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16.(本小题满分10分)如图,某小区有一块长$(2a+4b)\mathrm{m}$,宽$(2a-b)\mathrm{m}$的长方形地块,角上有四个边长为$(a-b)\mathrm{m}$的小正方形空地,开发商计划将阴影部分进行绿化.
(1)用含有$a,b$的式子表示绿化面积(结果写成最简形式);
(2)物业找来某绿化团队完成此项绿化任务,已知该团队每小时可绿化$8b\ \mathrm{m}^2$,每小时收费200元,则该物业应该支付多少绿化费用?(用含$a,b$的代数式表示)
(1)用含有$a,b$的式子表示绿化面积(结果写成最简形式);
(2)物业找来某绿化团队完成此项绿化任务,已知该团队每小时可绿化$8b\ \mathrm{m}^2$,每小时收费200元,则该物业应该支付多少绿化费用?(用含$a,b$的代数式表示)
答案
16. 解 (1)根据题意,得
$(2a-b)(2a+4b)-4(a-b)^2$
=$4a^2 +8ab -2ab -4b^2 -4(a^2 -2ab +b^2)$
=$4a^2 +6ab -4b^2 -4a^2 +8ab -4b^2$
=$(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2$.
故绿化面积是$(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2$.
(2)根据题意,得
$(14ab -8b^2)÷(8b)×200$
=$(\frac{7}{4}a -b)×200$
=$(350a -200b)$元.
答:该物业应该支付$(350a -200b)$元绿化费用.
$(2a-b)(2a+4b)-4(a-b)^2$
=$4a^2 +8ab -2ab -4b^2 -4(a^2 -2ab +b^2)$
=$4a^2 +6ab -4b^2 -4a^2 +8ab -4b^2$
=$(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2$.
故绿化面积是$(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2$.
(2)根据题意,得
$(14ab -8b^2)÷(8b)×200$
=$(\frac{7}{4}a -b)×200$
=$(350a -200b)$元.
答:该物业应该支付$(350a -200b)$元绿化费用.
解析
【分析】
(1) 要求绿化面积，观察图形可知绿化面积等于长方形地块的总面积减去4个小正方形空地的面积。我们先根据长方形面积公式（长×宽）、正方形面积公式（边长²）分别写出两部分的面积，再按照整式运算法则展开、合并同类项，化简得到最简结果即可。
(2) 要求总绿化费用，首先需要求出绿化所需的时间：绿化时间=绿化总面积÷每小时绿化面积，再用绿化时间乘以每小时的收费标准，最后化简代数式就能得到总费用。
【解析】
(1) 由题意可得，绿化面积 = 大长方形面积 - 4个小正方形的面积：
$\begin{aligned}&(2a+4b)(2a-b) - 4(a-b)^2\\=&4a^2 -2ab +8ab -4b^2 -4(a^2 -2ab +b^2)\\=&4a^2 +6ab -4b^2 -4a^2 +8ab -4b^2\\=&14ab -8b^2\end{aligned}$
即绿化面积为$(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 先计算绿化需要的时间，再计算总费用：
$\begin{aligned}&(14ab -8b^2) ÷ 8b × 200\\=&(\frac{7}{4}a - b) × 200\\=&350a - 200b\end{aligned}$
即物业应支付的绿化费用为$(350a - 200b)$元。
【答案】
(1) $\boxed{(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{(350a - 200b)}$元
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整式的混合运算
【点评】
本题结合实际场景考查整式运算的应用，解题核心是找准数量关系正确列出代数式，运算过程中要注意完全平方公式展开、去括号时的符号问题，熟练掌握整式运算法则是得分的关键。
【难度系数】
0.75
(1) 要求绿化面积，观察图形可知绿化面积等于长方形地块的总面积减去4个小正方形空地的面积。我们先根据长方形面积公式（长×宽）、正方形面积公式（边长²）分别写出两部分的面积，再按照整式运算法则展开、合并同类项，化简得到最简结果即可。
(2) 要求总绿化费用，首先需要求出绿化所需的时间：绿化时间=绿化总面积÷每小时绿化面积，再用绿化时间乘以每小时的收费标准，最后化简代数式就能得到总费用。
【解析】
(1) 由题意可得，绿化面积 = 大长方形面积 - 4个小正方形的面积：
$\begin{aligned}&(2a+4b)(2a-b) - 4(a-b)^2\\=&4a^2 -2ab +8ab -4b^2 -4(a^2 -2ab +b^2)\\=&4a^2 +6ab -4b^2 -4a^2 +8ab -4b^2\\=&14ab -8b^2\end{aligned}$
即绿化面积为$(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2$。
(2) 先计算绿化需要的时间，再计算总费用：
$\begin{aligned}&(14ab -8b^2) ÷ 8b × 200\\=&(\frac{7}{4}a - b) × 200\\=&350a - 200b\end{aligned}$
即物业应支付的绿化费用为$(350a - 200b)$元。
【答案】
(1) $\boxed{(14ab -8b^2)\mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{(350a - 200b)}$元
【知识点】
多项式乘多项式，完全平方公式，整式的混合运算
【点评】
本题结合实际场景考查整式运算的应用，解题核心是找准数量关系正确列出代数式，运算过程中要注意完全平方公式展开、去括号时的符号问题，熟练掌握整式运算法则是得分的关键。
【难度系数】
0.75
17.(本小题满分12分)完全平方公式经过适当的变形,可以解决很多数学问题.例如:
若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值.
解:$\because a+b=3,ab=1,\therefore (a+b)^2=9$,即$a^2+b^2+2ab=9,\therefore a^2+b^2=7$.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题:
(1)$a+b=5,ab=1$,则$a^2+b^2$的值为
(2)如图,C是线段AB上的一点,分别以AC,BC为边向两边作正方形,设$AB=6$,两正方形的面积和为20,求$△ AFC$的面积;
(3)若$(10-x)(x-6)=1$,求$(10-x)^2+(x-6)^2$的值.
若$a+b=3,ab=1$,求$a^2+b^2$的值.
解:$\because a+b=3,ab=1,\therefore (a+b)^2=9$,即$a^2+b^2+2ab=9,\therefore a^2+b^2=7$.
根据上面的解题思路与方法解决下列问题:
(1)$a+b=5,ab=1$,则$a^2+b^2$的值为
23
;(2)如图,C是线段AB上的一点,分别以AC,BC为边向两边作正方形,设$AB=6$,两正方形的面积和为20,求$△ AFC$的面积;
(3)若$(10-x)(x-6)=1$,求$(10-x)^2+(x-6)^2$的值.
答案
17. 解 (1) 23
(2)设大正方形的边长为$a$,小正方形的边长为$b$,根据题意可知$a+b=6$,$a^2 +b^2=20$,
∴$(a+b)^2=36$,即$a^2 +b^2 +2ab=36$,
∴$2ab=36-20=16$,
∴$ab=8$,
∴$S_{△ AFC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8=4$.
(3)$\because (10-x)(x-6)=1$,
∴$(10-x)^2 +(x-6)^2 =[(10-x)+(x-6)]^2 -2(10-x)(x-6)=4^2 -2×1=14$.
(2)设大正方形的边长为$a$,小正方形的边长为$b$,根据题意可知$a+b=6$,$a^2 +b^2=20$,
∴$(a+b)^2=36$,即$a^2 +b^2 +2ab=36$,
∴$2ab=36-20=16$,
∴$ab=8$,
∴$S_{△ AFC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8=4$.
(3)$\because (10-x)(x-6)=1$,
∴$(10-x)^2 +(x-6)^2 =[(10-x)+(x-6)]^2 -2(10-x)(x-6)=4^2 -2×1=14$.
解析
【分析】
(1) 已知$a+b$和$ab$的值，求$a^2+b^2$，可直接利用完全平方和公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算即可。
(2) 设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，由$AB=6$得$a+b=6$，两正方形面积和为20即$a^2+b^2=20$，仍用完全平方公式变形求出$ab$的值；观察图形可知$△ AFC$是直角三角形，两条直角边分别为$a$和$b$，结合三角形面积公式代入$ab$的值即可求解。
(3) 运用整体思想，把$(10-x)$和$(x-6)$看作两个整体，先计算两个整体的和为4，已知两个整体的乘积为1，再套用完全平方公式的变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$代入计算即可。
【解析】
(1) $\because a+b=5,ab=1$，
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×1=25-2=23$。
(2) 设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据题意得：
$a+b=AB=6$，$a^2+b^2=20$，
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
$\therefore 6^2=20+2ab$，解得$2ab=16$，即$ab=8$，
由图可知$△ AFC$为直角三角形，直角边长分别为$a$和$b$，
$\therefore S_{△ AFC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8=4$。
(3) 设$m=10-x,n=x-6$，
则$m+n=(10-x)+(x-6)=4$，$mn=(10-x)(x-6)=1$，
$\therefore m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=4^2-2×1=16-2=14$，
即$(10-x)^2+(x-6)^2=14$。
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{4}$；(3) $\boxed{14}$
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入法，三角形面积计算
【点评】
本题围绕完全平方公式的灵活应用设计，既考查代数式运算能力，也结合几何图形考查数形结合思想，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，遇到多变量问题时灵活用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.7
(1) 已知$a+b$和$ab$的值，求$a^2+b^2$，可直接利用完全平方和公式的变形：$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入数值计算即可。
(2) 设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，由$AB=6$得$a+b=6$，两正方形面积和为20即$a^2+b^2=20$，仍用完全平方公式变形求出$ab$的值；观察图形可知$△ AFC$是直角三角形，两条直角边分别为$a$和$b$，结合三角形面积公式代入$ab$的值即可求解。
(3) 运用整体思想，把$(10-x)$和$(x-6)$看作两个整体，先计算两个整体的和为4，已知两个整体的乘积为1，再套用完全平方公式的变形$m^2+n^2=(m+n)^2-2mn$代入计算即可。
【解析】
(1) $\because a+b=5,ab=1$，
$\therefore a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=5^2-2×1=25-2=23$。
(2) 设大正方形边长为$a$，小正方形边长为$b$，根据题意得：
$a+b=AB=6$，$a^2+b^2=20$，
$\because (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，
$\therefore 6^2=20+2ab$，解得$2ab=16$，即$ab=8$，
由图可知$△ AFC$为直角三角形，直角边长分别为$a$和$b$，
$\therefore S_{△ AFC}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}×8=4$。
(3) 设$m=10-x,n=x-6$，
则$m+n=(10-x)+(x-6)=4$，$mn=(10-x)(x-6)=1$，
$\therefore m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=4^2-2×1=16-2=14$，
即$(10-x)^2+(x-6)^2=14$。
【答案】
(1) $\boxed{23}$；(2) $\boxed{4}$；(3) $\boxed{14}$
【知识点】
完全平方公式变形，整体代入法，三角形面积计算
【点评】
本题围绕完全平方公式的灵活应用设计，既考查代数式运算能力，也结合几何图形考查数形结合思想，解题核心是熟练掌握完全平方公式的常见变形，遇到多变量问题时灵活用整体思想简化运算。
【难度系数】
0.7
18.(本小题满分12分)【探究应用】
(1)计算:①$(a-2)(a^2+2a+4)$;②$(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,请你写出这个新的乘法公式:
(3)下列各式能用你写出的新的乘法公式计算的是(
A.$(a-3)(a^2-3a+9)$ B.$(2m-n)(2m^2+2mn+n^2)$
C.$(4-x)(16+4x+x^2)$ D.$(m-n)(m^2+2mn+n^2)$
(4)直接用你写出的新的乘法公式计算:
$(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)=$
$(2m-3)(4m^2+$
(1)计算:①$(a-2)(a^2+2a+4)$;②$(2x-y)(4x^2+2xy+y^2)$.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,请你写出这个新的乘法公式:
$(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$
(用含$a,b$的字母表示).(3)下列各式能用你写出的新的乘法公式计算的是(
C
).A.$(a-3)(a^2-3a+9)$ B.$(2m-n)(2m^2+2mn+n^2)$
C.$(4-x)(16+4x+x^2)$ D.$(m-n)(m^2+2mn+n^2)$
(4)直接用你写出的新的乘法公式计算:
$(3x-2y)(9x^2+6xy+4y^2)=$
$27x^3-8y^3$
;$(2m-3)(4m^2+$
$6m$
$+9)=8m^3-27$.答案
18. 解 (1)① 原式=$a^3 +2a^2 +4a -2a^2 -4a -8 =a^3 -8$.
② 原式=$8x^3 +4x^2y +2xy^2 -4x^2y -2xy^2 -y^3 =8x^3 -y^3$.
(2)$(a-b)(a^2 +ab +b^2)=a^3 -b^3$
(3)C
(4)$27x^3 -8y^3$ $6m$
② 原式=$8x^3 +4x^2y +2xy^2 -4x^2y -2xy^2 -y^3 =8x^3 -y^3$.
(2)$(a-b)(a^2 +ab +b^2)=a^3 -b^3$
(3)C
(4)$27x^3 -8y^3$ $6m$
解析
【分析】
本题从多项式乘法运算切入，逐步引导推导立方差公式并应用公式解题。解题思路如下：①第(1)问按照多项式乘多项式的运算法则，逐项相乘后合并同类项即可得到结果；②第(2)问观察前两问的运算结构，归纳出通用的乘法公式；③第(3)问对照总结的公式结构，逐一判断各选项是否符合公式特征；④第(4)问直接套用立方差公式进行计算，缺项时对照公式的对应项补全即可。
【解析】
(1)① 根据多项式乘多项式法则展开：
原式$=a· a^2 + a· 2a + a· 4 - 2· a^2 -2· 2a -2·4$
$=a^3 +2a^2 +4a -2a^2 -4a -8$
合并同类项后得：$a^3 -8$
② 同理展开计算：
原式$=2x·4x^2 + 2x·2xy +2x· y^2 - y·4x^2 - y·2xy - y· y^2$
$=8x^3 +4x^2y +2xy^2 -4x^2y -2xy^2 -y^3$
合并同类项后得：$8x^3 - y^3$
(2)观察(1)中两个算式的结构：左边是两数差乘以这两个数的平方和与两数乘积的和，右边是两数的立方差，因此公式为：$(a-b)(a^2 +ab +b^2)=a^3 -b^3$
(3)逐一分析选项：
A选项：$(a-3)$对应的第二个多项式应为$a^2 +3a +9$，选项中是$a^2-3a+9$，不符合公式结构，错误；
B选项：$(2m-n)$对应的第二个多项式应为$(2m)^2 +2m· n +n^2=4m^2+2mn+n^2$，选项中是$2m^2+2mn+n^2$，不符合，错误；
C选项：$(4-x)$对应的第二个多项式为$4^2 +4x +x^2=16+4x+x^2$，符合公式结构，正确；
D选项：$(m-n)$对应的第二个多项式应为$m^2 +mn +n^2$，选项中是$m^2+2mn+n^2$，不符合，错误；
故选C。
(4)第一个式子套用公式，$a=3x$，$b=2y$，则结果为$(3x)^3 - (2y)^3=27x^3 -8y^3$；
第二个式子右边是$8m^3-27=(2m)^3 -3^3$，对应公式中$ab$项为$2m×3=6m$，故横线处填$6m$。
【答案】
(1)①$a^3-8$；②$8x^3-y^3$
(2)$(a-b)(a^2 +ab +b^2)=a^3 -b^3$
(3)C
(4)$27x^3-8y^3$；$6m$
【知识点】
多项式乘多项式运算，立方差公式，整式化简应用
【点评】
本题侧重考查学生的归纳推理能力和公式的灵活应用能力，解题的关键是准确把握立方差公式的结构特征，避免因混淆公式中各项的符号、次数而出错。
【难度系数】
0.8
本题从多项式乘法运算切入，逐步引导推导立方差公式并应用公式解题。解题思路如下：①第(1)问按照多项式乘多项式的运算法则，逐项相乘后合并同类项即可得到结果；②第(2)问观察前两问的运算结构，归纳出通用的乘法公式；③第(3)问对照总结的公式结构，逐一判断各选项是否符合公式特征；④第(4)问直接套用立方差公式进行计算，缺项时对照公式的对应项补全即可。
【解析】
(1)① 根据多项式乘多项式法则展开：
原式$=a· a^2 + a· 2a + a· 4 - 2· a^2 -2· 2a -2·4$
$=a^3 +2a^2 +4a -2a^2 -4a -8$
合并同类项后得：$a^3 -8$
② 同理展开计算：
原式$=2x·4x^2 + 2x·2xy +2x· y^2 - y·4x^2 - y·2xy - y· y^2$
$=8x^3 +4x^2y +2xy^2 -4x^2y -2xy^2 -y^3$
合并同类项后得：$8x^3 - y^3$
(2)观察(1)中两个算式的结构：左边是两数差乘以这两个数的平方和与两数乘积的和，右边是两数的立方差，因此公式为：$(a-b)(a^2 +ab +b^2)=a^3 -b^3$
(3)逐一分析选项：
A选项：$(a-3)$对应的第二个多项式应为$a^2 +3a +9$，选项中是$a^2-3a+9$，不符合公式结构，错误；
B选项：$(2m-n)$对应的第二个多项式应为$(2m)^2 +2m· n +n^2=4m^2+2mn+n^2$，选项中是$2m^2+2mn+n^2$，不符合，错误；
C选项：$(4-x)$对应的第二个多项式为$4^2 +4x +x^2=16+4x+x^2$，符合公式结构，正确；
D选项：$(m-n)$对应的第二个多项式应为$m^2 +mn +n^2$，选项中是$m^2+2mn+n^2$，不符合，错误；
故选C。
(4)第一个式子套用公式，$a=3x$，$b=2y$，则结果为$(3x)^3 - (2y)^3=27x^3 -8y^3$；
第二个式子右边是$8m^3-27=(2m)^3 -3^3$，对应公式中$ab$项为$2m×3=6m$，故横线处填$6m$。
【答案】
(1)①$a^3-8$；②$8x^3-y^3$
(2)$(a-b)(a^2 +ab +b^2)=a^3 -b^3$
(3)C
(4)$27x^3-8y^3$；$6m$
【知识点】
多项式乘多项式运算，立方差公式，整式化简应用
【点评】
本题侧重考查学生的归纳推理能力和公式的灵活应用能力，解题的关键是准确把握立方差公式的结构特征，避免因混淆公式中各项的符号、次数而出错。
【难度系数】
0.8
