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三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分12分)计算:
(1)$2x^2y · (-3xy^2)^3$; (2)$(12a^3 -7a^2 +5a) ÷ 3a$;
(3)$(x+1)(x-3)-(x+1)^2$; (4)$(-x+4y)(-x-4y)$.
13.(本小题满分12分)计算:
(1)$2x^2y · (-3xy^2)^3$; (2)$(12a^3 -7a^2 +5a) ÷ 3a$;
(3)$(x+1)(x-3)-(x+1)^2$; (4)$(-x+4y)(-x-4y)$.
答案
13. 解 (1) 原式=$2x^2y · (-27x^3y^6) = -54x^5y^7$.
(2) 原式=$4a^2 - \frac{7}{3}a + \frac{5}{3}$.
(3) 原式=$x^2 -3x +x -3 -(x^2 +2x +1)$
=$x^2 -3x +x -3 -x^2 -2x -1$
=$-4x -4$.
(4) 原式=$x^2 -16y^2$.
(2) 原式=$4a^2 - \frac{7}{3}a + \frac{5}{3}$.
(3) 原式=$x^2 -3x +x -3 -(x^2 +2x +1)$
=$x^2 -3x +x -3 -x^2 -2x -1$
=$-4x -4$.
(4) 原式=$x^2 -16y^2$.
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，可运用乘法公式简化计算：
(1) 先根据积的乘方法则计算$(-3xy^2)^3$，再按单项式乘单项式的法则计算；
(2) 依据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以$3a$，再把所得的商相加；
(3) 先分别计算多项式乘多项式、完全平方式，再去括号、合并同类项得到结果；
(4) 观察式子符合平方差公式的结构特征，直接套用平方差公式计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-3xy^2)^3=(-3)^3·x^3·(y^2)^3=-27x^3y^6$，
再计算单项式乘法：原式$=2x^2y · (-27x^3y^6) = 2×(-27)·x^{2+3}·y^{1+6}=-54x^5y^7$；
(2) 多项式每一项分别除以$3a$：
原式$=12a^3÷3a -7a^2÷3a +5a÷3a = 4a^2 - \frac{7}{3}a + \frac{5}{3}$；
(3) 先计算乘法和完全平方式：
$(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$，$(x+1)^2=x^2+2x+1$，
代入原式得：$=x^2 -2x -3 -(x^2 +2x +1)$
去括号：$=x^2 -2x -3 -x^2 -2x -1$
合并同类项：$=-4x -4$；
(4) 式子符合$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=-x$，$b=4y$，
原式$=(-x)^2 - (4y)^2 = x^2 -16y^2$。
【答案】
(1)$-54x^5y^7$；(2)$4a^2 - \frac{7}{3}a + \frac{5}{3}$；(3)$-4x -4$；(4)$x^2 -16y^2$
【知识点】
幂的运算，整式乘除，乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，覆盖了整式运算的核心法则，解题时要注意运算顺序，去括号时留意符号变化，熟练掌握乘法公式可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后加减”的运算顺序，可运用乘法公式简化计算：
(1) 先根据积的乘方法则计算$(-3xy^2)^3$，再按单项式乘单项式的法则计算；
(2) 依据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以$3a$，再把所得的商相加；
(3) 先分别计算多项式乘多项式、完全平方式，再去括号、合并同类项得到结果；
(4) 观察式子符合平方差公式的结构特征，直接套用平方差公式计算即可。
【解析】
(1) 先计算乘方：$(-3xy^2)^3=(-3)^3·x^3·(y^2)^3=-27x^3y^6$，
再计算单项式乘法：原式$=2x^2y · (-27x^3y^6) = 2×(-27)·x^{2+3}·y^{1+6}=-54x^5y^7$；
(2) 多项式每一项分别除以$3a$：
原式$=12a^3÷3a -7a^2÷3a +5a÷3a = 4a^2 - \frac{7}{3}a + \frac{5}{3}$；
(3) 先计算乘法和完全平方式：
$(x+1)(x-3)=x^2-3x+x-3=x^2-2x-3$，$(x+1)^2=x^2+2x+1$，
代入原式得：$=x^2 -2x -3 -(x^2 +2x +1)$
去括号：$=x^2 -2x -3 -x^2 -2x -1$
合并同类项：$=-4x -4$；
(4) 式子符合$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构，其中$a=-x$，$b=4y$，
原式$=(-x)^2 - (4y)^2 = x^2 -16y^2$。
【答案】
(1)$-54x^5y^7$；(2)$4a^2 - \frac{7}{3}a + \frac{5}{3}$；(3)$-4x -4$；(4)$x^2 -16y^2$
【知识点】
幂的运算，整式乘除，乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，覆盖了整式运算的核心法则，解题时要注意运算顺序，去括号时留意符号变化，熟练掌握乘法公式可提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
14.(本小题满分8分)用乘法公式计算：
(1)$1250^2 - 1248 × 1252$； (2)$199^2 - 398 × 203 + 203^2$。
(1)$1250^2 - 1248 × 1252$； (2)$199^2 - 398 × 203 + 203^2$。
答案
14. 解 (1)$1250^2 -1248×1252$
=$1250^2 -(1250-2)×(1250+2)$
=$1250^2 -1250^2 +2^2$
=4.
(2)$199^2 -398×203 +203^2$
=$199^2 -2×199×203 +203^2$
=$(199-203)^2$
=16.
=$1250^2 -(1250-2)×(1250+2)$
=$1250^2 -1250^2 +2^2$
=4.
(2)$199^2 -398×203 +203^2$
=$199^2 -2×199×203 +203^2$
=$(199-203)^2$
=16.
解析
【分析】
(1) 观察式子可发现1248=1250-2，1252=1250+2，刚好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，将乘积项转化为平方差形式计算，可避免大数硬算，简化运算过程。
(2) 式子中间项398可拆为$2×199$，变形后原式刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&1250^2 - 1248 × 1252\\=&1250^2 -(1250-2)×(1250+2)\\=&1250^2 -(1250^2 - 2^2)\\=&1250^2 -1250^2 +4\\=&4\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}&199^2 - 398 × 203 + 203^2\\=&199^2 - 2×199×203 + 203^2\\=&(199-203)^2\\=&(-4)^2\\=&16\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是整式简便计算的常规考法，核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，通过对原式的合理变形凑出公式标准形式，即可大幅降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 观察式子可发现1248=1250-2，1252=1250+2，刚好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，将乘积项转化为平方差形式计算，可避免大数硬算，简化运算过程。
(2) 式子中间项398可拆为$2×199$，变形后原式刚好符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式即可快速算出结果。
【解析】
(1) $\begin{aligned}&1250^2 - 1248 × 1252\\=&1250^2 -(1250-2)×(1250+2)\\=&1250^2 -(1250^2 - 2^2)\\=&1250^2 -1250^2 +4\\=&4\end{aligned}$
(2) $\begin{aligned}&199^2 - 398 × 203 + 203^2\\=&199^2 - 2×199×203 + 203^2\\=&(199-203)^2\\=&(-4)^2\\=&16\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{16}$
【知识点】
平方差公式，完全平方公式，整式简便运算
【点评】
本题是整式简便计算的常规考法，核心是熟练掌握乘法公式的结构特征，通过对原式的合理变形凑出公式标准形式，即可大幅降低计算量，减少运算错误。
【难度系数】
0.7
15.(本小题满分10分)芳芳在计算一道整式乘法的题$(2x+m)(5x-4)$时,由于抄错了第一个多项式中$m$前面的符号,把“+”写成了“-”,得到的结果为$10x^2 -33x +20$.
(1)求$m$的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
(1)求$m$的值；
(2)计算这道整式乘法的正确结果.
答案
15. 解 (1)根据题意,得$(2x-m)·(5x-4)=10x^2 -8x -5mx +4m$
=$10x^2 -(8+5m)x +4m$
=$10x^2 -33x +20$,
∴$4m=20$,
∴$m=5$.
(2)由(1)知$m=5$,则
原式=$(2x+5)(5x-4)$
=$10x^2 -8x +25x -20$
=$10x^2 +17x -20$.
=$10x^2 -(8+5m)x +4m$
=$10x^2 -33x +20$,
∴$4m=20$,
∴$m=5$.
(2)由(1)知$m=5$,则
原式=$(2x+5)(5x-4)$
=$10x^2 -8x +25x -20$
=$10x^2 +17x -20$.
解析
【分析】
解题思路可分为两步：1. 求m的值：抓住“抄错m前面的符号”这一条件，先写出抄错后的乘法算式，按照多项式乘多项式法则展开，再和给出的错误结果对比，利用两个多项式相等时对应项系数相等的特点列方程，即可求出m的值；2. 计算正确结果：把求出的m代入原式，再次按照多项式乘多项式法则展开，就能得到正确的运算结果。
【解析】
(1) 根据题意，芳芳抄错符号后计算的算式为：
$\begin{aligned}(2x-m)(5x-4)&=10x^2 -8x -5mx +4m\\&=10x^2 -(8+5m)x +4m\end{aligned}$
已知错误运算结果为$10x^2 -33x +20$，两个相等多项式的对应项系数相同，因此可得：
$4m=20$
解得$m=5$。
(2) 把$m=5$代入原整式乘法算式，得：
$\begin{aligned}(2x+5)(5x-4)&=10x^2 -8x +25x -20\\&=10x^2 +17x -20\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=5$；(2) $10x^2 +17x -20$
【知识点】
多项式乘多项式，对应系数相等，整式运算
【点评】
本题是整式乘法的典型应用题型，核心是借助错误的运算过程反推未知参数，解题关键是理解多项式相等时对应项系数相等的规律，再代入正确算式计算即可，对整式运算的基础能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为两步：1. 求m的值：抓住“抄错m前面的符号”这一条件，先写出抄错后的乘法算式，按照多项式乘多项式法则展开，再和给出的错误结果对比，利用两个多项式相等时对应项系数相等的特点列方程，即可求出m的值；2. 计算正确结果：把求出的m代入原式，再次按照多项式乘多项式法则展开，就能得到正确的运算结果。
【解析】
(1) 根据题意，芳芳抄错符号后计算的算式为：
$\begin{aligned}(2x-m)(5x-4)&=10x^2 -8x -5mx +4m\\&=10x^2 -(8+5m)x +4m\end{aligned}$
已知错误运算结果为$10x^2 -33x +20$，两个相等多项式的对应项系数相同，因此可得：
$4m=20$
解得$m=5$。
(2) 把$m=5$代入原整式乘法算式，得：
$\begin{aligned}(2x+5)(5x-4)&=10x^2 -8x +25x -20\\&=10x^2 +17x -20\end{aligned}$
【答案】
(1) $m=5$；(2) $10x^2 +17x -20$
【知识点】
多项式乘多项式，对应系数相等，整式运算
【点评】
本题是整式乘法的典型应用题型，核心是借助错误的运算过程反推未知参数，解题关键是理解多项式相等时对应项系数相等的规律，再代入正确算式计算即可，对整式运算的基础能力有一定考查作用。
【难度系数】
0.7
