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4. 图4所示是一个隧道的横截面,它的形状是以点O为圆心的圆的一部分.如果M是$\odot O$中弦CD的中点,EM经过圆心O交$\odot O$于点E,CD=10,EM=25,求$\odot O$的半径.
答案
解：连接OC。
∵ M是弦CD的中点，O为圆心，EM经过圆心O，
∴ 由垂径定理可得：EM⊥CD，
∴ $CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OM=EM-OE=25-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，由勾股定理得：
$OC^2=OM^2+CM^2$，
即 $r^2=(25-r)^2+5^2$，
展开整理得：$r^2=625-50r+r^2+25$，
化简得：$50r=650$，
解得：$r=13$。
∴ $\odot O$的半径为13。
∵ M是弦CD的中点，O为圆心，EM经过圆心O，
∴ 由垂径定理可得：EM⊥CD，
∴ $CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OM=EM-OE=25-r$。
在$\mathrm{Rt}△ OMC$中，由勾股定理得：
$OC^2=OM^2+CM^2$，
即 $r^2=(25-r)^2+5^2$，
展开整理得：$r^2=625-50r+r^2+25$，
化简得：$50r=650$，
解得：$r=13$。
∴ $\odot O$的半径为13。
解析
【分析】
要求圆的半径，观察已知条件：M是弦CD的中点，EM经过圆心，首先联想到垂径定理，可得EM垂直于CD，且CM为CD长度的一半。接下来连接半径OC，即可构造出直角三角形OMC，设圆的半径为r，将OC、OM用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程求解，即可算出半径的值。
【解析】
连接OC。
∵ M是弦CD的中点，O为圆心，EM经过圆心O，
∴ 由垂径定理可得：$EM⊥ CD$，
∴ $CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OM=EM-OE=25-r$。
在$\mathrm{Rt}△OMC$中，由勾股定理得：
$OC^2=OM^2+CM^2$，
即 $r^2=(25-r)^2+5^2$，
展开整理得：$r^2=625-50r+r^2+25$，
化简得：$50r=650$，
解得：$r=13$。
【答案】
$\odot O$的半径为13。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，需熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.75
要求圆的半径，观察已知条件：M是弦CD的中点，EM经过圆心，首先联想到垂径定理，可得EM垂直于CD，且CM为CD长度的一半。接下来连接半径OC，即可构造出直角三角形OMC，设圆的半径为r，将OC、OM用含r的式子表示，再利用勾股定理列方程求解，即可算出半径的值。
【解析】
连接OC。
∵ M是弦CD的中点，O为圆心，EM经过圆心O，
∴ 由垂径定理可得：$EM⊥ CD$，
∴ $CM=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×10=5$。
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OM=EM-OE=25-r$。
在$\mathrm{Rt}△OMC$中，由勾股定理得：
$OC^2=OM^2+CM^2$，
即 $r^2=(25-r)^2+5^2$，
展开整理得：$r^2=625-50r+r^2+25$，
化简得：$50r=650$，
解得：$r=13$。
【答案】
$\odot O$的半径为13。
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用，需熟练掌握垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.75
1. 如图5，AB是$\odot O$的直径，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，$∠ COD=34°$，则$∠ AEO$的度数是 （）
A.$51°$
B.$56°$
C.$68°$
D.$78°$
A.$51°$
B.$56°$
C.$68°$
D.$78°$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先利用“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”的性质，结合已知∠COD=34°，求出弧BC、CD、DE对应的三个圆心角的度数；再根据AB是直径，可得∠AOB是平角为180°，进而求出∠AOE的度数；最后利用圆的半径相等得到△AOE是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠AEO的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，∠COD=34°，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=34°$，
∴$∠ AOE=180°-∠ BOC-∠ COD-∠ DOE=180°-3×34°=78°$，
又
∵OA、OE都是$\odot O$的半径，
∴OA=OE，
∴$△ AOE$为等腰三角形，$∠ AEO=∠ OAE$，
∴$∠ AEO=\frac{180°-∠ AOE}{2}=\frac{180°-78°}{2}=51°$。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 圆的半径相等
【点评】
本题属于基础角度计算题，将圆的弧、圆心角的对应关系和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是先求出∠AOE的度数，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用“同圆中相等的弧所对的圆心角相等”的性质，结合已知∠COD=34°，求出弧BC、CD、DE对应的三个圆心角的度数；再根据AB是直径，可得∠AOB是平角为180°，进而求出∠AOE的度数；最后利用圆的半径相等得到△AOE是等腰三角形，结合等腰三角形两底角相等的性质，即可求出∠AEO的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DE}$，∠COD=34°，
∴$∠ BOC=∠ COD=∠ DOE=34°$，
∴$∠ AOE=180°-∠ BOC-∠ COD-∠ DOE=180°-3×34°=78°$，
又
∵OA、OE都是$\odot O$的半径，
∴OA=OE，
∴$△ AOE$为等腰三角形，$∠ AEO=∠ OAE$，
∴$∠ AEO=\frac{180°-∠ AOE}{2}=\frac{180°-78°}{2}=51°$。
【答案】
A
【知识点】
1. 弧与圆心角的关系
2. 等腰三角形的性质
3. 圆的半径相等
【点评】
本题属于基础角度计算题，将圆的弧、圆心角的对应关系和等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是先求出∠AOE的度数，熟练掌握相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. (2025·长沙)如图6,AC,BC为$\odot O$的弦,连接$OA,OB,OC$.若$∠ AOB=40°,∠ OCA=30°$,则$∠ BCO$的度数为 ()
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
A.$40°$
B.$45°$
C.$50°$
D.$55°$
答案
C
解析
【分析】
解题时首先利用同圆的半径相等的性质，可知OA=OC=OB，由此得到△OAC和△OBC都是等腰三角形。首先结合已知的∠OCA=30°，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理求出∠AOC的度数；再用∠AOC减去已知的∠AOB的度数，得到∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中，再次利用三角形内角和定理和等腰三角形底角相等的性质，即可求出∠BCO的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°，
又
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠OBC，
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，核心考查对圆的基本性质和等腰三角形性质的运用，解题的突破口是识别同圆半径相等得到等腰三角形，后续角度推导思路清晰，属于需要熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.75
解题时首先利用同圆的半径相等的性质，可知OA=OC=OB，由此得到△OAC和△OBC都是等腰三角形。首先结合已知的∠OCA=30°，利用等腰三角形底角相等和三角形内角和定理求出∠AOC的度数；再用∠AOC减去已知的∠AOB的度数，得到∠BOC的度数；最后在等腰△OBC中，再次利用三角形内角和定理和等腰三角形底角相等的性质，即可求出∠BCO的度数。
【解析】
解：
∵OA、OC均为⊙O的半径，
∴OA=OC，即△OAC为等腰三角形，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
由三角形内角和为180°可得：
∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-30°-30°=120°，
∵∠AOB=40°，
∴∠BOC=∠AOC-∠AOB=120°-40°=80°，
又
∵OB、OC均为⊙O的半径，
∴OB=OC，即△OBC为等腰三角形，∠BCO=∠OBC，
∴∠BCO=(180°-∠BOC)÷2=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
圆的基本性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础题型，核心考查对圆的基本性质和等腰三角形性质的运用，解题的突破口是识别同圆半径相等得到等腰三角形，后续角度推导思路清晰，属于需要熟练掌握的基础题。
【难度系数】
0.75
