登录
4. 如图14,在平面直角坐标系中,将四边形ABCD称为“基本图形”,且各点的坐标分别为A(4,4),B(1,3),C(3,3),D(3,1).
(1)画出“基本图形”关于原点O对称的四边形$A_1B_1C_1D_1$,并填出$A_1,B_1,C_1,D_1$的坐标.
$A_1$ ( , ), $B_1$ ( , ), $C_1$( , ),$D_1$( , ).
(2)画出“基本图形”绕B点顺时针旋转$90°$所成的四边形$A_2B_2C_2D_2$.
(1)画出“基本图形”关于原点O对称的四边形$A_1B_1C_1D_1$,并填出$A_1,B_1,C_1,D_1$的坐标.
$A_1$ ( , ), $B_1$ ( , ), $C_1$( , ),$D_1$( , ).
(2)画出“基本图形”绕B点顺时针旋转$90°$所成的四边形$A_2B_2C_2D_2$.
答案
解：
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，可得：
$A_1(-4,-4)$，$B_1(-1,-3)$，$C_1(-3,-3)$，$D_1(-3,-1)$。
在坐标系中描出上述四个点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1D_1$、$D_1A_1$，即可得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 作图步骤：
① 点B为旋转中心，旋转后点B的对应点$B_2$与点B重合；
② 分别将点A、C、D绕点B顺时针旋转$90°$，得到对应点$A_2$、$C_2$、$D_2$；
③ 顺次连接$B_2$、$A_2$、$C_2$、$D_2$，所得四边形即为所求的四边形$A_2B_2C_2D_2$。
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，可得：
$A_1(-4,-4)$，$B_1(-1,-3)$，$C_1(-3,-3)$，$D_1(-3,-1)$。
在坐标系中描出上述四个点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1D_1$、$D_1A_1$，即可得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 作图步骤：
① 点B为旋转中心，旋转后点B的对应点$B_2$与点B重合；
② 分别将点A、C、D绕点B顺时针旋转$90°$，得到对应点$A_2$、$C_2$、$D_2$；
③ 顺次连接$B_2$、$A_2$、$C_2$、$D_2$，所得四边形即为所求的四边形$A_2B_2C_2D_2$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，点$(x,y)$关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，即对应点坐标为$(-x,-y)$。我们直接将A、B、C、D四个点的坐标代入这个规律，就能得到$A_1、B_1、C_1、D_1$的坐标，之后在坐标系中描出这四个点，依次连接就能得到所求的对称四边形。
(2) 解决第二问的旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心是点B，旋转方向是顺时针，旋转角度是$90°$。首先旋转中心的对应点和自身重合，即$B_2$与B重合；接下来根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于$90°$，分别作出点A、C、D绕点B顺时针旋转$90°$后的对应点$A_2、C_2、D_2$，最后顺次连接各对应点即可得到旋转后的四边形。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，将各点坐标代入计算：
A(4,4)关于原点对称的点$A_1$坐标为$(-4,-4)$；
B(1,3)关于原点对称的点$B_1$坐标为$(-1,-3)$；
C(3,3)关于原点对称的点$C_1$坐标为$(-3,-3)$；
D(3,1)关于原点对称的点$D_1$坐标为$(-3,-1)$。
在坐标系中描出$A_1、B_1、C_1、D_1$四个点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1D_1$、$D_1A_1$，即可得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 作图步骤：
① 确定旋转中心为点B，旋转后点B的对应点$B_2$与点B重合；
② 分别将线段BA、BC、BD绕点B顺时针旋转$90°$，根据旋转后对应线段长度不变，找到点A、C、D的对应点$A_2、C_2、D_2$；
③ 顺次连接$B_2、A_2、C_2、D_2$，所得四边形即为所求的四边形$A_2B_2C_2D_2$。
【答案】
(1) $A_1(-4,-4)$，$B_1(-1,-3)$，$C_1(-3,-3)$，$D_1(-3,-1)$；
(2) 按解析步骤作出四边形$A_2B_2C_2D_2$即可。
【知识点】
1. 关于原点对称的坐标特征
2. 旋转作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换，属于基础类作图题，重点考查对原点对称坐标规律和旋转性质的掌握，解题时要注意旋转的方向、角度，以及对称点坐标的符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
(1) 解决第一问首先回忆关于原点对称的点的坐标规律：平面直角坐标系中，点$(x,y)$关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，即对应点坐标为$(-x,-y)$。我们直接将A、B、C、D四个点的坐标代入这个规律，就能得到$A_1、B_1、C_1、D_1$的坐标，之后在坐标系中描出这四个点，依次连接就能得到所求的对称四边形。
(2) 解决第二问的旋转作图，首先明确旋转三要素：旋转中心是点B，旋转方向是顺时针，旋转角度是$90°$。首先旋转中心的对应点和自身重合，即$B_2$与B重合；接下来根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，旋转角等于$90°$，分别作出点A、C、D绕点B顺时针旋转$90°$后的对应点$A_2、C_2、D_2$，最后顺次连接各对应点即可得到旋转后的四边形。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点的坐标为$(-x,-y)$，将各点坐标代入计算：
A(4,4)关于原点对称的点$A_1$坐标为$(-4,-4)$；
B(1,3)关于原点对称的点$B_1$坐标为$(-1,-3)$；
C(3,3)关于原点对称的点$C_1$坐标为$(-3,-3)$；
D(3,1)关于原点对称的点$D_1$坐标为$(-3,-1)$。
在坐标系中描出$A_1、B_1、C_1、D_1$四个点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1D_1$、$D_1A_1$，即可得到四边形$A_1B_1C_1D_1$。
(2) 作图步骤：
① 确定旋转中心为点B，旋转后点B的对应点$B_2$与点B重合；
② 分别将线段BA、BC、BD绕点B顺时针旋转$90°$，根据旋转后对应线段长度不变，找到点A、C、D的对应点$A_2、C_2、D_2$；
③ 顺次连接$B_2、A_2、C_2、D_2$，所得四边形即为所求的四边形$A_2B_2C_2D_2$。
【答案】
(1) $A_1(-4,-4)$，$B_1(-1,-3)$，$C_1(-3,-3)$，$D_1(-3,-1)$；
(2) 按解析步骤作出四边形$A_2B_2C_2D_2$即可。
【知识点】
1. 关于原点对称的坐标特征
2. 旋转作图
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的图形变换，属于基础类作图题，重点考查对原点对称坐标规律和旋转性质的掌握，解题时要注意旋转的方向、角度，以及对称点坐标的符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
类型四:中心对称
1. 如图15,正方形ABCD与正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$关于某点中心对称,已知$A,D_{1},D$三点的坐标分别是$(0,4),(0,3),(0,2)$.
(1)求对称中心的坐标;
(2)写出顶点$B,C,B_{1},C_{1}$的坐标.
1. 如图15,正方形ABCD与正方形$A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$关于某点中心对称,已知$A,D_{1},D$三点的坐标分别是$(0,4),(0,3),(0,2)$.
(1)求对称中心的坐标;
(2)写出顶点$B,C,B_{1},C_{1}$的坐标.
答案
解：
(1) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点。
∵点D和点$D_1$是对应点，坐标分别为$(0,2)$，$(0,3)$，
∴对称中心的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{2+3}{2}=2.5$，
即对称中心的坐标为$(0, 2.5)$。
(2) 由$A(0,4)$，$D(0,2)$，可得正方形的边长为$4-2=2$。
结合正方形的性质，可得：
$B(-2,4)$，$C(-2,2)$，$B_1(2,1)$，$C_1(2,3)$。
(1) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点。
∵点D和点$D_1$是对应点，坐标分别为$(0,2)$，$(0,3)$，
∴对称中心的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{2+3}{2}=2.5$，
即对称中心的坐标为$(0, 2.5)$。
(2) 由$A(0,4)$，$D(0,2)$，可得正方形的边长为$4-2=2$。
结合正方形的性质，可得：
$B(-2,4)$，$C(-2,2)$，$B_1(2,1)$，$C_1(2,3)$。
解析
【分析】
(1) 求对称中心的核心是利用中心对称的性质：对称中心是任意一组对应点连线的中点。观察已知点，D和$D_1$是对应点，直接代入中点坐标公式计算即可得到对称中心坐标。
(2) 先根据A、D两点都在y轴上，两点纵坐标的差即为正方形的边长。再结合正方形ABCD的位置（AD边在y轴上，AB边水平向左），即可写出B、C的坐标；最后利用中心对称的性质，即对应点的连线中点为对称中心，反推求出$B_1$、$C_1$的坐标。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点。
已知点D和点$D_1$是对应点，坐标分别为$(0,2)$、$(0,3)$，
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
可得对称中心的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{2+3}{2}=2.5$，
即对称中心的坐标为$(0, 2.5)$。
(2) 已知$A(0,4)$，$D(0,2)$，两点都在y轴上，因此正方形的边长为$4-2=2$。
因为正方形ABCD中，AB边水平向左，BC边竖直向下，所以：
点B的横坐标为$0-2=-2$，纵坐标与A相同为4，即$B(-2,4)$；
点C的横坐标与B相同为$-2$，纵坐标与D相同为2，即$C(-2,2)$。
再根据中心对称的性质，对应点的中点为对称中心$(0,2.5)$：
设$B_1(x_1,y_1)$，则$\frac{-2+x_1}{2}=0$，$\frac{4+y_1}{2}=2.5$，解得$x_1=2$，$y_1=1$，即$B_1(2,1)$；
设$C_1(x_2,y_2)$，则$\frac{-2+x_2}{2}=0$，$\frac{2+y_2}{2}=2.5$，解得$x_2=2$，$y_2=3$，即$C_1(2,3)$。
【答案】
(1) 对称中心的坐标为$\boldsymbol{(0,2.5)}$；
(2) $B(-2,4)$，$C(-2,2)$，$B_1(2,1)$，$C_1(2,3)$。
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，正方形的性质
【点评】
本题是中心对称在平面直角坐标系中的基础应用，解题的关键是牢记中心对称的对应点连线被对称中心平分，结合正方形的边长特征即可顺利求出各点坐标，解题时注意结合图形判断点的位置，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.7
(1) 求对称中心的核心是利用中心对称的性质：对称中心是任意一组对应点连线的中点。观察已知点，D和$D_1$是对应点，直接代入中点坐标公式计算即可得到对称中心坐标。
(2) 先根据A、D两点都在y轴上，两点纵坐标的差即为正方形的边长。再结合正方形ABCD的位置（AD边在y轴上，AB边水平向左），即可写出B、C的坐标；最后利用中心对称的性质，即对应点的连线中点为对称中心，反推求出$B_1$、$C_1$的坐标。
【解析】
(1) 根据中心对称的性质，对称中心是对应点连线的中点。
已知点D和点$D_1$是对应点，坐标分别为$(0,2)$、$(0,3)$，
根据中点坐标公式：若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$，
可得对称中心的横坐标为$\frac{0+0}{2}=0$，纵坐标为$\frac{2+3}{2}=2.5$，
即对称中心的坐标为$(0, 2.5)$。
(2) 已知$A(0,4)$，$D(0,2)$，两点都在y轴上，因此正方形的边长为$4-2=2$。
因为正方形ABCD中，AB边水平向左，BC边竖直向下，所以：
点B的横坐标为$0-2=-2$，纵坐标与A相同为4，即$B(-2,4)$；
点C的横坐标与B相同为$-2$，纵坐标与D相同为2，即$C(-2,2)$。
再根据中心对称的性质，对应点的中点为对称中心$(0,2.5)$：
设$B_1(x_1,y_1)$，则$\frac{-2+x_1}{2}=0$，$\frac{4+y_1}{2}=2.5$，解得$x_1=2$，$y_1=1$，即$B_1(2,1)$；
设$C_1(x_2,y_2)$，则$\frac{-2+x_2}{2}=0$，$\frac{2+y_2}{2}=2.5$，解得$x_2=2$，$y_2=3$，即$C_1(2,3)$。
【答案】
(1) 对称中心的坐标为$\boldsymbol{(0,2.5)}$；
(2) $B(-2,4)$，$C(-2,2)$，$B_1(2,1)$，$C_1(2,3)$。
【知识点】
中心对称的性质，中点坐标公式，正方形的性质
【点评】
本题是中心对称在平面直角坐标系中的基础应用，解题的关键是牢记中心对称的对应点连线被对称中心平分，结合正方形的边长特征即可顺利求出各点坐标，解题时注意结合图形判断点的位置，避免坐标符号出错。
【难度系数】
0.7
