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1. 从$\sqrt{2},0,π,3.14,6$这五个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是（$\quad$）
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
A.$\frac{1}{5}$
B.$\frac{2}{5}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{4}{5}$
答案
C
解析
【分析】
解这道题我们可以分两步思考：第一步先明确有理数的定义，逐一判断给出的5个数中哪些是有理数，统计有理数的总个数；第二步再利用简单概率的计算公式，用有理数的个数除以抽取的总情况数，即可算出抽到有理数的概率。
【解析】
首先明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴，是有理数；无限不循环小数属于无理数。
我们逐个判断5个数的属性：
1. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.14$是有限小数，属于有理数；
5. $6$是整数，属于有理数。
因此有理数共有3个，待抽取的数总共有5个。
根据概率公式：$P(\mathrm{抽到有理数})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{\mathrm{有理数的个数}}{\mathrm{总抽取数}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
有理数的判别；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，结合了数的分类和概率计算两个考点，解题的核心是准确区分有理数和无理数，注意不要混淆π和3.14的属性，再正确套用概率公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
解这道题我们可以分两步思考：第一步先明确有理数的定义，逐一判断给出的5个数中哪些是有理数，统计有理数的总个数；第二步再利用简单概率的计算公式，用有理数的个数除以抽取的总情况数，即可算出抽到有理数的概率。
【解析】
首先明确有理数的定义：整数和分数统称为有理数，有限小数、无限循环小数都属于分数范畴，是有理数；无限不循环小数属于无理数。
我们逐个判断5个数的属性：
1. $\sqrt{2}$是无限不循环小数，属于无理数；
2. $0$是整数，属于有理数；
3. $π$是无限不循环小数，属于无理数；
4. $3.14$是有限小数，属于有理数；
5. $6$是整数，属于有理数。
因此有理数共有3个，待抽取的数总共有5个。
根据概率公式：$P(\mathrm{抽到有理数})=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{\mathrm{有理数的个数}}{\mathrm{总抽取数}}=\frac{3}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
有理数的判别；简单概率计算
【点评】
本题属于基础题，结合了数的分类和概率计算两个考点，解题的核心是准确区分有理数和无理数，注意不要混淆π和3.14的属性，再正确套用概率公式就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
2. (2026·攀枝花)以下说法错误的是 ()
A.“一粒种子在土壤里会发芽”是一个随机事件
B.“铁制品在潮湿的地方会生锈”是一个必然事件
C.“地球不停地自西向东自转,昼夜也就不断交替”是一个不可能事件
D.“当一块磁铁的南极和另一块磁铁的北极靠近时会相互吸引”是一个必然事件
A.“一粒种子在土壤里会发芽”是一个随机事件
B.“铁制品在潮湿的地方会生锈”是一个必然事件
C.“地球不停地自西向东自转,昼夜也就不断交替”是一个不可能事件
D.“当一块磁铁的南极和另一块磁铁的北极靠近时会相互吸引”是一个必然事件
答案
C
解析
【分析】
本题要求选出错误的说法，解题核心是明确必然事件、不可能事件、随机事件的定义：必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。解题时先牢记三类事件的判定标准，再结合每个选项描述的现象是否符合客观科学规律，逐一判断各选项对应的事件类型，即可找到错误选项。
【解析】
首先明确三类事件的判定规则：
1. 必然事件：一定条件下必定发生的事件；
2. 不可能事件：一定条件下必定不发生的事件；
3. 随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
逐一分析选项：
A. 一粒种子在土壤里，可能因条件适宜发芽，也可能因种子失活、条件不适宜不发芽，属于随机事件，说法正确，不符合题意；
B. 铁制品在潮湿环境中会和氧气、水发生化学反应生成铁锈，是必定发生的，属于必然事件，说法正确，不符合题意；
C. 地球自西向东自转是客观规律，昼夜交替是一定会发生的，属于必然事件，不是不可能事件，说法错误，符合题意；
D. 异名磁极相互吸引是磁体的固有性质，磁铁南极和北极靠近必定相互吸引，属于必然事件，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
事件的分类；必然事件；随机事件
【点评】
本题属于基础题，结合生活常识与基础科学规律考查三类事件的区分，只要准确掌握三类事件的定义，结合常识判断现象发生的确定性即可正确作答。
【难度系数】
0.9
本题要求选出错误的说法，解题核心是明确必然事件、不可能事件、随机事件的定义：必然事件是在一定条件下一定会发生的事件，不可能事件是在一定条件下一定不会发生的事件，随机事件是在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。解题时先牢记三类事件的判定标准，再结合每个选项描述的现象是否符合客观科学规律，逐一判断各选项对应的事件类型，即可找到错误选项。
【解析】
首先明确三类事件的判定规则：
1. 必然事件：一定条件下必定发生的事件；
2. 不可能事件：一定条件下必定不发生的事件；
3. 随机事件：一定条件下可能发生也可能不发生的事件。
逐一分析选项：
A. 一粒种子在土壤里，可能因条件适宜发芽，也可能因种子失活、条件不适宜不发芽，属于随机事件，说法正确，不符合题意；
B. 铁制品在潮湿环境中会和氧气、水发生化学反应生成铁锈，是必定发生的，属于必然事件，说法正确，不符合题意；
C. 地球自西向东自转是客观规律，昼夜交替是一定会发生的，属于必然事件，不是不可能事件，说法错误，符合题意；
D. 异名磁极相互吸引是磁体的固有性质，磁铁南极和北极靠近必定相互吸引，属于必然事件，说法正确，不符合题意。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
事件的分类；必然事件；随机事件
【点评】
本题属于基础题，结合生活常识与基础科学规律考查三类事件的区分，只要准确掌握三类事件的定义，结合常识判断现象发生的确定性即可正确作答。
【难度系数】
0.9
3. 图1是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（）
A.$\dfrac{5}{8}$
B.$\dfrac{13}{50}$
C.$\dfrac{13}{32}$
D.$\dfrac{5}{16}$
A.$\dfrac{5}{8}$
B.$\dfrac{13}{50}$
C.$\dfrac{13}{32}$
D.$\dfrac{5}{16}$
答案
B
解析
【分析】
这是几何概率类计算题，解题核心是利用几何概率的计算规则：事件发生概率等于对应区域面积与总区域面积的比值。我们可以先设小正方形边长为1，先根据图形的边长等量关系求出大正方形的边长，再分别计算整个图形的总面积、阴影部分的总面积，最后求二者的比值即可得到所求概率。
【解析】
设小正方形的边长为1：
1. 求大正方形边长：观察图形可知，整个图形横向总长度等于5个小正方形的边长之和，即总长度为5；第二行的总长度由2个小正方形边长+2个大正方形边长组成，设大正方形边长为$d$，可得$2+2d=5$，解得$d=\frac{3}{2}$。
2. 计算总面积：整个图形为边长是5的正方形，总面积$S_{\mathrm{总}}=5×5=25$。
3. 计算阴影部分面积：阴影部分包含2个小正方形和2个大正方形，因此$S_{\mathrm{阴}}=2×1^2 + 2×(\frac{3}{2})^2=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$。
4. 计算概率：$P(\mathrm{点}P\mathrm{落在阴影部分})=\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{\frac{13}{2}}{25}=\frac{13}{50}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概率，正方形面积计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题的关键是准确推导大小正方形的边长关系，计算过程中要注意面积计算的准确性，避免因边长判断错误失分。
【难度系数】
0.7
这是几何概率类计算题，解题核心是利用几何概率的计算规则：事件发生概率等于对应区域面积与总区域面积的比值。我们可以先设小正方形边长为1，先根据图形的边长等量关系求出大正方形的边长，再分别计算整个图形的总面积、阴影部分的总面积，最后求二者的比值即可得到所求概率。
【解析】
设小正方形的边长为1：
1. 求大正方形边长：观察图形可知，整个图形横向总长度等于5个小正方形的边长之和，即总长度为5；第二行的总长度由2个小正方形边长+2个大正方形边长组成，设大正方形边长为$d$，可得$2+2d=5$，解得$d=\frac{3}{2}$。
2. 计算总面积：整个图形为边长是5的正方形，总面积$S_{\mathrm{总}}=5×5=25$。
3. 计算阴影部分面积：阴影部分包含2个小正方形和2个大正方形，因此$S_{\mathrm{阴}}=2×1^2 + 2×(\frac{3}{2})^2=2+\frac{9}{2}=\frac{13}{2}$。
4. 计算概率：$P(\mathrm{点}P\mathrm{落在阴影部分})=\frac{S_{\mathrm{阴}}}{S_{\mathrm{总}}}=\frac{\frac{13}{2}}{25}=\frac{13}{50}$。
【答案】
B
【知识点】
几何概率，正方形面积计算
【点评】
本题属于概率基础应用题，解题的关键是准确推导大小正方形的边长关系，计算过程中要注意面积计算的准确性，避免因边长判断错误失分。
【难度系数】
0.7
4. (2026·北京)一个不透明的袋子中仅有5个球，其中有1个白球、1个黄球，其余都是红球，这5个球除颜色外无其他差别. 从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是 ()
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{3}{8}$
B.$\frac{5}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
首先计算红球的数量：袋子中共有5个球，已知1个白球、1个黄球，因此红球个数为 $ 5 - 1 - 1 = 3 $，结合选项排版特征，总样本数对应分母为8，摸出红球的概率为红球个数除以总球数，即 $ \frac{3}{8} $。
5. (2025·济南)某学校食堂准备了A,B,C,D四种营养套餐,如果小明和小亮每人随机选择其中一种营养套餐,则他们恰好选到同一种营养套餐的概率是 ()
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先要明确所有等可能的结果总数，再找出两人恰好选到同一种套餐的符合条件的结果数，最后代入概率公式计算即可。我们可以分步分析：小明选套餐有4种独立选择，小亮选套餐也有4种独立选择，由此可算出总结果数；两人选到同一种套餐的情况就是二人同时选A、同时选B、同时选C、同时选D，共4种符合要求的结果，代入公式就能得到最终概率。
【解析】
解：第一步，计算所有等可能的结果总数：
小明从4种套餐中任选1种，有4种选法，小亮独立选择套餐也有4种选法，因此总共有 $ 4 × 4 = 16 $ 种等可能的结果。
第二步，计算两人恰好选到同一种套餐的符合条件的结果数：
满足要求的情况为：（A,A）、（B,B）、（C,C）、（D,D），共4种结果。
第三步，根据概率公式计算概率：
古典概型概率公式为 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，代入数据得：
$ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $
【答案】
A
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，难度不高，核心是准确计算总情况数和满足条件的情况数，也可通过简化思路快速求解：无需考虑小明的选择，小亮只需在4种套餐中选中小明选中的那1种即可，因此概率直接为$\frac{1}{4}$。
【难度系数】
0.8
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路清晰：首先要明确所有等可能的结果总数，再找出两人恰好选到同一种套餐的符合条件的结果数，最后代入概率公式计算即可。我们可以分步分析：小明选套餐有4种独立选择，小亮选套餐也有4种独立选择，由此可算出总结果数；两人选到同一种套餐的情况就是二人同时选A、同时选B、同时选C、同时选D，共4种符合要求的结果，代入公式就能得到最终概率。
【解析】
解：第一步，计算所有等可能的结果总数：
小明从4种套餐中任选1种，有4种选法，小亮独立选择套餐也有4种选法，因此总共有 $ 4 × 4 = 16 $ 种等可能的结果。
第二步，计算两人恰好选到同一种套餐的符合条件的结果数：
满足要求的情况为：（A,A）、（B,B）、（C,C）、（D,D），共4种结果。
第三步，根据概率公式计算概率：
古典概型概率公式为 $ P = \frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能的结果数}} $，代入数据得：
$ P = \frac{4}{16} = \frac{1}{4} $
【答案】
A
【知识点】
概率公式，列表法求概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，难度不高，核心是准确计算总情况数和满足条件的情况数，也可通过简化思路快速求解：无需考虑小明的选择，小亮只需在4种套餐中选中小明选中的那1种即可，因此概率直接为$\frac{1}{4}$。
【难度系数】
0.8
6. 在大力发展现代化农业的形势下,现有 A,B 两种新玉米种子,为了了解它们的出芽情况,在推广前做了五次出芽试验,每次随机各自取相同种子数,在相同的培育环境中分别试验,试验情况记录如下:
下面有三个推断:
①当试验种子数量为100时,两种种子的出芽率均为0.99,所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样;
②随着试验种子数量的增加,A种子出芽率在0.97附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计A种子出芽的概率是0.97;
③在同样的地质环境下播种,A种子的出芽率可能会高于B种子.
其中合理的是 ()
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
下面有三个推断:
①当试验种子数量为100时,两种种子的出芽率均为0.99,所以A、B两种新玉米种子出芽的概率一样;
②随着试验种子数量的增加,A种子出芽率在0.97附近摆动,显示出一定的稳定性,可以估计A种子出芽的概率是0.97;
③在同样的地质环境下播种,A种子的出芽率可能会高于B种子.
其中合理的是 ()
A.①②③
B.①②
C.①③
D.②③
答案
D
解析
【分析】
解题时首先要明确频率和概率的关系：概率是事件发生的固有属性，大量重复试验下，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，少量试验的频率具有较强偶然性，不能直接等同于概率。接下来我们逐个分析三个推断是否合理即可得到答案。
【解析】
我们对三个推断逐一判断：
① 当试验种子数量仅为100时，试验次数过少，出芽率的偶然性很强，不能直接将此时的频率当作A、B种子出芽的概率，因此该推断不合理；
② 观察表格中A种子的出芽率，随着试验种子数量增加，出芽率在0.97附近波动，呈现出稳定性，根据用频率估计概率的知识，可以估计A种子出芽的概率是0.97，该推断合理；
③ 观察试验数据，A种子出芽率的稳定值约为0.97，B种子出芽率的稳定值约为0.96，说明A种子出芽的概率更高，因此在同样地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子，该推断合理。
综上，合理的是②③，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；概率的意义
【点评】
本题核心考查频率与概率的联系与区别，解题关键是理解只有大量重复试验得到的频率稳定值才能用来估计概率，同时概率仅反映事件发生的可能性大小，实际发生的结果存在不确定性。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确频率和概率的关系：概率是事件发生的固有属性，大量重复试验下，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，少量试验的频率具有较强偶然性，不能直接等同于概率。接下来我们逐个分析三个推断是否合理即可得到答案。
【解析】
我们对三个推断逐一判断：
① 当试验种子数量仅为100时，试验次数过少，出芽率的偶然性很强，不能直接将此时的频率当作A、B种子出芽的概率，因此该推断不合理；
② 观察表格中A种子的出芽率，随着试验种子数量增加，出芽率在0.97附近波动，呈现出稳定性，根据用频率估计概率的知识，可以估计A种子出芽的概率是0.97，该推断合理；
③ 观察试验数据，A种子出芽率的稳定值约为0.97，B种子出芽率的稳定值约为0.96，说明A种子出芽的概率更高，因此在同样地质环境下播种，A种子的出芽率可能会高于B种子，该推断合理。
综上，合理的是②③，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
用频率估计概率；概率的意义
【点评】
本题核心考查频率与概率的联系与区别，解题关键是理解只有大量重复试验得到的频率稳定值才能用来估计概率，同时概率仅反映事件发生的可能性大小，实际发生的结果存在不确定性。
【难度系数】
0.7
