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9.已知$-32a^{2m}b$和$b^{3-n}a^4$是同类项，则$m$，$n$的值分别是（
A.$2,2$
B.$3,4$
C.$-1,\frac{1}{2}$
D.$6,2$
A
）。A.$2,2$
B.$3,4$
C.$-1,\frac{1}{2}$
D.$6,2$
答案
9. A
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义，同类项需要满足两个条件：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相等。本题已知两个单项式是同类项，因此可以分别对a、b两个字母的指数列等式，再解简单的一元一次方程即可求出m、n的值。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。
已知$-32a^{2m}b$和$b^{3-n}a^4$是同类项：
1. 对应字母a的指数相等，可得：$2m=4$，解得$m=2$；
2. 对应字母b的指数相等，注意第一个项中$b$的指数为1，可得：$3-n=1$，解得$n=2$。
因此$m=2$，$n=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是同类项相关的基础常考题，核心是抓住同类项中相同字母指数相等的性质列等式求解，计算量小，掌握定义即可得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆同类项的定义，同类项需要满足两个条件：一是所含字母完全相同，二是相同字母的指数也分别相等。本题已知两个单项式是同类项，因此可以分别对a、b两个字母的指数列等式，再解简单的一元一次方程即可求出m、n的值。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项是同类项。
已知$-32a^{2m}b$和$b^{3-n}a^4$是同类项：
1. 对应字母a的指数相等，可得：$2m=4$，解得$m=2$；
2. 对应字母b的指数相等，注意第一个项中$b$的指数为1，可得：$3-n=1$，解得$n=2$。
因此$m=2$，$n=2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 同类项的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题是同类项相关的基础常考题，核心是抓住同类项中相同字母指数相等的性质列等式求解，计算量小，掌握定义即可得分。
【难度系数】
0.8
10.无论$a$，$b$取何值，代数式$-\dfrac{1}{3}a^2b^5 + \dfrac{5}{6}a^2b^5 - \dfrac{1}{2}a^2b^5$的值都等于
0
。答案
10. 0
解析
【分析】
观察代数式中的三个项，发现它们所含字母相同，且相同字母的指数也一致，属于同类项，可通过合并同类项化简代数式。合并同类项仅需将各项系数相加减，字母和字母的指数保持不变，计算出系数的和即可确定代数式的取值，若系数和为0，则无论字母取何值，代数式的值恒为0。
【解析】
首先判断$-\dfrac{1}{3}a^2b^5$、$\dfrac{5}{6}a^2b^5$、$-\dfrac{1}{2}a^2b^5$是同类项，根据合并同类项法则计算：
$\begin{aligned}&-\dfrac{1}{3}a^2b^5 + \dfrac{5}{6}a^2b^5 - \dfrac{1}{2}a^2b^5\\=&(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2})a^2b^5\\=&(-\dfrac{2}{6} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6})a^2b^5\\=&0× a^2b^5\\=&0\end{aligned}$
因此无论a、b取何值，代数式的值都为0。
【答案】
0
【知识点】
合并同类项；同类项的定义
【点评】
本题核心考查同类项的识别与合并运算，掌握合并同类项“系数相加减，字母和指数不变”的规则即可快速解题，当合并同类项后系数为0时，代数式的值与所含字母的取值无关。
【难度系数】
0.9
观察代数式中的三个项，发现它们所含字母相同，且相同字母的指数也一致，属于同类项，可通过合并同类项化简代数式。合并同类项仅需将各项系数相加减，字母和字母的指数保持不变，计算出系数的和即可确定代数式的取值，若系数和为0，则无论字母取何值，代数式的值恒为0。
【解析】
首先判断$-\dfrac{1}{3}a^2b^5$、$\dfrac{5}{6}a^2b^5$、$-\dfrac{1}{2}a^2b^5$是同类项，根据合并同类项法则计算：
$\begin{aligned}&-\dfrac{1}{3}a^2b^5 + \dfrac{5}{6}a^2b^5 - \dfrac{1}{2}a^2b^5\\=&(-\dfrac{1}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2})a^2b^5\\=&(-\dfrac{2}{6} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6})a^2b^5\\=&0× a^2b^5\\=&0\end{aligned}$
因此无论a、b取何值，代数式的值都为0。
【答案】
0
【知识点】
合并同类项；同类项的定义
【点评】
本题核心考查同类项的识别与合并运算，掌握合并同类项“系数相加减，字母和指数不变”的规则即可快速解题，当合并同类项后系数为0时，代数式的值与所含字母的取值无关。
【难度系数】
0.9
11.已知代数式 $x^4 + ax^3 + 2x^2 + 7x^3 -5x^2 -bx^2 +2x -1$ 合并同类项后不含 $x^3,x^2$ 项，求 $3a -2b$ 的值。
答案
解:原式$=x^4+(ax^3+7x^3)+(2x^2-5x^2-bx^2)+2x-1=x^4+(a+7)x^3+(-3-b)x^2+2x-1$。
由题意得$a+7=0,-3-b=0$,
解得$a=-7,b=-3$,
所以$3a-2b=3×(-7)-2×(-3)=-15$。
由题意得$a+7=0,-3-b=0$,
解得$a=-7,b=-3$,
所以$3a-2b=3×(-7)-2×(-3)=-15$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确“合并同类项后不含$x^3$、$x^2$项”的含义，即合并后$x^3$项和$x^2$项的系数都为0。解题思路分为三步：第一步先对给定代数式合并同类项，分别整理出$x^3$、$x^2$项的系数；第二步令这两项的系数等于0，列方程求出$a$、$b$的值；第三步将$a$、$b$代入$3a-2b$计算即可得到结果。
【解析】
首先对代数式合并同类项：
原式$=x^4+(ax^3+7x^3)+(2x^2-5x^2-bx^2)+2x-1$
$=x^4+(a+7)x^3+(-3-b)x^2+2x-1$
因为合并同类项后不含$x^3$、$x^2$项，所以这两项的系数为0，可得：
$a+7=0$，$-3-b=0$
解得：$a=-7$，$b=-3$
将$a=-7$、$b=-3$代入$3a-2b$计算：
$3a-2b=3×(-7)-2×(-3)=-21+6=-15$
【答案】
$-15$
【知识点】
合并同类项；多项式的系数；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础常考题，解题核心是理解“多项式不含某一项，即该项的系数为0”，只要熟练掌握合并同类项的方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确“合并同类项后不含$x^3$、$x^2$项”的含义，即合并后$x^3$项和$x^2$项的系数都为0。解题思路分为三步：第一步先对给定代数式合并同类项，分别整理出$x^3$、$x^2$项的系数；第二步令这两项的系数等于0，列方程求出$a$、$b$的值；第三步将$a$、$b$代入$3a-2b$计算即可得到结果。
【解析】
首先对代数式合并同类项：
原式$=x^4+(ax^3+7x^3)+(2x^2-5x^2-bx^2)+2x-1$
$=x^4+(a+7)x^3+(-3-b)x^2+2x-1$
因为合并同类项后不含$x^3$、$x^2$项，所以这两项的系数为0，可得：
$a+7=0$，$-3-b=0$
解得：$a=-7$，$b=-3$
将$a=-7$、$b=-3$代入$3a-2b$计算：
$3a-2b=3×(-7)-2×(-3)=-21+6=-15$
【答案】
$-15$
【知识点】
合并同类项；多项式的系数；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的基础常考题，解题核心是理解“多项式不含某一项，即该项的系数为0”，只要熟练掌握合并同类项的方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.8
12.已知$-2a^xb^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^2b^5$是同类项，求多项式$2x^3 -6xy^2 +3y^3$的值。
答案
12. -11
解析
【分析】
解题首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。结合题目给出的两个同类项，我们可以先列出关于x、y的等式，求出x和y的取值，再将x、y的值代入待求的多项式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$-2a^xb^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^2b^5$是同类项
∴根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x=2 \\ x+y=5\end{cases}$
将$x=2$代入$x+y=5$，解得$y=5-2=3$
把$x=2$，$y=3$代入多项式$2x^3 -6xy^2 +3y^3$得：
$\begin{aligned}原式&=2×2^3 -6×2×3^2 +3×3^3 \\&=2×8 -12×9 +3×27 \\&=16 -108 +81 \\&=-11\end{aligned}$
【答案】
$-11$
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题核心是同类项性质的应用，解题的关键是准确根据同类项的指数相等的特征求出未知字母的值，代入计算时要注意乘方运算的优先级和符号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项。结合题目给出的两个同类项，我们可以先列出关于x、y的等式，求出x和y的取值，再将x、y的值代入待求的多项式，按照有理数运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$-2a^xb^{x+y}$与$\frac{1}{3}a^2b^5$是同类项
∴根据同类项的定义可得：
$\begin{cases}x=2 \\ x+y=5\end{cases}$
将$x=2$代入$x+y=5$，解得$y=5-2=3$
把$x=2$，$y=3$代入多项式$2x^3 -6xy^2 +3y^3$得：
$\begin{aligned}原式&=2×2^3 -6×2×3^2 +3×3^3 \\&=2×8 -12×9 +3×27 \\&=16 -108 +81 \\&=-11\end{aligned}$
【答案】
$-11$
【知识点】
同类项的定义；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题核心是同类项性质的应用，解题的关键是准确根据同类项的指数相等的特征求出未知字母的值，代入计算时要注意乘方运算的优先级和符号的处理，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
13.【数学应用】如图所示的是一扇窗户的示意图，上部是半圆形，下部是四个边长相等的小正方形。
(1)计算窗户的面积及窗框的总长；
(2)当$a=50\ \mathrm{cm}$时，窗户的面积及窗框的总长分别是多少($π$取3.14)？
(1)计算窗户的面积及窗框的总长；
(2)当$a=50\ \mathrm{cm}$时，窗户的面积及窗框的总长分别是多少($π$取3.14)？
答案
(1) 窗户的面积为 $2a · 2a + \frac{1}{2}π a^2 =4a^2 + \frac{1}{2}π a^2 = (4+\frac{1}{2}π)a^2$，
窗框的总长为 $2a × 6 + \frac{1}{2} × 2π a + 3a =12a + π a + 3a = (15+π)a$。
(2) 当$a=50\ \mathrm{cm}$时，窗户的面积为 $(4+\frac{1}{2}× 3.14)× 50^2 =13\ 925(\mathrm{cm}^2)$，
窗框的总长为$(15+3.14)× 50=907(\mathrm{cm})$。
窗框的总长为 $2a × 6 + \frac{1}{2} × 2π a + 3a =12a + π a + 3a = (15+π)a$。
(2) 当$a=50\ \mathrm{cm}$时，窗户的面积为 $(4+\frac{1}{2}× 3.14)× 50^2 =13\ 925(\mathrm{cm}^2)$，
窗框的总长为$(15+3.14)× 50=907(\mathrm{cm})$。
解析
【分析】
首先观察图形可知，下部4个小正方形的边长均为a，因此下部可看作边长为2a的大正方形，上部半圆形的半径与小正方形边长相等，即$r=a$。
(1)求窗户面积时，可将图形拆分为下部大正方形和上部半圆形两部分，分别计算两部分的面积再求和；求窗框总长时，需分别统计所有直窗框的长度、半圆形的弧长以及半圆内部的半径长度，避免漏算或重复计算，最后将各部分长度相加即可。
(2)将$a=50\ \mathrm{cm}$、$π=3.14$直接代入第(1)问得到的面积和总长的代数式中，计算即可得到对应数值。
【解析】
(1) 计算窗户面积：
下部4个小正方形的总面积为 $2a × 2a = 4a^2$，
上部半圆的面积为 $\frac{1}{2}π a^2$，
因此窗户总面积为 $4a^2 + \frac{1}{2}π a^2 = (4+\frac{1}{2}π)a^2$。
计算窗框总长：
直窗框部分：横、竖直窗框总长度为 $6 × 2a =12a$，半圆内部共有3根长度为a的半径，共 $3a$；
半圆弧长为 $\frac{1}{2} × 2π a = π a$；
因此窗框总长为 $12a + 3a + π a = (15+π)a$。
(2) 当$a=50\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$时：
窗户面积为 $(4+\frac{1}{2}× 3.14) × 50^2 = 5.57 × 2500 = 13925(\mathrm{cm}^2)$；
窗框总长为 $(15+3.14) × 50 = 18.14 × 50 = 907(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 窗户面积为 $(4+\frac{1}{2}π)a^2$，窗框总长为 $(15+π)a$；
(2) 当$a=50\ \mathrm{cm}$时，窗户面积为$13925\ \mathrm{cm}^2$，窗框总长为$907\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形周长面积计算
【点评】
本题结合生活中的窗户图形考查组合图形的相关计算，解题的关键是正确拆分图形，明确各部分的边长、半径等参数，计算窗框总长时要注意不要漏算图形内部的分隔框线，代入求值时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
首先观察图形可知，下部4个小正方形的边长均为a，因此下部可看作边长为2a的大正方形，上部半圆形的半径与小正方形边长相等，即$r=a$。
(1)求窗户面积时，可将图形拆分为下部大正方形和上部半圆形两部分，分别计算两部分的面积再求和；求窗框总长时，需分别统计所有直窗框的长度、半圆形的弧长以及半圆内部的半径长度，避免漏算或重复计算，最后将各部分长度相加即可。
(2)将$a=50\ \mathrm{cm}$、$π=3.14$直接代入第(1)问得到的面积和总长的代数式中，计算即可得到对应数值。
【解析】
(1) 计算窗户面积：
下部4个小正方形的总面积为 $2a × 2a = 4a^2$，
上部半圆的面积为 $\frac{1}{2}π a^2$，
因此窗户总面积为 $4a^2 + \frac{1}{2}π a^2 = (4+\frac{1}{2}π)a^2$。
计算窗框总长：
直窗框部分：横、竖直窗框总长度为 $6 × 2a =12a$，半圆内部共有3根长度为a的半径，共 $3a$；
半圆弧长为 $\frac{1}{2} × 2π a = π a$；
因此窗框总长为 $12a + 3a + π a = (15+π)a$。
(2) 当$a=50\ \mathrm{cm}$，$π=3.14$时：
窗户面积为 $(4+\frac{1}{2}× 3.14) × 50^2 = 5.57 × 2500 = 13925(\mathrm{cm}^2)$；
窗框总长为 $(15+3.14) × 50 = 18.14 × 50 = 907(\mathrm{cm})$。
【答案】
(1) 窗户面积为 $(4+\frac{1}{2}π)a^2$，窗框总长为 $(15+π)a$；
(2) 当$a=50\ \mathrm{cm}$时，窗户面积为$13925\ \mathrm{cm}^2$，窗框总长为$907\ \mathrm{cm}$。
【知识点】
列代数式；代数式求值；组合图形周长面积计算
【点评】
本题结合生活中的窗户图形考查组合图形的相关计算，解题的关键是正确拆分图形，明确各部分的边长、半径等参数，计算窗框总长时要注意不要漏算图形内部的分隔框线，代入求值时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
