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1. 下列语句中不正确的有 （）
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴；④半圆是弧.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需逐一判断4个语句的正误，解题时要注意圆的各类性质成立的前提条件，不能遗漏限定内容，统计错误语句的数量后匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个语句：
① 相等的圆心角所对的弧相等：该结论成立的前提是在同圆或等圆中，缺少前提条件，说法错误；
② 平分弦的直径垂直于弦：若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此该结论需添加“被平分的弦不是直径”的前提，说法错误；
③ 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴：对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确表述应为“直径所在的直线是圆的对称轴”，说法错误；
④ 半圆是弧：半圆是直径的两个端点分圆得到的弧，说法正确。
综上，不正确的语句有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系；垂径定理；圆的对称性
【点评】
本题考查圆的基础概念与性质，易错点是容易忽略各类性质成立的限定条件，以及混淆“直径”和“直径所在直线”的区别，学习基础概念时要注意表述的严谨性。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需逐一判断4个语句的正误，解题时要注意圆的各类性质成立的前提条件，不能遗漏限定内容，统计错误语句的数量后匹配对应选项即可。
【解析】
我们逐个分析每个语句：
① 相等的圆心角所对的弧相等：该结论成立的前提是在同圆或等圆中，缺少前提条件，说法错误；
② 平分弦的直径垂直于弦：若被平分的弦本身是直径，两条直径互相平分但不一定垂直，因此该结论需添加“被平分的弦不是直径”的前提，说法错误；
③ 圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴：对称轴的定义是直线，而直径是线段，正确表述应为“直径所在的直线是圆的对称轴”，说法错误；
④ 半圆是弧：半圆是直径的两个端点分圆得到的弧，说法正确。
综上，不正确的语句有①②③，共3个。
【答案】
C
【知识点】
圆心角与弧的关系；垂径定理；圆的对称性
【点评】
本题考查圆的基础概念与性质，易错点是容易忽略各类性质成立的限定条件，以及混淆“直径”和“直径所在直线”的区别，学习基础概念时要注意表述的严谨性。
【难度系数】
0.6
2. 已知AB是$\odot O$的弦,若$\odot O$的半径为6 cm,则弦AB的长不可能为 ()
A.13 cm
B.12 cm
C.10 cm
D.6 cm
A.13 cm
B.12 cm
C.10 cm
D.6 cm
答案
A
解析
【分析】
要判断弦AB的长度不可能是哪个选项，首先需明确圆中弦的长度限制：直径是圆内最长的弦，所以先根据半径算出直径长度，就能得到弦长的取值范围，再对比选项即可得出答案。
【解析】
已知$\odot O$的半径为6 cm，因此$\odot O$的直径为$2×6=12\mathrm{cm}$。
根据圆的基本性质：直径是圆中最长的弦，因此圆内任意一条弦的长度都小于等于直径的长度，即弦AB的长度满足$0＜AB≤12\mathrm{cm}$。
对比各选项，A选项的13 cm大于12 cm，超出了弦长的最大取值，因此弦AB的长不可能为13 cm。
【答案】
A
【知识点】
1. 弦的定义；2. 直径是最长的弦
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆中弦的基本性质，牢记直径是圆内最长的弦即可快速判断，解题时注意不要混淆半径和直径的长度。
【难度系数】
0.9
要判断弦AB的长度不可能是哪个选项，首先需明确圆中弦的长度限制：直径是圆内最长的弦，所以先根据半径算出直径长度，就能得到弦长的取值范围，再对比选项即可得出答案。
【解析】
已知$\odot O$的半径为6 cm，因此$\odot O$的直径为$2×6=12\mathrm{cm}$。
根据圆的基本性质：直径是圆中最长的弦，因此圆内任意一条弦的长度都小于等于直径的长度，即弦AB的长度满足$0＜AB≤12\mathrm{cm}$。
对比各选项，A选项的13 cm大于12 cm，超出了弦长的最大取值，因此弦AB的长不可能为13 cm。
【答案】
A
【知识点】
1. 弦的定义；2. 直径是最长的弦
【点评】
本题属于基础题，主要考查圆中弦的基本性质，牢记直径是圆内最长的弦即可快速判断，解题时注意不要混淆半径和直径的长度。
【难度系数】
0.9
1. 如图1,将半径为2 cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为 ()
A.2 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$2\sqrt{5}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
A.2 cm
B.$\sqrt{3}$ cm
C.$2\sqrt{5}$ cm
D.$2\sqrt{3}$ cm
答案
D
解析
【分析】
遇到圆的折叠问题，可结合折叠的轴对称性质分析：首先过圆心作折痕的垂线，连接半径构造直角三角形；折叠后圆弧过圆心，说明圆心到折痕的距离等于半径的一半，再利用垂径定理得到折痕与半弦长的关系，最后通过勾股定理计算半弦长，即可求出折痕总长。
【解析】
解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C。
由折叠的轴对称性质可知，折叠后圆弧过圆心O，因此圆心O到折痕AB的距离$OC=\frac{1}{2}OA$。
已知圆的半径$OA=2\ \mathrm{cm}$，则$OC=1\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AC$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
因此$AB=2AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题关键是利用折叠性质得到圆心到折痕的距离，结合辅助线构造直角三角形求解，能有效考查学生对圆的基础定理和几何变换性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
遇到圆的折叠问题，可结合折叠的轴对称性质分析：首先过圆心作折痕的垂线，连接半径构造直角三角形；折叠后圆弧过圆心，说明圆心到折痕的距离等于半径的一半，再利用垂径定理得到折痕与半弦长的关系，最后通过勾股定理计算半弦长，即可求出折痕总长。
【解析】
解：连接OA，过点O作OC⊥AB于点C。
由折叠的轴对称性质可知，折叠后圆弧过圆心O，因此圆心O到折痕AB的距离$OC=\frac{1}{2}OA$。
已知圆的半径$OA=2\ \mathrm{cm}$，则$OC=1\ \mathrm{cm}$。
根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，因此$AB=2AC$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{OA^2-OC^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$
因此$AB=2AC=2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，勾股定理，折叠的性质
【点评】
本题是圆的性质应用的典型题型，解题关键是利用折叠性质得到圆心到折痕的距离，结合辅助线构造直角三角形求解，能有效考查学生对圆的基础定理和几何变换性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
2. 如图2，AB是$\odot O$的直径，弦CD交AB于点P，$AP=2$，$BP=6$，$∠ APC=30°$，则CD的长为（）
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.$8$
A.$\sqrt{15}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{15}$
D.$8$
答案
C
解析
【分析】
要求弦CD的长，可利用垂径定理，过圆心作CD的垂线，将CD分为等长的两段，只需求出半弦长再乘2即可。首先根据已知的AP、BP长度算出圆的半径和OP的长度，再结合∠APC=30°的条件，在直角三角形中求出弦心距的长度，最后用勾股定理求出半弦长，即可得到CD的总长。
【解析】
解：过点O作OH⊥CD于点H，连接OC。
∵AP=2，BP=6，
∴直径AB=AP+BP=8，
∴⊙O的半径$OC=OA=4$，
∴$OP=OA-AP=4-2=2$。
∵OH⊥CD，根据垂径定理可得：$CH=HD=\frac{1}{2}CD$。
∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，
在Rt△OPH中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$OH=\frac{1}{2}OP=1$。
在Rt△OHC中，由勾股定理得：
$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
∴$CD=2CH=2\sqrt{15}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常见题型，解题的关键是作弦心距构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的性质结合起来求解，熟练掌握垂径定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
要求弦CD的长，可利用垂径定理，过圆心作CD的垂线，将CD分为等长的两段，只需求出半弦长再乘2即可。首先根据已知的AP、BP长度算出圆的半径和OP的长度，再结合∠APC=30°的条件，在直角三角形中求出弦心距的长度，最后用勾股定理求出半弦长，即可得到CD的总长。
【解析】
解：过点O作OH⊥CD于点H，连接OC。
∵AP=2，BP=6，
∴直径AB=AP+BP=8，
∴⊙O的半径$OC=OA=4$，
∴$OP=OA-AP=4-2=2$。
∵OH⊥CD，根据垂径定理可得：$CH=HD=\frac{1}{2}CD$。
∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，
在Rt△OPH中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$OH=\frac{1}{2}OP=1$。
在Rt△OHC中，由勾股定理得：
$CH=\sqrt{OC^2-OH^2}=\sqrt{4^2-1^2}=\sqrt{15}$，
∴$CD=2CH=2\sqrt{15}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角直角三角形的性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常见题型，解题的关键是作弦心距构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的性质结合起来求解，熟练掌握垂径定理是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.7
3. 如图 3, $OA=OB$, AB 交$\odot O$于点 C 和 D, OE 是半径,且$OE ⊥ AB$于点 F.
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若$CD=6,EF=1$,求$\odot O$的半径.
图 3
4. 图 4 所示是一个隧道的横截面,它的形状是以点 O 为圆心的圆
(1)求证:$AC=BD$;
(2)若$CD=6,EF=1$,求$\odot O$的半径.
图 3
4. 图 4 所示是一个隧道的横截面,它的形状是以点 O 为圆心的圆
答案
(1) 证明：
∵ $OA=OB$，$OE⊥ AB$，
∴ 由等腰三角形三线合一得：$AF=BF$。
又∵ $OE⊥ AB$，弦$CD$是$\odot O$的弦，
∴ 由垂径定理得：$CF=DF$。
∴ $AF - CF = BF - DF$，即 $AC=BD$。
---
(2) 解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
∵ $EF=1$，
∴ $OF = OE - EF = r - 1$。
∵ $OE⊥ AB$，$CD=6$，由垂径定理得：
$CF=\frac{1}{2}CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理：
$OF^2 + CF^2 = OC^2$
代入得：
$(r-1)^2 + 3^2 = r^2$
展开化简：
$r^2 - 2r +1 +9 = r^2$
$-2r +10=0$
解得 $r=5$。
答：$\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
∵ $OA=OB$，$OE⊥ AB$，
∴ 由等腰三角形三线合一得：$AF=BF$。
又∵ $OE⊥ AB$，弦$CD$是$\odot O$的弦，
∴ 由垂径定理得：$CF=DF$。
∴ $AF - CF = BF - DF$，即 $AC=BD$。
---
(2) 解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
∵ $EF=1$，
∴ $OF = OE - EF = r - 1$。
∵ $OE⊥ AB$，$CD=6$，由垂径定理得：
$CF=\frac{1}{2}CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理：
$OF^2 + CF^2 = OC^2$
代入得：
$(r-1)^2 + 3^2 = r^2$
展开化简：
$r^2 - 2r +1 +9 = r^2$
$-2r +10=0$
解得 $r=5$。
答：$\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
解析
【分析】
(1) 要证明$AC=BD$，可先利用等腰三角形三线合一的性质，由$OA=OB$、$OE⊥AB$得到$AF=BF$；再根据垂径定理，由$OE$垂直圆的弦$CD$得到$CF=DF$，最后通过线段差的关系即可推出$AC=BD$。
(2) 求圆的半径时，可设半径为$r$，连接$OC$构造直角三角形：先结合$EF=1$表示出$OF=r-1$，再由垂径定理得出$CF=\frac{1}{2}CD=3$，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OA=OB$，$OE⊥ AB$，
∴ 由等腰三角形三线合一的性质得：$AF=BF$。
又
∵ $OE⊥ AB$，弦$CD$是$\odot O$的弦，
∴ 由垂径定理得：$CF=DF$。
∴ $AF - CF = BF - DF$，即 $AC=BD$。
(2) 解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
∵ $EF=1$，
∴ $OF = OE - EF = r - 1$。
∵ $OE⊥ AB$，$CD=6$，由垂径定理得：
$CF=\frac{1}{2}CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理：
$OF^2 + CF^2 = OC^2$
代入得：
$(r-1)^2 + 3^2 = r^2$
展开化简：
$r^2 - 2r +1 +9 = r^2$
$-2r +10=0$
解得 $r=5$。
【答案】
(1) $AC=BD$得证；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
等腰三角形三线合一，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了等腰三角形性质、垂径定理和勾股定理，第二问运用方程思想求线段长度是圆中计算的常见考法，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$AC=BD$，可先利用等腰三角形三线合一的性质，由$OA=OB$、$OE⊥AB$得到$AF=BF$；再根据垂径定理，由$OE$垂直圆的弦$CD$得到$CF=DF$，最后通过线段差的关系即可推出$AC=BD$。
(2) 求圆的半径时，可设半径为$r$，连接$OC$构造直角三角形：先结合$EF=1$表示出$OF=r-1$，再由垂径定理得出$CF=\frac{1}{2}CD=3$，最后在直角三角形中用勾股定理列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $OA=OB$，$OE⊥ AB$，
∴ 由等腰三角形三线合一的性质得：$AF=BF$。
又
∵ $OE⊥ AB$，弦$CD$是$\odot O$的弦，
∴ 由垂径定理得：$CF=DF$。
∴ $AF - CF = BF - DF$，即 $AC=BD$。
(2) 解：
连接$OC$，设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=OE=r$。
∵ $EF=1$，
∴ $OF = OE - EF = r - 1$。
∵ $OE⊥ AB$，$CD=6$，由垂径定理得：
$CF=\frac{1}{2}CD=3$。
在$\mathrm{Rt}△ OCF$中，由勾股定理：
$OF^2 + CF^2 = OC^2$
代入得：
$(r-1)^2 + 3^2 = r^2$
展开化简：
$r^2 - 2r +1 +9 = r^2$
$-2r +10=0$
解得 $r=5$。
【答案】
(1) $AC=BD$得证；(2) $\odot O$的半径为$\boldsymbol{5}$。
【知识点】
等腰三角形三线合一，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，结合了等腰三角形性质、垂径定理和勾股定理，第二问运用方程思想求线段长度是圆中计算的常见考法，掌握基础性质即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
