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2. 小伟和小欣玩一种抽卡片游戏:将背面完全相同、正面分别写有1,2,3,4的四张卡片混合后,小伟从中随机抽取一张,记下数字.把卡片放回后,小欣再从中随机抽取一张,记下数字.如果所得两数之和大于4,则小伟胜;如果所得两数之和不大于4,则小欣胜.
(1)分别求小伟、小欣获胜的概率.
(2)若小伟抽取的卡片数字是1,两人谁获胜的概率大?为什么?
(1)分别求小伟、小欣获胜的概率.
(2)若小伟抽取的卡片数字是1,两人谁获胜的概率大?为什么?
答案
解：
(1) 所有等可能的结果共16种，分别为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)。
其中两数之和大于4的结果共10种，两数之和不大于4的结果共6种。
∴ $P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，
$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
(2) 小欣获胜的概率大。
理由如下：
当小伟抽取的卡片数字是1时，小欣抽取的数字有1,2,3,4共4种等可能结果，对应的两数之和分别为2,3,4,5。
其中两数之和大于4的结果只有1种，两数之和不大于4的结果有3种。
此时$P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{3}{4}$，
∵ $\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，
∴ 小欣获胜的概率大。
(1) 所有等可能的结果共16种，分别为：
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)。
其中两数之和大于4的结果共10种，两数之和不大于4的结果共6种。
∴ $P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，
$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
(2) 小欣获胜的概率大。
理由如下：
当小伟抽取的卡片数字是1时，小欣抽取的数字有1,2,3,4共4种等可能结果，对应的两数之和分别为2,3,4,5。
其中两数之和大于4的结果只有1种，两数之和不大于4的结果有3种。
此时$P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{3}{4}$，
∵ $\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，
∴ 小欣获胜的概率大。
解析
【分析】
(1) 本题属于放回型两次抽取的古典概型问题，解题时先明确两次抽取互不影响，通过列表法列举出所有等可能的结果，总共有$4×4=16$种；再分别统计“两数之和大于4”“两数之和不大于4”对应的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，分别计算两人获胜的概率。
(2) 已知小伟抽取的数字为1时，总等可能结果缩小为4种（对应小欣抽取的4个数字），分别计算对应的两数之和，再统计两人获胜的结果数，代入概率公式计算后比较大小，即可判断谁获胜概率更大。
【解析】
(1) 由于是放回抽取，两次抽取互不影响，所有等可能的结果共16种，分别为：
$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),$
$(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),$
$(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),$
$(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$。
其中两数之和大于4的结果共10种，两数之和不大于4的结果共6种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，
$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
(2) 小欣获胜的概率大，理由如下：
当小伟抽取的卡片数字是1时，小欣抽取的数字有1,2,3,4共4种等可能结果，对应的两数之和分别为2,3,4,5。
其中两数之和大于4的结果只有1种，两数之和不大于4的结果有3种。
此时$P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{3}{4}$，
∵ $\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，
∴ 小欣获胜的概率大。
【答案】
(1) 小伟获胜的概率为$\frac{5}{8}$，小欣获胜的概率为$\frac{3}{8}$；
(2) 小欣获胜的概率大，理由见解析。
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，放回抽样概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对古典概型的理解和运用能力，解题的核心是准确、不重不漏地列举所有等可能的结果，要注意区分放回和不放回抽样的差异，第二问需结合给定的前提条件缩小列举范围，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于放回型两次抽取的古典概型问题，解题时先明确两次抽取互不影响，通过列表法列举出所有等可能的结果，总共有$4×4=16$种；再分别统计“两数之和大于4”“两数之和不大于4”对应的结果数，最后根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能结果数}$，分别计算两人获胜的概率。
(2) 已知小伟抽取的数字为1时，总等可能结果缩小为4种（对应小欣抽取的4个数字），分别计算对应的两数之和，再统计两人获胜的结果数，代入概率公式计算后比较大小，即可判断谁获胜概率更大。
【解析】
(1) 由于是放回抽取，两次抽取互不影响，所有等可能的结果共16种，分别为：
$(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),$
$(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),$
$(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),$
$(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$。
其中两数之和大于4的结果共10种，两数之和不大于4的结果共6种。
根据概率公式可得：
$P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$，
$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
(2) 小欣获胜的概率大，理由如下：
当小伟抽取的卡片数字是1时，小欣抽取的数字有1,2,3,4共4种等可能结果，对应的两数之和分别为2,3,4,5。
其中两数之和大于4的结果只有1种，两数之和不大于4的结果有3种。
此时$P(\mathrm{小伟获胜})=\frac{1}{4}$，$P(\mathrm{小欣获胜})=\frac{3}{4}$，
∵ $\frac{3}{4}＞\frac{1}{4}$，
∴ 小欣获胜的概率大。
【答案】
(1) 小伟获胜的概率为$\frac{5}{8}$，小欣获胜的概率为$\frac{3}{8}$；
(2) 小欣获胜的概率大，理由见解析。
【知识点】
列表法求概率，概率计算公式，放回抽样概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对古典概型的理解和运用能力，解题的核心是准确、不重不漏地列举所有等可能的结果，要注意区分放回和不放回抽样的差异，第二问需结合给定的前提条件缩小列举范围，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
