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15. (本小题满分10分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC三个顶点的坐标分别为A(-4,1),B(-2,3),C(1,-2).
(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C',并写出A',B',C'的坐标;
(2)求△A'B'C'的面积.
(1)请画出△ABC关于y轴对称的图形△A'B'C',并写出A',B',C'的坐标;
(2)求△A'B'C'的面积.
答案
15. 解 (1)$△A'B'C'$如图.
由图知,$A'(4,1),B'(2,3),C'(-1,-2)$.
(2)$S_{△A'B'C'}=5×5-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×3×5-\frac{1}{2}×3×5=8$.
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，首先运用关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
(2) △A'B'C'没有边在坐标轴上，也不是直角三角形，适合用割补法求面积：将三角形放在刚好能覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到三角形的面积，且轴对称不改变图形面积，也可直接计算原△ABC的面积。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$，可得：
A(-4,1)关于y轴对称的点$A'$坐标为$(4,1)$；
B(-2,3)关于y轴对称的点$B'$坐标为$(2,3)$；
C(1,-2)关于y轴对称的点$C'$坐标为$(-1,-2)$。
在坐标系中描出以上三个点，顺次连接即可得到△A'B'C'，如图：
(2) 用割补法计算面积：
构造覆盖△A'B'C'的最小矩形，矩形横向长度为$4-(-1)=5$，纵向高度为$3-(-2)=5$，矩形面积为$5×5=25$。
矩形内△A'B'C'外的三个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×3×5=7.5$，$\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
因此$△ A'B'C'$的面积为：
$S_{△ A'B'C'}=25-2-7.5-7.5=8$。
【答案】
(1) $△ A'B'C'$如图，$A'(4,1),B'(2,3),C'(-1,-2)$；
(2) $△ A'B'C'$的面积为$\boxed{8}$。
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；割补法求面积；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查轴对称作图和网格中图形面积的计算，掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，熟练运用割补法计算不规则图形面积是解题的关键。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC关于y轴对称的△A'B'C'，首先运用关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数，先求出三个顶点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
(2) △A'B'C'没有边在坐标轴上，也不是直角三角形，适合用割补法求面积：将三角形放在刚好能覆盖它的最小矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得到三角形的面积，且轴对称不改变图形面积，也可直接计算原△ABC的面积。
【解析】
(1) 根据关于y轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于y轴对称的点坐标为$(-x,y)$，可得：
A(-4,1)关于y轴对称的点$A'$坐标为$(4,1)$；
B(-2,3)关于y轴对称的点$B'$坐标为$(2,3)$；
C(1,-2)关于y轴对称的点$C'$坐标为$(-1,-2)$。
在坐标系中描出以上三个点，顺次连接即可得到△A'B'C'，如图：
(2) 用割补法计算面积：
构造覆盖△A'B'C'的最小矩形，矩形横向长度为$4-(-1)=5$，纵向高度为$3-(-2)=5$，矩形面积为$5×5=25$。
矩形内△A'B'C'外的三个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×2=2$，$\frac{1}{2}×3×5=7.5$，$\frac{1}{2}×3×5=7.5$。
因此$△ A'B'C'$的面积为：
$S_{△ A'B'C'}=25-2-7.5-7.5=8$。
【答案】
(1) $△ A'B'C'$如图
，$A'(4,1),B'(2,3),C'(-1,-2)$；(2) $△ A'B'C'$的面积为$\boxed{8}$。
【知识点】
关于y轴对称的点的坐标特征；割补法求面积；轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题型，考查轴对称作图和网格中图形面积的计算，掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，熟练运用割补法计算不规则图形面积是解题的关键。
【难度系数】
0.7
16.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点D在BC上,且AD=AB,过点C作AB//CE,交AD的延长线于点E,CF⊥AE于点F.请你用等式表示线段AF,AB,AC之间的数量关系,并证明.
答案
16. 解 $2AF=AB+AC$,
证明:$\because AD$平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAD=∠CAD$.
$\because AB// CE$,
$\therefore ∠B=∠BCE,∠BAD=∠E$,
$\therefore ∠CAD=∠E$,
$\therefore CA=CE$.
$\because AB=AD$,
$\therefore ∠B=∠ADB$,
$\therefore ∠BCE=∠ADB$.
$\because ∠ADB=∠CDE$,
$\therefore ∠BCE=∠CDE$,
$\therefore EC=ED$,
$\therefore AC=EC=ED$.
$\because CF⊥AE$,
$\therefore AE=2AF$.
$\because AE=AD+ED$,
$\therefore AE=AB+AC$,
$\therefore 2AF=AB+AC$.
证明:$\because AD$平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAD=∠CAD$.
$\because AB// CE$,
$\therefore ∠B=∠BCE,∠BAD=∠E$,
$\therefore ∠CAD=∠E$,
$\therefore CA=CE$.
$\because AB=AD$,
$\therefore ∠B=∠ADB$,
$\therefore ∠BCE=∠ADB$.
$\because ∠ADB=∠CDE$,
$\therefore ∠BCE=∠CDE$,
$\therefore EC=ED$,
$\therefore AC=EC=ED$.
$\because CF⊥AE$,
$\therefore AE=2AF$.
$\because AE=AD+ED$,
$\therefore AE=AB+AC$,
$\therefore 2AF=AB+AC$.
解析
【分析】
要探究AF、AB、AC的数量关系，我们可以按照以下思路推导：首先利用角平分线和平行线的性质推导等角，通过“等角对等边”转化得到相等的线段；再结合CF⊥AE的条件，利用等腰三角形三线合一的性质得到线段的倍数关系；最后通过线段的和差关系将三条目标线段关联起来。具体步骤如下：第一步由AD平分∠BAC、CE//AB推出∠CAD=∠E，得到AC=CE；第二步通过角度等量代换推出EC=ED，即AC=ED；第三步结合AB=AD，将AE拆分为AD+DE，转化为AB+AC；第四步利用等腰三角形三线合一得到AE=2AF，即可推出三者的数量关系。
【解析】
证明：$\because AD$平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAD=∠CAD$.
$\because AB// CE$,
$\therefore ∠B=∠BCE,∠BAD=∠E$,
$\therefore ∠CAD=∠E$,
$\therefore CA=CE$.
$\because AB=AD$,
$\therefore ∠B=∠ADB$,
$\therefore ∠BCE=∠ADB$.
$\because ∠ADB=∠CDE$,
$\therefore ∠BCE=∠CDE$,
$\therefore EC=ED$,
$\therefore AC=EC=ED$.
$\because CF⊥AE$，$CA=CE$，
$\therefore F$是$AE$的中点，$AE=2AF$.
$\because AE=AD+ED$，且$AD=AB$，$ED=AC$,
$\therefore AE=AB+AC$,
$\therefore 2AF=AB+AC$.
【答案】
$2AF=AB+AC$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何线段数量关系探究题，解题核心是通过角度等量代换得到等腰三角形，实现线段的等量转化，再结合等腰三角形三线合一的性质和线段和差推导结论，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要探究AF、AB、AC的数量关系，我们可以按照以下思路推导：首先利用角平分线和平行线的性质推导等角，通过“等角对等边”转化得到相等的线段；再结合CF⊥AE的条件，利用等腰三角形三线合一的性质得到线段的倍数关系；最后通过线段的和差关系将三条目标线段关联起来。具体步骤如下：第一步由AD平分∠BAC、CE//AB推出∠CAD=∠E，得到AC=CE；第二步通过角度等量代换推出EC=ED，即AC=ED；第三步结合AB=AD，将AE拆分为AD+DE，转化为AB+AC；第四步利用等腰三角形三线合一得到AE=2AF，即可推出三者的数量关系。
【解析】
证明：$\because AD$平分$∠BAC$,
$\therefore ∠BAD=∠CAD$.
$\because AB// CE$,
$\therefore ∠B=∠BCE,∠BAD=∠E$,
$\therefore ∠CAD=∠E$,
$\therefore CA=CE$.
$\because AB=AD$,
$\therefore ∠B=∠ADB$,
$\therefore ∠BCE=∠ADB$.
$\because ∠ADB=∠CDE$,
$\therefore ∠BCE=∠CDE$,
$\therefore EC=ED$,
$\therefore AC=EC=ED$.
$\because CF⊥AE$，$CA=CE$，
$\therefore F$是$AE$的中点，$AE=2AF$.
$\because AE=AD+ED$，且$AD=AB$，$ED=AC$,
$\therefore AE=AB+AC$,
$\therefore 2AF=AB+AC$.
【答案】
$2AF=AB+AC$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定与性质
【点评】
本题是典型的几何线段数量关系探究题，解题核心是通过角度等量代换得到等腰三角形，实现线段的等量转化，再结合等腰三角形三线合一的性质和线段和差推导结论，能有效考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
