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23. (11分)如图10,抛物线$y=ax^2 -2x + c(a≠0)$与x轴、y轴分别交于点A,B,C三点,已知点A(-2,0),点C(0,-8),点D是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图10①,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;
(3)如图10②,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,M是直线CD上的动点,N是平面内一点,当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标;
(2)如图10①,抛物线的对称轴与x轴交于点E,第四象限的抛物线上有一点P,将△EBP沿直线EP折叠,使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上,求点P的坐标;
(3)如图10②,设BC交抛物线的对称轴于点F,作直线CD,M是直线CD上的动点,N是平面内一点,当以点B,F,M,N为顶点的四边形是菱形时,请直接写出点M的坐标.
答案
解：
(1) 将点$A(-2,0)$，$C(0,-8)$代入$y=ax^2-2x+c$，得：
$\begin{cases} 4a + 4 + c = 0 \\ c = -8 \end{cases}$
解得$a=1$，$c=-8$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
将解析式配方得$y=(x-1)^2-9$，
∴顶点$D$的坐标为$(1,-9)$。
(2) 令$y=0$，即$x^2-2x-8=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，
∴点$B$的坐标为$(4,0)$。
抛物线对称轴为直线$x=1$，故点$E$坐标为$(1,0)$，$EB=4-1=3$。
由折叠性质得$EB'=EB=3$，$∠ BEP=∠ B'EP$，
∵$B'$在对称轴$x=1$上，对称轴垂直于$x$轴，∴$∠ BEB'=90°$，
∴$∠ BEP=45°$。
∵点$P$在第四象限，∴直线$EP$的解析式为$y=-x+1$。
联立$\begin{cases} y=-x+1 \\ y=x^2-2x-8 \end{cases}$，消去$y$得$x^2-x-9=0$，
解得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$（舍去，不符合第四象限要求），
代入$y=-x+1$得$y=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$。
∴点$P$的坐标为$( \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{37}}{2} )$。
(3) 点$M$的坐标为$(-5,-3)$，$(4,-12)$，$( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )$。
(1) 将点$A(-2,0)$，$C(0,-8)$代入$y=ax^2-2x+c$，得：
$\begin{cases} 4a + 4 + c = 0 \\ c = -8 \end{cases}$
解得$a=1$，$c=-8$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
将解析式配方得$y=(x-1)^2-9$，
∴顶点$D$的坐标为$(1,-9)$。
(2) 令$y=0$，即$x^2-2x-8=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，
∴点$B$的坐标为$(4,0)$。
抛物线对称轴为直线$x=1$，故点$E$坐标为$(1,0)$，$EB=4-1=3$。
由折叠性质得$EB'=EB=3$，$∠ BEP=∠ B'EP$，
∵$B'$在对称轴$x=1$上，对称轴垂直于$x$轴，∴$∠ BEB'=90°$，
∴$∠ BEP=45°$。
∵点$P$在第四象限，∴直线$EP$的解析式为$y=-x+1$。
联立$\begin{cases} y=-x+1 \\ y=x^2-2x-8 \end{cases}$，消去$y$得$x^2-x-9=0$，
解得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$（舍去，不符合第四象限要求），
代入$y=-x+1$得$y=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$。
∴点$P$的坐标为$( \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{37}}{2} )$。
(3) 点$M$的坐标为$(-5,-3)$，$(4,-12)$，$( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )$。
解析
【分析】
(1) 已知抛物线经过A、C两个定点，将两点坐标代入抛物线的一般式，即可得到关于参数a、c的二元一次方程组，解方程组求出参数值就能确定抛物线解析式，再通过配方或顶点坐标公式即可求出顶点D的坐标。
(2) 先令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程得到点B的坐标，结合抛物线对称轴得到点E的坐标；根据折叠的性质可知对应边相等、对应角相等，结合点B'在对称轴上的条件可推出∠BEP=45°，进而得到直线EP的解析式，最后联立直线EP和抛物线的解析式，结合P在第四象限的条件筛选解，即可得到P点坐标。
(3) 先求出直线BC、直线CD的解析式，确定F点坐标；再分BF为菱形的边、BF为菱形的对角线两类情况，结合菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，设M点坐标列方程求解，即可得到符合要求的M点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$，$C(0,-8)$代入$y=ax^2-2x+c$，得：
$\begin{cases} 4a + 4 + c = 0 \\ c = -8 \end{cases}$
解得$a=1$，$c=-8$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
将解析式配方得$y=(x-1)^2-9$，
∴顶点$D$的坐标为$(1,-9)$。
(2) 令$y=0$，即$x^2-2x-8=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，
∴点$B$的坐标为$(4,0)$。
抛物线对称轴为直线$x=1$，故点$E$坐标为$(1,0)$，$EB=4-1=3$。
由折叠性质得$EB'=EB=3$，$∠ BEP=∠ B'EP$，
∵$B'$在对称轴$x=1$上，对称轴垂直于$x$轴，
∴$∠ BEB'=90°$，
∴$∠ BEP=45°$。
∵点$P$在第四象限，
∴直线$EP$的解析式为$y=-x+1$。
联立$\begin{cases} y=-x+1 \\ y=x^2-2x-8 \end{cases}$，消去$y$得$x^2-x-9=0$，
解得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$（舍去，不符合第四象限要求），
代入$y=-x+1$得$y=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$。
∴点$P$的坐标为$( \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{37}}{2} )$。
(3) 先求直线BC的解析式：由B(4,0)、C(0,-8)，得BC解析式为$y=2x-8$，对称轴x=1与BC交点F的坐标为(1,-6)；再求直线CD的解析式：由C(0,-8)、D(1,-9)，得CD解析式为$y=-x-8$。设M点坐标为$(m,-m-8)$，分情况讨论：
①当BF为菱形的边时，BF=FM或BF=BM，计算得M坐标为$(-5,-3)$、$(4,-12)$；
②当BF为菱形的对角线时，对角线互相垂直平分，计算得M坐标为$( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )$。
综上，点M坐标为$(-5,-3)$，$(4,-12)$，$( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$，顶点D的坐标为$\boldsymbol{(1,-9)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{( \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{37}}{2} )}$；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(-5,-3)}$，$\boldsymbol{(4,-12)}$，$\boldsymbol{( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )}$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了函数计算、几何变换、特殊四边形判定等多个考点，既考查了待定系数法、方程求解等基础能力，也要求学生熟练运用分类讨论思想解决菱形的存在性问题，对知识的综合运用能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
(1) 已知抛物线经过A、C两个定点，将两点坐标代入抛物线的一般式，即可得到关于参数a、c的二元一次方程组，解方程组求出参数值就能确定抛物线解析式，再通过配方或顶点坐标公式即可求出顶点D的坐标。
(2) 先令抛物线解析式中y=0，解一元二次方程得到点B的坐标，结合抛物线对称轴得到点E的坐标；根据折叠的性质可知对应边相等、对应角相等，结合点B'在对称轴上的条件可推出∠BEP=45°，进而得到直线EP的解析式，最后联立直线EP和抛物线的解析式，结合P在第四象限的条件筛选解，即可得到P点坐标。
(3) 先求出直线BC、直线CD的解析式，确定F点坐标；再分BF为菱形的边、BF为菱形的对角线两类情况，结合菱形四边相等、对角线互相垂直平分的性质，设M点坐标列方程求解，即可得到符合要求的M点坐标。
【解析】
(1) 将点$A(-2,0)$，$C(0,-8)$代入$y=ax^2-2x+c$，得：
$\begin{cases} 4a + 4 + c = 0 \\ c = -8 \end{cases}$
解得$a=1$，$c=-8$。
∴抛物线的解析式为$y=x^2-2x-8$。
将解析式配方得$y=(x-1)^2-9$，
∴顶点$D$的坐标为$(1,-9)$。
(2) 令$y=0$，即$x^2-2x-8=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，
∴点$B$的坐标为$(4,0)$。
抛物线对称轴为直线$x=1$，故点$E$坐标为$(1,0)$，$EB=4-1=3$。
由折叠性质得$EB'=EB=3$，$∠ BEP=∠ B'EP$，
∵$B'$在对称轴$x=1$上，对称轴垂直于$x$轴，
∴$∠ BEB'=90°$，
∴$∠ BEP=45°$。
∵点$P$在第四象限，
∴直线$EP$的解析式为$y=-x+1$。
联立$\begin{cases} y=-x+1 \\ y=x^2-2x-8 \end{cases}$，消去$y$得$x^2-x-9=0$，
解得$x_1=\dfrac{1+\sqrt{37}}{2}$，$x_2=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$（舍去，不符合第四象限要求），
代入$y=-x+1$得$y=\dfrac{1-\sqrt{37}}{2}$。
∴点$P$的坐标为$( \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{37}}{2} )$。
(3) 先求直线BC的解析式：由B(4,0)、C(0,-8)，得BC解析式为$y=2x-8$，对称轴x=1与BC交点F的坐标为(1,-6)；再求直线CD的解析式：由C(0,-8)、D(1,-9)，得CD解析式为$y=-x-8$。设M点坐标为$(m,-m-8)$，分情况讨论：
①当BF为菱形的边时，BF=FM或BF=BM，计算得M坐标为$(-5,-3)$、$(4,-12)$；
②当BF为菱形的对角线时，对角线互相垂直平分，计算得M坐标为$( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )$。
综上，点M坐标为$(-5,-3)$，$(4,-12)$，$( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )$。
【答案】
(1) 抛物线解析式为$\boldsymbol{y=x^2-2x-8}$，顶点D的坐标为$\boldsymbol{(1,-9)}$；
(2) 点P的坐标为$\boldsymbol{( \dfrac{1+\sqrt{37}}{2}, \dfrac{1-\sqrt{37}}{2} )}$；
(3) 点M的坐标为$\boldsymbol{(-5,-3)}$，$\boldsymbol{(4,-12)}$，$\boldsymbol{( -\dfrac{25}{2},\dfrac{9}{2} )}$。
【知识点】
二次函数的图象与性质，折叠的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题是二次函数综合题，结合了函数计算、几何变换、特殊四边形判定等多个考点，既考查了待定系数法、方程求解等基础能力，也要求学生熟练运用分类讨论思想解决菱形的存在性问题，对知识的综合运用能力有较高要求。
【难度系数】
0.3
