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3. 如图7,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4=°.
答案
$\boldsymbol{90}$
解析
【分析】
解题时首先回忆圆周角定理内容：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。观察题目中的四个角∠1、∠2、∠3、∠4，它们的顶点都在AB上方的圆弧上，四个角各自所对的弧拼接起来恰好是直径AB对应的上半段圆弧，也就是度数为180°的半圆弧。因此不需要单独计算每个角的度数，将四个角的和转化为对应总弧度数的一半即可求解。
【解析】
根据圆周角定理：任意一个圆周角的度数等于它所对弧的度数的$\frac{1}{2}$。
∠1、∠2、∠3、∠4所对应的弧相加，刚好是直径AB上方的半圆弧，半圆弧的度数为$180°$。
因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4=\frac{1}{2}×$（四个角对应弧的度数总和）$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
圆周角定理、半圆的弧度数
【点评】
本题是圆周角定理的典型应用题型，解题核心是运用整体思想，将四个角的和转化为其所对应的总弧度数的一半，避免单独求解单个角的繁琐计算，熟练掌握圆周角定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆圆周角定理内容：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。观察题目中的四个角∠1、∠2、∠3、∠4，它们的顶点都在AB上方的圆弧上，四个角各自所对的弧拼接起来恰好是直径AB对应的上半段圆弧，也就是度数为180°的半圆弧。因此不需要单独计算每个角的度数，将四个角的和转化为对应总弧度数的一半即可求解。
【解析】
根据圆周角定理：任意一个圆周角的度数等于它所对弧的度数的$\frac{1}{2}$。
∠1、∠2、∠3、∠4所对应的弧相加，刚好是直径AB上方的半圆弧，半圆弧的度数为$180°$。
因此：
$∠1+∠2+∠3+∠4=\frac{1}{2}×$（四个角对应弧的度数总和）$=\frac{1}{2}×180°=90°$。
【答案】
$\boldsymbol{90}$
【知识点】
圆周角定理、半圆的弧度数
【点评】
本题是圆周角定理的典型应用题型，解题核心是运用整体思想，将四个角的和转化为其所对应的总弧度数的一半，避免单独求解单个角的繁琐计算，熟练掌握圆周角定理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.7
4. (2025·陕西)如图8,AB为$\odot O$的直径,$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,$∠ CDB=24°$,则$∠ ACD$的度数为°.
图7 图8 图9
图7 图8 图9
答案
$\boldsymbol{66}$
解析
【分析】
解题时可结合圆周角定理及其推论逐步推导：首先由等弧对等圆周角的性质，结合已知∠CDB=24°，可求出∠BCD的度数；再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB的度数；最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BCD=∠ CDB=24°$（等弧所对的圆周角相等），
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴$∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-24°=66°$。
【答案】
$\boldsymbol{66}$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；等弧的性质
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，核心考查圆周角相关定理的应用，解题关键是准确识别等弧对应的圆周角、直径对应的直角，理清角度间的数量关系，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
解题时可结合圆周角定理及其推论逐步推导：首先由等弧对等圆周角的性质，结合已知∠CDB=24°，可求出∠BCD的度数；再根据直径所对的圆周角为直角，得到∠ACB的度数；最后用∠ACB减去∠BCD即可得到∠ACD的度数。
【解析】
解：
∵$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，
∴$∠ BCD=∠ CDB=24°$（等弧所对的圆周角相等），
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角），
∴$∠ ACD=∠ ACB-∠ BCD=90°-24°=66°$。
【答案】
$\boldsymbol{66}$
【知识点】
圆周角定理；直径所对圆周角的性质；等弧的性质
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，核心考查圆周角相关定理的应用，解题关键是准确识别等弧对应的圆周角、直径对应的直角，理清角度间的数量关系，是圆章节的高频基础考点。
【难度系数】
0.7
5. 如图9,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=32°,点B,C在⊙O上,边AB,AC分别交⊙O于D和E两点,点B是$\overset{\frown}{CD}$的中点,则∠ABE=°.
答案
$\boldsymbol{13}$
解析
【分析】
解题可按以下思路逐步推导：1. 先利用直角三角形两锐角互余的性质，算出∠ACB的度数；2. 结合弧中点的性质，得到等弧对应的圆周角相等，即∠BDC=∠BCD；3. 利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，建立∠BDC、∠A与∠ACD的等量关系；4. 结合∠ACB是∠BCD与∠ACD的和，联立等式求出∠ACD的度数；5. 最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ABE=∠ACD，即可得出结果。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ A=32°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ACB=90°-∠ A=90°-32°=58°$
2. 因为点$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，得：
$∠ BDC=∠ BCD$
3. $∠ BDC$是$△ ADC$的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$
4. 又因为$∠ ACB=∠ BCD+∠ ACD=58°$，所以$∠ BCD=58°-∠ ACD$，将其和$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$联立得：
$58°-∠ ACD=32°+∠ ACD$
移项计算得：$2∠ ACD=26°$，即$∠ ACD=13°$
5. $∠ ACD$就是$∠ ACE$，$∠ ABE$和$∠ ACE$都是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ ABE=∠ ACE=13°$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
圆周角定理及推论；直角三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的基础综合题，解题核心是结合弧中点的性质找到圆周角的等量关系，再结合三角形内外角性质联立求解，需要熟练掌握圆周角定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6
解题可按以下思路逐步推导：1. 先利用直角三角形两锐角互余的性质，算出∠ACB的度数；2. 结合弧中点的性质，得到等弧对应的圆周角相等，即∠BDC=∠BCD；3. 利用三角形外角等于不相邻两内角和的性质，建立∠BDC、∠A与∠ACD的等量关系；4. 结合∠ACB是∠BCD与∠ACD的和，联立等式求出∠ACD的度数；5. 最后根据同弧所对的圆周角相等，得到∠ABE=∠ACD，即可得出结果。
【解析】
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$∠ A=32°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ ACB=90°-∠ A=90°-32°=58°$
2. 因为点$B$是$\overset{\frown}{CD}$的中点，所以$\overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BC}$，根据等弧所对的圆周角相等，得：
$∠ BDC=∠ BCD$
3. $∠ BDC$是$△ ADC$的外角，根据三角形外角的性质可得：
$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$
4. 又因为$∠ ACB=∠ BCD+∠ ACD=58°$，所以$∠ BCD=58°-∠ ACD$，将其和$∠ BDC=∠ A+∠ ACD$联立得：
$58°-∠ ACD=32°+∠ ACD$
移项计算得：$2∠ ACD=26°$，即$∠ ACD=13°$
5. $∠ ACD$就是$∠ ACE$，$∠ ABE$和$∠ ACE$都是$\overset{\frown}{AE}$所对的圆周角，根据同弧所对的圆周角相等，得：
$∠ ABE=∠ ACE=13°$
【答案】
$\boldsymbol{13}$
【知识点】
圆周角定理及推论；直角三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是圆与三角形性质的基础综合题，解题核心是结合弧中点的性质找到圆周角的等量关系，再结合三角形内外角性质联立求解，需要熟练掌握圆周角定理的灵活应用。
【难度系数】
0.6
6. 如图10,$AB$是$\odot O$的直径,$CD$是$\odot O$的弦.如果$∠ ACD=30°$.
(1)求$∠ BAD$的度数;
(2)若$AD=\sqrt{3}$,求$BD$的长.
(1)求$∠ BAD$的度数;
(2)若$AD=\sqrt{3}$,求$BD$的长.
答案
解：
(1) ∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°。
∵ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 30° = 60°。
(2) 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=√3，
∴ AB = 2AD = 2√3。
由勾股定理得：
BD = √(AB² - AD²) = √[(2√3)² - (√3)²] = √(12 - 3) = 3。
综上，(1) ∠BAD的度数为60°；(2) BD的长为3。
(1) ∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°。
∵ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 30° = 60°。
(2) 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=√3，
∴ AB = 2AD = 2√3。
由勾股定理得：
BD = √(AB² - AD²) = √[(2√3)² - (√3)²] = √(12 - 3) = 3。
综上，(1) ∠BAD的度数为60°；(2) BD的长为3。
解析
【分析】
(1) 要求∠BAD的度数，首先观察到AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形，只需求出∠ABD的度数，就可利用直角三角形两锐角互余计算∠BAD。而∠ACD和∠ABD是同弧AD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠ABD=∠ACD=30°，即可求出∠BAD。
(2) 要求BD的长，在Rt△ABD中，已知∠ABD=30°，AD=√3，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可先求出AB的长度，再利用勾股定理即可计算出BD的长。
【解析】
(1)
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°。
∵ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 30° = 60°。
(2) 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=√3，
∴ AB = 2AD = 2√3。
由勾股定理得：
BD = √(AB² - AD²) = √[(2√3)² - (√3)²] = √(12 - 3) = 3。
【答案】
(1) 60°；(2) 3
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆周角相关性质与直角三角形边角关系的结合应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个常用的圆周角相关结论，结合直角三角形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
(1) 要求∠BAD的度数，首先观察到AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形，只需求出∠ABD的度数，就可利用直角三角形两锐角互余计算∠BAD。而∠ACD和∠ABD是同弧AD所对的圆周角，根据同弧所对圆周角相等，可得∠ABD=∠ACD=30°，即可求出∠BAD。
(2) 要求BD的长，在Rt△ABD中，已知∠ABD=30°，AD=√3，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可先求出AB的长度，再利用勾股定理即可计算出BD的长。
【解析】
(1)
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB = 90°。
∵ ∠ACD和∠ABD都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠ABD = ∠ACD = 30°。
在Rt△ABD中，∠BAD = 90° - ∠ABD = 90° - 30° = 60°。
(2) 在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=√3，
∴ AB = 2AD = 2√3。
由勾股定理得：
BD = √(AB² - AD²) = √[(2√3)² - (√3)²] = √(12 - 3) = 3。
【答案】
(1) 60°；(2) 3
【知识点】
圆周角定理；直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题，核心考查圆周角相关性质与直角三角形边角关系的结合应用，解题的关键是熟练掌握直径所对圆周角为直角、同弧所对圆周角相等这两个常用的圆周角相关结论，结合直角三角形的性质即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
