1. $a^2 · a^7$ 的计算结果是().

A.$a^2$
B.$3a^2$
C.$a^9$
D.$a^8$

1. C

【分析】
本题考查同底数幂的乘法运算，解题思路如下：首先观察运算式的两个项，发现底数都是a，属于同底数幂相乘的运算，直接套用同底数幂的乘法法则即可：同底数幂相乘，底数保持不变，指数相加，将两个指数相加后就能得到最终结果，再对应选项选出答案即可。
【解析】
根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
可得：$a^2 · a^7 = a^{2+7} = a^9$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
同底数幂的乘法运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考查对同底数幂乘法法则的记忆与直接应用，解题时要注意区分同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项的不同运算规则，避免混淆指数的运算方式。
【难度系数】
0.9

2.(2025·内蒙古呼和浩特模拟)下列计算正确的是().

A.$ab^2 ÷ ab = b$
B.$(a - b)^2 = a^2 - b^2$
C.$2m^4 + 3m^4 = 5m^8$
D.$(-2a)^3 = -6a^3$

2. A

【分析】
本题考查整式的相关运算，解题时需逐一分析每个选项，结合对应的运算法则验证计算结果是否正确，排除错误选项即可得到正确答案。具体思考路径：先回忆单项式除法、完全平方公式、合并同类项、积的乘方的运算规则，再分别对四个选项进行计算判断。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据单项式除以单项式的法则，系数、同底数幂分别相除，可得$ab^2 ÷ ab = (a÷a)×(b^2÷b) = 1×b = b$，计算正确。
B选项：根据完全平方公式，$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，不等于$a^2 - b^2$（$a^2 - b^2$是平方差公式$(a+b)(a-b)$的结果），计算错误。
C选项：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变，可得$2m^4 + 3m^4 = (2+3)m^4 = 5m^4$，不是$5m^8$，计算错误。
D选项：根据积的乘方法则，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得$(-2a)^3 = (-2)^3·a^3 = -8a^3$，不是$-6a^3$，计算错误。
综上，只有A选项计算正确。
【答案】
A
【知识点】
整式乘除运算，完全平方公式，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，主要考查学生对整式各类运算法则和公式的掌握熟练度，容易出错的点是混淆完全平方公式与平方差公式、合并同类项时改变字母指数、积的乘方时系数计算错误，学习时需重点区分易混淆的运算规则，强化基础运算的准确性。
【难度系数】
0.8

3. 下列乘法中,不能运用平方差公式进行运算的是().

A.$(x+a)(x-a)$
B.$(a+b)(-a-b)$
C.$(-x-b)(x-b)$
D.$(b+m)(m-b)$

3. B

【分析】
要解决这道题，首先要明确平方差公式的结构特征：平方差公式是$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，即两个二项式相乘时，若其中有一项完全相同，另一项互为相反数，就可以运用平方差公式运算。解题时只需逐个分析选项是否符合该特征，找出不符合的选项即可。
【解析】
平方差公式的形式为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2-b^2}$，其核心特征是：相乘的两个二项式中，存在一组完全相同的项，另一组互为相反数。
逐一分析选项：
选项A：$(x+a)(x-a)$中，相同项为$x$，相反项为$a$和$-a$，符合平方差公式特征，可运用公式运算；
选项B：$(a+b)(-a-b)=-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2$，两个因式的两项都分别相同，不存在互为相反数的项，不符合平方差公式特征，不能运用公式运算；
选项C：$(-x-b)(x-b)=(-b -x)(-b +x)$，相同项为$-b$，相反项为$-x$和$x$，符合平方差公式特征，可运用公式运算；
选项D：$(b+m)(m-b)=(m+b)(m-b)$，相同项为$m$，相反项为$b$和$-b$，符合平方差公式特征，可运用公式运算。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式
2. 整式乘法运算
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对平方差公式结构特征的掌握，解题的关键是准确识别出两个二项式中相同的项和互为相反数的项，熟练掌握公式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.8

4. 若$2^m = a$，$8^n = b$，则$(2^{m+n})^3 = (\quad)$。

A.$a^3b^3$
B.$a^3b$
C.$a^3 + b$
D.$a^3b^9$

B

【分析】
解题时首先观察已知条件和待求式的底数特征，发现8是2的3次方，因此先将已知的$8^n$转化为以2为底的幂，方便后续同底数幂运算；再对待求式运用幂的运算法则展开拆分，转化为含有$2^m$和$2^{3n}$的形式，最后代入已知的$a$、$b$即可得到结果。
【解析】
解：$\because 8=2^3$，$\therefore 8^n=(2^3)^n=2^{3n}=b$，
根据幂的乘方法则，对待求式展开：
$(2^{m+n})^3=2^{3(m+n)}=2^{3m+3n}$，
再根据同底数幂的乘法法则逆用，得：
$2^{3m+3n}=2^{3m}·2^{3n}=(2^m)^3·2^{3n}$，
将$2^m=a$，$2^{3n}=b$代入上式，得：
原式$=a^3·b=a^3b$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的乘法、代数式代入求值
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再结合已知条件代入计算，熟练掌握幂的各类运算法则是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8

5. 有一道残缺不全的题目，如图所示，这道题目的被除式为().

A.$x^2+3x-6$
B.$x^3+3x^2-6$
C.$x+3-\frac{x}{6}$
D.$x^3+3x^2-6x$

5. D

【分析】
要计算被除式，首先回忆整式除法中各部分的等量关系：被除式 = 除式 × 商。本题中已知除式为$x$，商为$x^2+3x-6$，只需将除式和商代入公式，按照单项式乘多项式的运算法则计算，即可求出被除式。
【解析】
根据整式除法各部分的关系可知：
$\mathrm{被除式} = \mathrm{除式} × \mathrm{商}$
已知除式是$x$，商是$x^2+3x-6$，代入得：
$\begin{aligned}\mathrm{被除式}&=x·(x^2+3x-6)\\&=x· x^2 + x· 3x + x· (-6)\\&=x^3+3x^2-6x\end{aligned}$
因此被除式为$x^3+3x^2-6x$。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；整式除法的互逆运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是利用除法的互逆关系转化为乘法运算求解，运算时要注意单项式乘多项式需乘遍多项式的每一项，不要漏乘常数项，同时注意符号的正确性。
【难度系数】
0.8

6. $m,n$为正整数,若$(-a^m)^n=-a^{mn}$成立,则().

A.$m,n$必同为奇数
B.$m,n$必同为偶数
C.$m$必为奇数
D.$n$必为奇数

6. D

【分析】
解题时先运用积的乘方、幂的乘方运算法则化简等式左边的表达式，再对比等式两边的形式，结合负数乘方的符号规律推导参数需要满足的条件即可。首先回忆相关法则：积的乘方需把每个因式分别乘方再相乘；幂的乘方底数不变、指数相乘；-1的奇次幂为负，偶次幂为正，通过化简对比即可找到等式成立的条件。
【解析】
先化简等式左边的$(-a^m)^n$：
1. 根据积的乘方运算法则可得：$(-a^m)^n=(-1)^n·(a^m)^n$
2. 根据幂的乘方运算法则可得：$(a^m)^n=a^{mn}$，因此左边可整理为$(-1)^n· a^{mn}$
已知$(-a^m)^n=-a^{mn}$，即$(-1)^n· a^{mn}=-a^{mn}$，两边幂的部分完全相同，因此只需满足系数相等，即$(-1)^n=-1$。
根据负数乘方的符号规律，只有当$n$为奇数时，$(-1)^n=-1$，$m$的奇偶性不影响等式成立。
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，有理数乘方的符号规律
【点评】
本题是幂的运算性质的基础应用，解题核心是正确化简带负号的幂的表达式，抓住符号相等的条件进行判断，注意不要混淆负号的运算层级。
【难度系数】
0.7

7.一个木制的长方体箱子的长、宽、高分别为$(2x+5),x,2x$，则这个木制的长方体箱子的体积为().

A.$4x^3+10x^2$
B.$4x^3+10x$
C.$4x^2+10x$
D.$4x^2+10x^3$

7. A

【分析】
解题首先回忆长方体体积计算公式：长方体体积=长×宽×高。题目已经给出长方体长宽高的代数表达式，只需将三个表达式代入公式，再按照整式乘法的运算法则逐步计算化简，最后匹配选项即可。第一步先计算单项式之间的乘法，第二步再用单项式乘多项式的法则展开，计算时注意同底数幂相乘指数相加的规则，避免计算错误。
【解析】
根据长方体体积公式可得：
$\begin{aligned}V&=(2x+5) × x × 2x \\&=(2x+5) × (x·2x) \\&=(2x+5) × 2x^2 \\&=2x^2·2x + 2x^2·5 \\&=4x^3 + 10x^2\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 长方体体积计算
2. 整式的乘法运算
【点评】
本题是代数运算与几何公式结合的基础题型，核心考查对长方体体积公式的掌握和整式乘法运算的熟练度，运算时注意不要搞错同底数幂的指数变化，也不要漏乘多项式的每一项。
【难度系数】
0.85

8.设$M=(x-3)(x-4)$，$N=(x-2)(x-5)$，则$M$与$N$的关系为().

A.$M＞N$
B.$M＜N$
C.$M=N$
D.无法确定

8. A

【分析】
要比较两个代数式M和N的大小，可采用作差法：若M-N＞0，则M＞N；若M-N＜0，则M＜N；若M-N=0，则M=N。本题中M、N均为两个一次多项式的乘积，因此先分别展开M、N，再计算M-N的结果，根据结果的正负即可判断二者的大小关系。
【解析】
首先分别展开M和N：
$M=(x-3)(x-4)=x^2-4x-3x+12=x^2-7x+12$
$N=(x-2)(x-5)=x^2-5x-2x+10=x^2-7x+10$
计算$M-N$：
$M-N=(x^2-7x+12)-(x^2-7x+10)$
$=x^2-7x+12 - x^2 +7x -10$
$=2$
因为$2＞0$，即$M-N＞0$，所以$M＞N$。
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式，作差法比较大小
【点评】
本题属于基础题，核心考查代数式大小的比较方法，解题关键是熟练掌握多项式乘法的运算规则，作差计算时注意去括号的符号变化，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.8

二、填空题(共4小题,每小题3分,共12分)
9. 计算$(a^3)^2÷(a^2)^3$的结果等于。

9. 1

【分析】
本题考查幂的相关运算，解题思路如下：首先观察算式结构，是两个幂的乘方相除，第一步先利用幂的乘方法则分别化简被除式和除式；第二步将化简后的同底数幂按照同底数幂的除法法则计算；第三步结合零指数幂的性质得到最终结果，注意隐含条件a≠0保证原式有意义。
【解析】
解：根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，可得：
$(a^3)^2 = a^{3×2}=a^6$
$(a^2)^3 = a^{2×3}=a^6$
再根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减，可得：
原式$=a^6÷ a^6 = a^{6-6}=a^0$
根据零指数幂的性质：任何不等于0的数的0次幂都等于1，且原式有意义时$a≠0$，因此$a^0=1$。
【答案】
1
【知识点】
幂的乘方运算、同底数幂的除法、零指数幂的性质
【点评】
本题属于幂运算的基础题型，主要考查对幂运算相关法则的记忆与应用能力，计算量小，只要熟练掌握各运算法则，细心计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.9

10.若多项式$x^2 - 2(k - 1)x + 9$是一个完全平方式，则常数$k$的值为.

10. 4或-2

【分析】
要解决本题，首先回忆完全平方式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，即两个数的平方和加上或减去这两个数乘积的2倍。观察给定的多项式$x^2 - 2(k - 1)x + 9$，可知$x^2$对应$a^2$（即$a=x$），$9=3^2$对应$b^2$（即$b=3$），因此中间项$-2(k-1)x$应该等于$\pm2ab=\pm6x$，据此列方程求解即可，注意完全平方式有两种形式，不要漏解。
【解析】
因为多项式$x^2 - 2(k - 1)x + 9$是完全平方式，完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$。
本题中，$a=x$，$b=3$，因此中间项满足：
$-2(k-1)x=\pm2· x·3$
两边同时约去$x$，可得系数等式：
$-2(k-1)=\pm6$
分两种情况求解：
① 当$-2(k-1)=6$时，
两边同时除以$-2$得：$k-1=-3$，解得$k=-2$；
② 当$-2(k-1)=-6$时，
两边同时除以$-2$得：$k-1=3$，解得$k=4$。
综上，$k$的值为4或-2。
【答案】
4或-2
【知识点】
完全平方式的特征；一元一次方程的解法
【点评】
本题考查对完全平方式结构的理解，解题的关键是明确完全平方式包含“和的平方”和“差的平方”两种情况，忽略负号情况是本题最常见的失分点，做题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.65

11.若一个多项式$M$与单项式$2x^2$的积是$10x^4 -8x^5$，则这个多项式$M$是________.

$5x^2 -4x^3$

【分析】
题目已知多项式M与单项式$2x^2$的乘积为$10x^4 -8x^5$，要求多项式M，根据“一个因数=积÷另一个因数”的运算关系，我们可以通过乘积除以已知单项式$2x^2$得到M。计算时遵循多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可。
【解析】
根据题意列算式：
$M=(10x^4 -8x^5)÷2x^2$
按照多项式除以单项式法则拆分计算：
1. 计算$10x^4÷2x^2$：系数相除得$10÷2=5$，同底数幂相除得$x^4÷ x^2=x^{4-2}=x^2$，该项结果为$5x^2$；
2. 计算$-8x^5÷2x^2$：系数相除得$-8÷2=-4$，同底数幂相除得$x^5÷ x^2=x^{5-2}=x^3$，该项结果为$-4x^3$；
将两项商相加，得$M=5x^2 -4x^3$。
【答案】
$5x^2 -4x^3$
【知识点】
1. 多项式除以单项式
2. 同底数幂的除法
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查多项式除以单项式的运算规则，计算时要注意运算符号以及同底数幂的指数运算规律，避免出现低级运算错误。
【难度系数】
0.9

12.若$(x^2 + ax + 3)(x + 4)$的展开式中不含$x$的一次项，则常数$a$的值为.

12. $-\frac{3}{4}$

【分析】
要解决本题，首先需要明确“展开式中不含x的一次项”的含义，即展开后x的一次项的系数为0。解题思路如下：第一步，根据多项式乘多项式的法则将原式展开；第二步，合并同类项，找到所有x的一次项并合并；第三步，令x一次项的系数等于0，列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
根据多项式乘多项式法则展开原式：
$\begin{aligned}(x^2 + ax + 3)(x + 4)&=x^2· x + x^2×4 + ax· x + ax×4 + 3× x + 3×4\\&=x^3 + 4x^2 + ax^2 + 4ax + 3x + 12\\&=x^3 + (4+a)x^2 + (4a + 3)x + 12\end{aligned}$
因为展开式中不含x的一次项，所以x的一次项系数为0，可得：
$4a + 3 = 0$
解得：$a=-\frac{3}{4}$
【答案】
$-\frac{3}{4}$
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，一元一次方程解法
【点评】
本题是整式乘法章节的典型常考题，解题核心是理解“不含某项即该项系数为0”的处理规则，要求学生熟练掌握多项式乘法运算规则，计算时注意不要漏乘、错算各项系数。
【难度系数】
0.75