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17.(本小题满分12分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,D是BC的中点,连接AD,BE平分$∠ ABC$交AC于点E,过点E作$EF// BC$交AB于点F.
(1)若$∠ C=40°$,求$∠ BAD$的度数.
(2)求证:$△ BEF$是等腰三角形.
(3)若BE平分$△ ABC$的周长,$△ AEF$的周长为15,求$△ ABC$的周长.
(1)若$∠ C=40°$,求$∠ BAD$的度数.
(2)求证:$△ BEF$是等腰三角形.
(3)若BE平分$△ ABC$的周长,$△ AEF$的周长为15,求$△ ABC$的周长.
答案
17. (1)解 $\because AB=AC$,
$\therefore ∠C=∠ABC=40°$.
$\because D$为BC的中点,
$\therefore AD⊥BC$,
即$∠BDA=90°$,
$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50°$.
(2)证明 $\because BE$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABE=∠EBC$.
$\because EF// BC$,
$\therefore ∠EBC=∠BEF$,
$\therefore ∠EBF=∠FEB$,
$\therefore BF=EF$,
$\therefore △BEF$是等腰三角形.
(3)解 $\because △AEF$的周长为15,
$\therefore AE+AF+EF=15$.
$\because$ 由(2)知,$BF=EF$,
$\therefore AE+AF+BF=15$,
即$AE+AB=15$.
$\because BE$平分$△ABC$的周长,
$\therefore AE+AB=BC+CE=15$,
$\therefore △ABC$的周长为$AE+AB+BC+CE=15+15=30$.
$\therefore ∠C=∠ABC=40°$.
$\because D$为BC的中点,
$\therefore AD⊥BC$,
即$∠BDA=90°$,
$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50°$.
(2)证明 $\because BE$平分$∠ABC$,
$\therefore ∠ABE=∠EBC$.
$\because EF// BC$,
$\therefore ∠EBC=∠BEF$,
$\therefore ∠EBF=∠FEB$,
$\therefore BF=EF$,
$\therefore △BEF$是等腰三角形.
(3)解 $\because △AEF$的周长为15,
$\therefore AE+AF+EF=15$.
$\because$ 由(2)知,$BF=EF$,
$\therefore AE+AF+BF=15$,
即$AE+AB=15$.
$\because BE$平分$△ABC$的周长,
$\therefore AE+AB=BC+CE=15$,
$\therefore △ABC$的周长为$AE+AB+BC+CE=15+15=30$.
解析
【分析】
(1) 首先由AB=AC判断△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得到∠ABC=∠C；再结合D是BC中点，利用等腰三角形“三线合一”的性质得出AD⊥BC，得到直角△ABD，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠BAD的度数。
(2) 要证明△BEF是等腰三角形，可通过证明两角相等推导两边相等。先根据角平分线定义得∠ABE=∠EBC，再由EF//BC，利用平行线内错角相等的性质得∠EBC=∠BEF，等量代换得到∠EBF=∠FEB，根据“等角对等边”得BF=EF，即可证明结论。
(3) 先利用(2)的结论EF=BF，将△AEF的周长等量替换得到AE+AB=15；再结合BE平分△ABC周长的条件，得出AB+AE=BC+CE=15，两部分相加即为△ABC的总周长。
【解析】
(1) 解：$\because AB=AC$，
$\therefore ∠C=∠ABC=40°$。
$\because D$为BC的中点，
$\therefore AD⊥BC$，即$∠BDA=90°$，
$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50°$。
(2) 证明：$\because BE$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠ABE=∠EBC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠EBC=∠BEF$，
$\therefore ∠EBF=∠FEB$，
$\therefore BF=EF$，
$\therefore △BEF$是等腰三角形。
(3) 解：$\because △AEF$的周长为15，
$\therefore AE+AF+EF=15$。
$\because$ 由(2)知，$BF=EF$，
$\therefore AE+AF+BF=15$，即$AE+AB=15$。
$\because BE$平分$△ABC$的周长，
$\therefore AE+AB=BC+CE=15$，
$\therefore △ABC$的周长为$AE+AB+BC+CE=15+15=30$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) $△ BEF$是等腰三角形，证明成立
(3) $\boldsymbol{30}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线、角平分线的相关知识，既包含基础的角度计算、几何证明，也涉及周长的等量代换，解题的核心是熟练掌握等腰三角形的相关性质，能够结合已知条件完成线段的等量替换，对基础几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 首先由AB=AC判断△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等得到∠ABC=∠C；再结合D是BC中点，利用等腰三角形“三线合一”的性质得出AD⊥BC，得到直角△ABD，最后根据直角三角形两锐角互余即可求出∠BAD的度数。
(2) 要证明△BEF是等腰三角形，可通过证明两角相等推导两边相等。先根据角平分线定义得∠ABE=∠EBC，再由EF//BC，利用平行线内错角相等的性质得∠EBC=∠BEF，等量代换得到∠EBF=∠FEB，根据“等角对等边”得BF=EF，即可证明结论。
(3) 先利用(2)的结论EF=BF，将△AEF的周长等量替换得到AE+AB=15；再结合BE平分△ABC周长的条件，得出AB+AE=BC+CE=15，两部分相加即为△ABC的总周长。
【解析】
(1) 解：$\because AB=AC$，
$\therefore ∠C=∠ABC=40°$。
$\because D$为BC的中点，
$\therefore AD⊥BC$，即$∠BDA=90°$，
$\therefore ∠BAD=90°-∠ABC=90°-40°=50°$。
(2) 证明：$\because BE$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠ABE=∠EBC$。
$\because EF// BC$，
$\therefore ∠EBC=∠BEF$，
$\therefore ∠EBF=∠FEB$，
$\therefore BF=EF$，
$\therefore △BEF$是等腰三角形。
(3) 解：$\because △AEF$的周长为15，
$\therefore AE+AF+EF=15$。
$\because$ 由(2)知，$BF=EF$，
$\therefore AE+AF+BF=15$，即$AE+AB=15$。
$\because BE$平分$△ABC$的周长，
$\therefore AE+AB=BC+CE=15$，
$\therefore △ABC$的周长为$AE+AB+BC+CE=15+15=30$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{50°}$
(2) $△ BEF$是等腰三角形，证明成立
(3) $\boldsymbol{30}$
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、平行线、角平分线的相关知识，既包含基础的角度计算、几何证明，也涉及周长的等量代换，解题的核心是熟练掌握等腰三角形的相关性质，能够结合已知条件完成线段的等量替换，对基础几何推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
18.(本小题满分13分)如图，$△ ABC$和$△ CDE$都是等边三角形，$AD$，$BE$相交于点$O$，$M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点.
(1)求证$AD=BE$.
(2)求$∠ DOE$的度数.
(3)求证:$△ MNC$是等边三角形.
(1)求证$AD=BE$.
(2)求$∠ DOE$的度数.
(3)求证:$△ MNC$是等边三角形.
答案
18. (1)证明 $\because △ABC$和$△CDE$都是等边三角形,
$\therefore AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°$,
$\therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD$,
$\therefore ∠ACD=∠BCE$.
$\because$ 在$△ACD$和$△BCE$中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ACD≌ △BCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=BE$.
(2)解 $\because$ 由(1)知$△ACD≌ △BCE$,
$\therefore ∠ADC=∠BEC$.
$\because △DCE$是等边三角形,
$\therefore ∠CED=∠CDE=60°$,
$\therefore ∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°$,
$\therefore ∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°$.
(3)证明 $\because$ 由(1)知$△ACD≌ △BCE$,
$\therefore ∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC$.
$\because$ 点M,N分别是线段AD,BE的中点,
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD,BN=\frac{1}{2}BE$,
$\therefore AM=BN$.
$\because$ 在$△ACM$和$△BCN$中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
$\therefore △ACM≌ △BCN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CM=CN,∠ACM=∠BCN$.
$\because ∠ACB=60°$,
$\therefore ∠ACM+∠MCB=60°$,
$\therefore ∠BCN+∠MCB=60°$,
$\therefore ∠MCN=60°$,
$\therefore △MNC$是等边三角形.
$\therefore AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°$,
$\therefore ∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD$,
$\therefore ∠ACD=∠BCE$.
$\because$ 在$△ACD$和$△BCE$中,$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
$\therefore △ACD≌ △BCE(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AD=BE$.
(2)解 $\because$ 由(1)知$△ACD≌ △BCE$,
$\therefore ∠ADC=∠BEC$.
$\because △DCE$是等边三角形,
$\therefore ∠CED=∠CDE=60°$,
$\therefore ∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°$,
$\therefore ∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°$.
(3)证明 $\because$ 由(1)知$△ACD≌ △BCE$,
$\therefore ∠CAD=∠CBE,AD=BE,AC=BC$.
$\because$ 点M,N分别是线段AD,BE的中点,
$\therefore AM=\frac{1}{2}AD,BN=\frac{1}{2}BE$,
$\therefore AM=BN$.
$\because$ 在$△ACM$和$△BCN$中,
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
$\therefore △ACM≌ △BCN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CM=CN,∠ACM=∠BCN$.
$\because ∠ACB=60°$,
$\therefore ∠ACM+∠MCB=60°$,
$\therefore ∠BCN+∠MCB=60°$,
$\therefore ∠MCN=60°$,
$\therefore △MNC$是等边三角形.
解析
【分析】
本题是等边三角形与全等三角形结合的综合题，三小问层层递进，可按以下思路求解：
(1) 要证两条线段相等，通常证明线段所在的三角形全等。由已知两个等边三角形可得两组对应边相等，两个内角均为60°，再通过加公共角∠BCD推导出两组边的夹角相等，用SAS即可证明△ACD≌△BCE，进而得到AD=BE。
(2) 求∠DOE的度数，可利用三角形内角和为180°求解。借助(1)的全等结论得到对应角相等，结合等边三角形内角为60°，先计算出△DOE中另外两个内角的和，即可求出∠DOE的度数。
(3) 要证△MNC是等边三角形，可先证其为等腰三角形，再证明有一个内角为60°。利用(1)的全等结论得到对应边、对应角相等，结合中点定义得到AM=BN，用SAS证明△ACM≌△BCN，即可得到CM=CN，再推导∠MCN=60°，即可证明△MNC是等边三角形。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ACB=∠DCE=60°$，
∴$∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD$，即$∠ACD=∠BCE$。
在$△ACD$和$△BCE$中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴$△ACD≌△BCE(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BE$。
(2)解：由(1)知$△ACD≌△BCE$，
∴$∠ADC=∠BEC$。
∵$△DCE$是等边三角形，
∴$∠CED=∠CDE=60°$，
∴$∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°$，
∴$∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°$。
(3)证明：由(1)知$△ACD≌△BCE$，
∴$∠CAD=∠CBE$，$AD=BE$，$AC=BC$。
∵点$M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AD$，$BN=\frac{1}{2}BE$，
∴$AM=BN$。
在$△ACM$和$△BCN$中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
∴$△ACM≌△BCN(\mathrm{SAS})$，
∴$CM=CN$，$∠ACM=∠BCN$。
∵$∠ACB=60°$，
∴$∠ACM+∠MCB=60°$，
∴$∠BCN+∠MCB=60°$，即$∠MCN=60°$，
∴$△MNC$是等边三角形。
【答案】
(1) 证明成立，$AD=BE$；
(2) $\boldsymbol{60°}$；
(3) 证明成立，$△MNC$是等边三角形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质与判定
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的几何递进式综合题，三小问环环相扣，前一问的结论可直接作为后一问的解题条件，重点考查逻辑推理能力和等量代换思想，解题时需准确梳理边角的对应关系，灵活运用全等和等边三角形的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.6
本题是等边三角形与全等三角形结合的综合题，三小问层层递进，可按以下思路求解：
(1) 要证两条线段相等，通常证明线段所在的三角形全等。由已知两个等边三角形可得两组对应边相等，两个内角均为60°，再通过加公共角∠BCD推导出两组边的夹角相等，用SAS即可证明△ACD≌△BCE，进而得到AD=BE。
(2) 求∠DOE的度数，可利用三角形内角和为180°求解。借助(1)的全等结论得到对应角相等，结合等边三角形内角为60°，先计算出△DOE中另外两个内角的和，即可求出∠DOE的度数。
(3) 要证△MNC是等边三角形，可先证其为等腰三角形，再证明有一个内角为60°。利用(1)的全等结论得到对应边、对应角相等，结合中点定义得到AM=BN，用SAS证明△ACM≌△BCN，即可得到CM=CN，再推导∠MCN=60°，即可证明△MNC是等边三角形。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴$AC=BC$，$CD=CE$，$∠ACB=∠DCE=60°$，
∴$∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD$，即$∠ACD=∠BCE$。
在$△ACD$和$△BCE$中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴$△ACD≌△BCE(\mathrm{SAS})$，
∴$AD=BE$。
(2)解：由(1)知$△ACD≌△BCE$，
∴$∠ADC=∠BEC$。
∵$△DCE$是等边三角形，
∴$∠CED=∠CDE=60°$，
∴$∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED=∠BEC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°$，
∴$∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°$。
(3)证明：由(1)知$△ACD≌△BCE$，
∴$∠CAD=∠CBE$，$AD=BE$，$AC=BC$。
∵点$M$，$N$分别是线段$AD$，$BE$的中点，
∴$AM=\frac{1}{2}AD$，$BN=\frac{1}{2}BE$，
∴$AM=BN$。
在$△ACM$和$△BCN$中，
$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠CAM=∠CBN, \\ AM=BN, \end{cases}$
∴$△ACM≌△BCN(\mathrm{SAS})$，
∴$CM=CN$，$∠ACM=∠BCN$。
∵$∠ACB=60°$，
∴$∠ACM+∠MCB=60°$，
∴$∠BCN+∠MCB=60°$，即$∠MCN=60°$，
∴$△MNC$是等边三角形。
【答案】
(1) 证明成立，$AD=BE$；
(2) $\boldsymbol{60°}$；
(3) 证明成立，$△MNC$是等边三角形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的性质与判定
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题是典型的几何递进式综合题，三小问环环相扣，前一问的结论可直接作为后一问的解题条件，重点考查逻辑推理能力和等量代换思想，解题时需准确梳理边角的对应关系，灵活运用全等和等边三角形的相关性质即可求解。
【难度系数】
0.6
