2. 如图16,在△ABC中,BC=2AB,D,E分别是边BC和AC的中点.将△CDE绕点E旋转180度,得△AFE.
(1)判断四边形ABDF的形状,并证明；
(2)已知AB=3,AD+BF=8,求四边形ABDF的面积S.

(1) 四边形ABDF是菱形，证明如下：
证明：
∵ D，E分别是边BC和AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// AB$，且 $DE=\frac{1}{2}AB$。
由旋转180°的性质得：$DE=FE$，$CD=AF$，
∴ $DF=DE+EF=2DE=AB$，
又∵ $DF// AB$，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
∵ $BC=2AB$，D是BC中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=AB$，
∴ 邻边相等的平行四边形ABDF是菱形。
---
(2) 解：
∵ 四边形ABDF是菱形，
∴ 对角线$AD⊥ BF$，且AD、BF互相平分。
设AD与BF交于点O，则 $AO=\frac{1}{2}AD$，$BO=\frac{1}{2}BF$。
已知 $AD+BF=8$，
∴ $AO+BO=\frac{1}{2}(AD+BF)=4$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=3$，由勾股定理得：
$AO^2 + BO^2 = AB^2 = 9$
由完全平方公式：
$(AO+BO)^2 = AO^2 + 2AO· BO + BO^2$
代入数值：
$4^2 = 9 + 2AO· BO$
解得 $2AO· BO=7$。
菱形面积 $S=\frac{1}{2}· AD· BF=\frac{1}{2}· 2AO· 2BO=2AO· BO=7$。
最终结论：四边形ABDF的面积$S=7$。

【分析】
(1) 判断四边形形状时，首先利用中点条件联想到三角形中位线定理，得到DE与AB的平行关系和数量关系；再结合旋转180°的性质，推导DF与AB的关系，先判定四边形是平行四边形，再结合BC=2AB的条件证明邻边相等，即可得出四边形为菱形。
(2) 求菱形面积时，利用菱形对角线互相垂直平分的性质，将AD+BF=8转化为AO+BO=4，再结合勾股定理得到AO²+BO²=9，通过完全平方公式求出AO·BO的值，最后代入菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算即可。
【解析】
(1) 四边形ABDF是菱形，证明如下：
∵ D，E分别是边BC和AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE// AB$，且 $DE=\frac{1}{2}AB$。
由旋转180°的性质得：$DE=FE$，$CD=AF$，
∴ $DF=DE+EF=2DE=AB$，
又
∵ $DF// AB$，
∴ 四边形ABDF是平行四边形。
∵ $BC=2AB$，D是BC中点，
∴ $BD=\frac{1}{2}BC=AB$，
∴ 邻边相等的平行四边形ABDF是菱形。
(2) 解：
∵ 四边形ABDF是菱形，
∴ 对角线$AD⊥ BF$，且AD、BF互相平分。
设AD与BF交于点O，则 $AO=\frac{1}{2}AD$，$BO=\frac{1}{2}BF$。
已知 $AD+BF=8$，
∴ $AO+BO=\frac{1}{2}(AD+BF)=4$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ AOB=90°$，$AB=3$，由勾股定理得：
$AO^2 + BO^2 = AB^2 = 9$
由完全平方公式：
$(AO+BO)^2 = AO^2 + 2AO· BO + BO^2$
代入数值：
$4^2 = 9 + 2AO· BO$
解得 $2AO· BO=7$。
菱形面积 $S=\frac{1}{2}· AD· BF=\frac{1}{2}· 2AO· 2BO=2AO· BO=7$。
【答案】
(1) 四边形ABDF是菱形；(2) $S=7$
【知识点】
三角形中位线定理，旋转的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类典型题，结合了中位线、旋转、特殊四边形判定和代数公式计算等考点，解题时需先理清几何图形的位置和数量关系，再结合代数方法求解，能有效考查学生的几何推理和综合计算能力。
【难度系数】
0.6