解得$p＞1$或$p＜-1$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) 证明见解析；
(3) $\boldsymbol{p＞1}$或$\boldsymbol{p＜-1}$。
【知识点】
1. 二次函数图象上点的坐标特征
2. 二次函数与一元二次方程的关系
3. 二次函数的增减性
【点评】
本题是二次函数基础综合题，题型设置由易到难，是二次函数章节的典型考题，涵盖了代入求参数、判别式的应用、利用增减性比较函数值大小等考点，熟练掌握二次函数的基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
18.(9分)如图6,在平面直角坐标系$xOy$中,已知抛物线的顶点坐标为$(2,0)$,且经过点$(4,1)$,直线$y=\frac{1}{4}x$与抛物线交于$A,B$两点,直线$l$为$y=-1$.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在$l$上是否存在一点$P$,使$PA+PB$取得最小值?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式.
(2)在$l$上是否存在一点$P$,使$PA+PB$取得最小值?若存在,求出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解：
(1) 设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-2)^2$，
将点$(4,1)$代入解析式，得：
$1=a·(4-2)^2$，
解得$a=\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$，即$y=\frac{1}{4}x^2 -x +1$。
(2) 存在满足条件的点P。
联立抛物线与直线$y=\frac{1}{4}x$的方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{4}(x-2)^2 \\ y=\frac{1}{4}x \end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，代入$y=\frac{1}{4}x$得$A(1,\frac{1}{4})$，$B(4,1)$。
作点$A$关于直线$y=-1$的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(1,-\frac{9}{4})$，连接$A'B$，$A'B$与直线$y=-1$的交点即为使$PA+PB$取得最小值的点$P$。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(1,-\frac{9}{4})$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = -\frac{9}{4} \\ 4k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{13}{12} \\ b=-\frac{10}{3} \end{cases}$，
即直线$A'B$的解析式为$y=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$。
令$y=-1$，得$-1=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$，解得$x=\frac{28}{13}$。
综上，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{28}{13}, -1)}$。
(1) 设抛物线的解析式为顶点式$y=a(x-2)^2$，
将点$(4,1)$代入解析式，得：
$1=a·(4-2)^2$，
解得$a=\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$，即$y=\frac{1}{4}x^2 -x +1$。
(2) 存在满足条件的点P。
联立抛物线与直线$y=\frac{1}{4}x$的方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{4}(x-2)^2 \\ y=\frac{1}{4}x \end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，代入$y=\frac{1}{4}x$得$A(1,\frac{1}{4})$，$B(4,1)$。
作点$A$关于直线$y=-1$的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(1,-\frac{9}{4})$，连接$A'B$，$A'B$与直线$y=-1$的交点即为使$PA+PB$取得最小值的点$P$。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$，将$A'(1,-\frac{9}{4})$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = -\frac{9}{4} \\ 4k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{13}{12} \\ b=-\frac{10}{3} \end{cases}$，
即直线$A'B$的解析式为$y=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$。
令$y=-1$，得$-1=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$，解得$x=\frac{28}{13}$。
综上，点$P$的坐标为$\boldsymbol{(\frac{28}{13}, -1)}$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线顶点坐标，求解析式时优先选用顶点式，可简化计算。我们先设抛物线的顶点式为$y=a(x-2)^2$，再将已知点$(4,1)$代入求出待定系数$a$，即可得到抛物线解析式。
(2) 本题属于直线上动点到两定点距离和最小的经典问题，利用轴对称转化线段长度即可求解：A、B在直线$y=-1$同侧，作点A关于直线$y=-1$的对称点$A'$，根据轴对称性质$PA=PA'$，则$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、P、B三点共线时，$PA+PB$取得最小值。解题步骤为：先联立抛物线和直线$y=\frac{1}{4}x$的方程求A、B坐标，再求A的对称点$A'$，用待定系数法求直线$A'B$的解析式，最后求该直线与$y=-1$的交点，即为所求P点。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点坐标为$(2,0)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2$（$a≠0$）。
将点$(4,1)$代入解析式，得：
$1=a·(4-2)^2$
解得$a=\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$，展开得$y=\frac{1}{4}x^2 -x +1$。
(2) 存在满足条件的点P。
联立抛物线与直线$y=\frac{1}{4}x$的方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{4}(x-2)^2 \\ y=\frac{1}{4}x \end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，代入$y=\frac{1}{4}x$得$A(1,\frac{1}{4})$，$B(4,1)$。
作点A关于直线$y=-1$的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(1,-\frac{9}{4})$，根据轴对称性质$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、P、B共线时$PA+PB$最小，P为直线$A'B$与$y=-1$的交点。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(1,-\frac{9}{4})$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = -\frac{9}{4} \\ 4k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{13}{12} \\ b=-\frac{10}{3} \end{cases}$，即直线$A'B$的解析式为$y=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$。
令$y=-1$，得$-1=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$，解得$x=\frac{28}{13}$。
因此点P的坐标为$(\frac{28}{13}, -1)$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{4}x^2 -x +1$（或$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$）
(2) 存在，$P(\frac{28}{13}, -1)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 轴对称最短路径
3. 函数交点求解
【点评】
本题是二次函数与几何最值结合的常规题型，第一问侧重二次函数顶点式的基础应用，难度较低；第二问结合轴对称性质、一次函数与二次函数交点计算，考察学生对最短路径模型的掌握和运算能力，是中考常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1) 已知抛物线顶点坐标，求解析式时优先选用顶点式，可简化计算。我们先设抛物线的顶点式为$y=a(x-2)^2$，再将已知点$(4,1)$代入求出待定系数$a$，即可得到抛物线解析式。
(2) 本题属于直线上动点到两定点距离和最小的经典问题，利用轴对称转化线段长度即可求解：A、B在直线$y=-1$同侧，作点A关于直线$y=-1$的对称点$A'$，根据轴对称性质$PA=PA'$，则$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、P、B三点共线时，$PA+PB$取得最小值。解题步骤为：先联立抛物线和直线$y=\frac{1}{4}x$的方程求A、B坐标，再求A的对称点$A'$，用待定系数法求直线$A'B$的解析式，最后求该直线与$y=-1$的交点，即为所求P点。
【解析】
(1) 已知抛物线顶点坐标为$(2,0)$，设抛物线的解析式为$y=a(x-2)^2$（$a≠0$）。
将点$(4,1)$代入解析式，得：
$1=a·(4-2)^2$
解得$a=\frac{1}{4}$，
因此抛物线的解析式为$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$，展开得$y=\frac{1}{4}x^2 -x +1$。
(2) 存在满足条件的点P。
联立抛物线与直线$y=\frac{1}{4}x$的方程：
$\begin{cases}y=\frac{1}{4}(x-2)^2 \\ y=\frac{1}{4}x \end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-5x+4=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=4$，代入$y=\frac{1}{4}x$得$A(1,\frac{1}{4})$，$B(4,1)$。
作点A关于直线$y=-1$的对称点$A'$，可得$A'$的坐标为$(1,-\frac{9}{4})$，根据轴对称性质$PA=PA'$，因此$PA+PB=PA'+PB$，当$A'$、P、B共线时$PA+PB$最小，P为直线$A'B$与$y=-1$的交点。
设直线$A'B$的解析式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$A'(1,-\frac{9}{4})$、$B(4,1)$代入得：
$\begin{cases} k + b = -\frac{9}{4} \\ 4k + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases} k=\frac{13}{12} \\ b=-\frac{10}{3} \end{cases}$，即直线$A'B$的解析式为$y=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$。
令$y=-1$，得$-1=\frac{13}{12}x -\frac{10}{3}$，解得$x=\frac{28}{13}$。
因此点P的坐标为$(\frac{28}{13}, -1)$。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{4}x^2 -x +1$（或$y=\frac{1}{4}(x-2)^2$）
(2) 存在，$P(\frac{28}{13}, -1)$
【知识点】
1. 待定系数法求解析式
2. 轴对称最短路径
3. 函数交点求解
【点评】
本题是二次函数与几何最值结合的常规题型，第一问侧重二次函数顶点式的基础应用，难度较低；第二问结合轴对称性质、一次函数与二次函数交点计算，考察学生对最短路径模型的掌握和运算能力，是中考常考的基础综合题。
【难度系数】
0.7
