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7. 如图11,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$,$AD ⊥ OC$于点D.求证:$AB=2AD$. 
图11
图11答案
证明：
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ OC垂直平分弦AE，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
又∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ AB=AE（同圆中，相等的弧所对的弦相等），
∴ AB=2AD。
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ OC垂直平分弦AE，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
又∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ AB=AE（同圆中，相等的弧所对的弦相等），
∴ AB=2AD。
解析
【分析】
要证明$AB=2AD$，可结合已知条件逐步推导：首先看到$AD⊥ OC$，可联想到垂径定理，我们可以延长AD交$\odot O$于点E，此时根据垂径定理，OC垂直平分AE，即可得到$AE=2AD$，且$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$；再结合题目给出的$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得到$AB=AE$，等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
延长AD交$\odot O$于点E。
∵ $AD⊥ OC$，OC是$\odot O$的半径，
∴ OC垂直平分弦AE，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $AB=AE$（同圆中，相等的弧所对的弦相等），
∴ $AB=2AD$。
【答案】
证明：
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ OC垂直平分弦AE，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ AB=AE（同圆中，相等的弧所对的弦相等），
∴ AB=2AD。
【知识点】
垂径定理；同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题是圆中线段倍分关系的典型证明题，解题关键是通过延长AD构造出符合垂径定理的结构，将2AD转化为弦AE，再通过等弧对等弦建立AB和AE的联系，掌握圆的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
要证明$AB=2AD$，可结合已知条件逐步推导：首先看到$AD⊥ OC$，可联想到垂径定理，我们可以延长AD交$\odot O$于点E，此时根据垂径定理，OC垂直平分AE，即可得到$AE=2AD$，且$\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$；再结合题目给出的$\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，可推出$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$；最后根据同圆中相等的弧所对的弦相等，得到$AB=AE$，等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
延长AD交$\odot O$于点E。
∵ $AD⊥ OC$，OC是$\odot O$的半径，
∴ OC垂直平分弦AE，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ $AB=AE$（同圆中，相等的弧所对的弦相等），
∴ $AB=2AD$。
【答案】
证明：
延长AD交⊙O于点E。
∵ AD⊥OC，OC是⊙O的半径，
∴ OC垂直平分弦AE，
∴ $\overset{\frown}{AE}=2\overset{\frown}{AC}$，$AE=2AD$。
又
∵ $\overset{\frown}{AB}=2\overset{\frown}{AC}$，
∴ $\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AE}$，
∴ AB=AE（同圆中，相等的弧所对的弦相等），
∴ AB=2AD。
【知识点】
垂径定理；同圆中弧与弦的关系
【点评】
本题是圆中线段倍分关系的典型证明题，解题关键是通过延长AD构造出符合垂径定理的结构，将2AD转化为弦AE，再通过等弧对等弦建立AB和AE的联系，掌握圆的基本性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
1. (2025·盐城)如图12,四边形ABCD内接于$\odot O$,$∠ A=110°$,连接$OB$,$OD$,则$∠ BOD=$$°$.
答案
140
解析
【分析】
解题时先观察题干特征：已知圆内接四边形的一个内角度数，求对应圆心角的度数。第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠A的对角∠C的度数；第二步，明确∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠C是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
∵$∠ A=110°$，
∴$∠ C=180° - 110°=70°$。
又
∵$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BOD=2∠ C=2×70°=140°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，理清角之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察题干特征：已知圆内接四边形的一个内角度数，求对应圆心角的度数。第一步，根据圆内接四边形对角互补的性质，先求出∠A的对角∠C的度数；第二步，明确∠BOD是弧BD所对的圆心角，∠C是弧BD所对的圆周角，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可求出∠BOD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD内接于$\odot O$，
∴$∠ A + ∠ C = 180°$（圆内接四边形的对角互补），
∵$∠ A=110°$，
∴$∠ C=180° - 110°=70°$。
又
∵$∠ BOD$是弧$BD$所对的圆心角，$∠ C$是弧$BD$所对的圆周角，
∴$∠ BOD=2∠ C=2×70°=140°$（同弧所对的圆心角是圆周角的2倍）。
【答案】
140
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理
【点评】
本题是圆性质应用的基础题型，解题关键是熟练掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理，理清角之间的对应关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
2.(2025·陕西)如图13,点A,B,C,D在$\odot O$上.若$∠ 1+∠ 2=100°$,则$∠ B$的度数为°.
答案
$\boldsymbol{100}$
解析
【分析】
解题时可按两步推导：第一步，结合圆的半径相等的性质，将已知的∠1和∠2转化为圆周角∠ADC的组成部分。圆的所有半径长度相等，因此OC=OD、OA=OD，可得△OCD和△OAD都是等腰三角形，对应底角相等，即∠1=∠ODC，∠2=∠ODA，因此∠ADC的度数就是∠1与∠2的和。第二步，根据圆周角定理判断∠B和∠ADC的关系：二者都是弧AC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，由此可直接得出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ OC、OD、OA都是$\odot O$的半径
∴ $OC=OD$，$OA=OD$
∴ $∠ 1=∠ ODC$，$∠ 2=∠ ODA$（等腰三角形两底角相等）
∴ $∠ ADC=∠ ODC+∠ ODA=∠ 1+∠ 2=100°$
又
∵ $∠ ADC$和$∠ B$都是弧$AC$所对的圆周角
∴ $∠ B=∠ ADC=100°$（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
$\boldsymbol{100}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题，核心考查半径相等、等腰三角形性质和圆周角定理的综合应用，解题的关键是通过等腰三角形的性质将已知角的和转化为待求角对应的同弧圆周角，整体逻辑清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
解题时可按两步推导：第一步，结合圆的半径相等的性质，将已知的∠1和∠2转化为圆周角∠ADC的组成部分。圆的所有半径长度相等，因此OC=OD、OA=OD，可得△OCD和△OAD都是等腰三角形，对应底角相等，即∠1=∠ODC，∠2=∠ODA，因此∠ADC的度数就是∠1与∠2的和。第二步，根据圆周角定理判断∠B和∠ADC的关系：二者都是弧AC所对的圆周角，同弧所对的圆周角相等，由此可直接得出∠B的度数。
【解析】
解：
∵ OC、OD、OA都是$\odot O$的半径
∴ $OC=OD$，$OA=OD$
∴ $∠ 1=∠ ODC$，$∠ 2=∠ ODA$（等腰三角形两底角相等）
∴ $∠ ADC=∠ ODC+∠ ODA=∠ 1+∠ 2=100°$
又
∵ $∠ ADC$和$∠ B$都是弧$AC$所对的圆周角
∴ $∠ B=∠ ADC=100°$（同弧所对的圆周角相等）
【答案】
$\boldsymbol{100}$
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质
【点评】
本题属于圆相关的基础题，核心考查半径相等、等腰三角形性质和圆周角定理的综合应用，解题的关键是通过等腰三角形的性质将已知角的和转化为待求角对应的同弧圆周角，整体逻辑清晰，没有复杂变形。
【难度系数】
0.7
3. 如图14,四边形ABCD内接于$\odot O$,AB是直径,C为$\overset{\frown}{BD}$的中点,延长AD,BC交于点P,连接AC.
(1)求证:$AB=AP$;
(2)当$AB=10,DP=2$时,求线段CP的长.
(1)求证:$AB=AP$;
(2)当$AB=10,DP=2$时,求线段CP的长.
答案
(1) 证明：
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠BAC = ∠PAC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB = 90°，即AC⊥BP，
∴ ∠ACB = ∠ACP = 90°。
在$△ ACB$和$△ ACP$中，
$\begin{cases}∠BAC = ∠PAC \\AC = AC \\∠ACB = ∠ACP\end{cases}$
∴ $△ ACB ≌ △ ACP$(ASA)，
∴ $AB = AP$。
(2) 解：
由$AB=10$，结合(1)的结论$AB=AP$，得$AP=10$。
∵ $DP=2$，
∴ $AD = AP - DP = 10 - 2 = 8$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ADB = 90°。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
∵ ∠BDP = 180° - ∠ADB = 90°，
在$\mathrm{Rt}△ BDP$中，由勾股定理得：
$BP = \sqrt{BD^2 + DP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$。
由$△ ACB ≌ △ ACP$得$BC=CP$，
∴ $CP = \frac{1}{2}BP = \sqrt{10}$。
综上，线段$CP$的长为$\sqrt{10}$。
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠BAC = ∠PAC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ACB = 90°，即AC⊥BP，
∴ ∠ACB = ∠ACP = 90°。
在$△ ACB$和$△ ACP$中，
$\begin{cases}∠BAC = ∠PAC \\AC = AC \\∠ACB = ∠ACP\end{cases}$
∴ $△ ACB ≌ △ ACP$(ASA)，
∴ $AB = AP$。
(2) 解：
由$AB=10$，结合(1)的结论$AB=AP$，得$AP=10$。
∵ $DP=2$，
∴ $AD = AP - DP = 10 - 2 = 8$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ ∠ADB = 90°。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
∵ ∠BDP = 180° - ∠ADB = 90°，
在$\mathrm{Rt}△ BDP$中，由勾股定理得：
$BP = \sqrt{BD^2 + DP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$。
由$△ ACB ≌ △ ACP$得$BC=CP$，
∴ $CP = \frac{1}{2}BP = \sqrt{10}$。
综上，线段$CP$的长为$\sqrt{10}$。
解析
【分析】
(1) 要证$AB=AP$，可通过证明$△ ACB≌△ ACP$实现：首先由C是$\overset{\frown}{BD}$中点，可得等弧对应的圆周角相等，即$∠ BAC=∠ PAC$；再根据AB是圆的直径，可得直径所对的圆周角$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BP$，得到$∠ ACB=∠ ACP=90°$，结合公共边$AC$，即可用ASA判定两个三角形全等，从而推出$AB=AP$。
(2) 求$CP$的长时，先利用(1)的结论得$AP=AB=10$，结合$DP=2$可算出$AD$的长度；再由直径所对圆周角为直角得$∠ ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出$BD$的长；接着得到$∠ BDP$也是直角，在$\mathrm{Rt}△ BDP$中用勾股定理求出$BP$的长度，最后结合全等的性质得$BC=CP$，即$CP$是$BP$的一半，即可求出$CP$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ BAC = ∠ PAC$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，即$AC⊥ BP$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACP = 90°$。
在$△ ACB$和$△ ACP$中，
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ PAC \\AC = AC \\∠ ACB = ∠ ACP\end{cases}$
∴ $△ ACB ≌ △ ACP$(ASA)，
∴ $AB = AP$。
(2) 解：
由$AB=10$，结合(1)的结论$AB=AP$，得$AP=10$。
∵ $DP=2$，
∴ $AD = AP - DP = 10 - 2 = 8$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
∵ $∠ BDP = 180° - ∠ ADB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDP$中，由勾股定理得：
$BP = \sqrt{BD^2 + DP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$。
由$△ ACB ≌ △ ACP$得$BC=CP$，
∴ $CP = \frac{1}{2}BP = \sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\sqrt{10}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、三角形全等和勾股定理的应用，解题时要注意利用弧中点、直径的性质挖掘隐含的等角和直角条件，结合第一问的结论转化线段关系，能较好地考查基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$AB=AP$，可通过证明$△ ACB≌△ ACP$实现：首先由C是$\overset{\frown}{BD}$中点，可得等弧对应的圆周角相等，即$∠ BAC=∠ PAC$；再根据AB是圆的直径，可得直径所对的圆周角$∠ ACB=90°$，即$AC⊥ BP$，得到$∠ ACB=∠ ACP=90°$，结合公共边$AC$，即可用ASA判定两个三角形全等，从而推出$AB=AP$。
(2) 求$CP$的长时，先利用(1)的结论得$AP=AB=10$，结合$DP=2$可算出$AD$的长度；再由直径所对圆周角为直角得$∠ ADB=90°$，在$\mathrm{Rt}△ ABD$中用勾股定理求出$BD$的长；接着得到$∠ BDP$也是直角，在$\mathrm{Rt}△ BDP$中用勾股定理求出$BP$的长度，最后结合全等的性质得$BC=CP$，即$CP$是$BP$的一半，即可求出$CP$的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ BAC = ∠ PAC$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ACB = 90°$，即$AC⊥ BP$，
∴ $∠ ACB = ∠ ACP = 90°$。
在$△ ACB$和$△ ACP$中，
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ PAC \\AC = AC \\∠ ACB = ∠ ACP\end{cases}$
∴ $△ ACB ≌ △ ACP$(ASA)，
∴ $AB = AP$。
(2) 解：
由$AB=10$，结合(1)的结论$AB=AP$，得$AP=10$。
∵ $DP=2$，
∴ $AD = AP - DP = 10 - 2 = 8$。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ADB = 90°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，由勾股定理得：
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$。
∵ $∠ BDP = 180° - ∠ ADB = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ BDP$中，由勾股定理得：
$BP = \sqrt{BD^2 + DP^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$。
由$△ ACB ≌ △ ACP$得$BC=CP$，
∴ $CP = \frac{1}{2}BP = \sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见上述过程；(2) $\sqrt{10}$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的基本性质、三角形全等和勾股定理的应用，解题时要注意利用弧中点、直径的性质挖掘隐含的等角和直角条件，结合第一问的结论转化线段关系，能较好地考查基础定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
