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8. 如图,在$2×4$的正方形网格中,$△ ABC$的顶点都在小正方形的格点上,这样的三角形称为格点三角形,在网格中与$△ ABC$成轴对称的格点三角形一共有(
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
).A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
8. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确核心要求：找到与△ABC成轴对称、且顶点都在格点上的三角形。我们可以按照以下思路思考：首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后能够完全重合，对应点的连线被对称轴垂直平分。接下来我们的步骤是：① 先找出2×4网格所有可能的对称轴，包括竖直、水平、斜向三类；② 对每一条对称轴，画出△ABC的轴对称图形，验证其顶点是否都在格点上；③ 统计所有符合条件的三角形个数即可得到答案。
【解析】
我们结合2×4网格的结构，逐一排查可能的对称轴：
1. 取竖直方向的对称轴：即网格左右方向的中线（第2列和第3列小正方形公共边的中垂线），画出△ABC关于该直线的对称图形，三个顶点均为格点，符合要求，为第1个符合条件的三角形。
2. 取水平方向的对称轴：即网格上下方向的中线（第1行和第2行小正方形公共边的中垂线），画出△ABC关于该直线的对称图形，三个顶点均为格点，符合要求，为第2个符合条件的三角形。
3. 取斜向的对称轴：即沿网格左上到右下方向的斜直线，画出△ABC关于该直线的对称图形，三个顶点均为格点，符合要求，为第3个符合条件的三角形。
其余对称轴画出的对称图形均存在顶点不在格点上的情况，不符合要求。因此符合条件的格点三角形共有3个。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，格点图形识别，对称轴确定
【点评】
本题重点考查轴对称性质的实际应用，解题时要注意全面考虑不同方向的对称轴，避免漏找，同时要验证对称后图形的顶点是否都在格点上，能够有效锻炼几何直观能力。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先明确核心要求：找到与△ABC成轴对称、且顶点都在格点上的三角形。我们可以按照以下思路思考：首先回忆轴对称的性质：成轴对称的两个图形沿对称轴折叠后能够完全重合，对应点的连线被对称轴垂直平分。接下来我们的步骤是：① 先找出2×4网格所有可能的对称轴，包括竖直、水平、斜向三类；② 对每一条对称轴，画出△ABC的轴对称图形，验证其顶点是否都在格点上；③ 统计所有符合条件的三角形个数即可得到答案。
【解析】
我们结合2×4网格的结构，逐一排查可能的对称轴：
1. 取竖直方向的对称轴：即网格左右方向的中线（第2列和第3列小正方形公共边的中垂线），画出△ABC关于该直线的对称图形，三个顶点均为格点，符合要求，为第1个符合条件的三角形。
2. 取水平方向的对称轴：即网格上下方向的中线（第1行和第2行小正方形公共边的中垂线），画出△ABC关于该直线的对称图形，三个顶点均为格点，符合要求，为第2个符合条件的三角形。
3. 取斜向的对称轴：即沿网格左上到右下方向的斜直线，画出△ABC关于该直线的对称图形，三个顶点均为格点，符合要求，为第3个符合条件的三角形。
其余对称轴画出的对称图形均存在顶点不在格点上的情况，不符合要求。因此符合条件的格点三角形共有3个。
【答案】
B
【知识点】
轴对称的性质，格点图形识别，对称轴确定
【点评】
本题重点考查轴对称性质的实际应用，解题时要注意全面考虑不同方向的对称轴，避免漏找，同时要验证对称后图形的顶点是否都在格点上，能够有效锻炼几何直观能力。
【难度系数】
0.6
9. 如图,图中阴影三角形与
(第9题图) (第11题图) (第12题图)
①③
(填序号)三角形成轴对称.(第9题图) (第11题图) (第12题图)
答案
9. ①③
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称的定义：两个图形沿某一条直线折叠后能够完全重合，就称这两个图形成轴对称。接下来观察图形，该图形是菱形，它的两条对角线所在直线都是对称轴。我们分别以两条对角线为对称轴，判断阴影三角形折叠后能和哪些三角形重合即可。
【解析】
根据轴对称的定义分析：
1. 以竖直方向的对角线为对称轴，将阴影三角形沿这条直线折叠，阴影三角形与①号三角形完全重合，因此二者成轴对称；
2. 以水平方向的对角线为对称轴，将阴影三角形沿这条直线折叠，阴影三角形与③号三角形完全重合，因此二者也成轴对称。
综上，阴影三角形与①③三角形成轴对称。
【答案】
①③
【知识点】
轴对称的识别；菱形的对称性
【点评】
本题属于基础题，核心考查对轴对称概念的理解，解题时要注意寻找所有可能的对称轴，避免漏解。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆轴对称的定义：两个图形沿某一条直线折叠后能够完全重合，就称这两个图形成轴对称。接下来观察图形，该图形是菱形，它的两条对角线所在直线都是对称轴。我们分别以两条对角线为对称轴，判断阴影三角形折叠后能和哪些三角形重合即可。
【解析】
根据轴对称的定义分析：
1. 以竖直方向的对角线为对称轴，将阴影三角形沿这条直线折叠，阴影三角形与①号三角形完全重合，因此二者成轴对称；
2. 以水平方向的对角线为对称轴，将阴影三角形沿这条直线折叠，阴影三角形与③号三角形完全重合，因此二者也成轴对称。
综上，阴影三角形与①③三角形成轴对称。
【答案】
①③
【知识点】
轴对称的识别；菱形的对称性
【点评】
本题属于基础题，核心考查对轴对称概念的理解，解题时要注意寻找所有可能的对称轴，避免漏解。
【难度系数】
0.8
10. 已知等腰三角形ABC的一个外角等于$70°$,则它的顶角度数为
110°
.答案
10. 110°
解析
【分析】
解题时首先根据外角的性质求出其对应的相邻内角度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分类讨论这个内角是顶角还是底角，排除不符合内角和定理的情况，最终得到顶角度数。
【解析】
已知等腰三角形的一个外角为70°，则与该外角相邻的内角度数为：
$180° - 70° = 110°$
分两种情况讨论：
1. 若$110°$是等腰三角形的底角：
等腰三角形两底角相等，则两个底角的和为$110° × 2 = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立。
2. 若$110°$是等腰三角形的顶角：
此时底角度数为$\frac{180° - 110°}{2} = 35°$，两个底角和为$70°$，加上顶角$110°$总内角和为$180°$，符合要求。
综上，该等腰三角形的顶角度数为$110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在等腰三角形角度计算中的应用，解题时需注意结合三角形内角和定理验证所有可能情况，排除不符合实际的结果，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据外角的性质求出其对应的相邻内角度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质分类讨论这个内角是顶角还是底角，排除不符合内角和定理的情况，最终得到顶角度数。
【解析】
已知等腰三角形的一个外角为70°，则与该外角相邻的内角度数为：
$180° - 70° = 110°$
分两种情况讨论：
1. 若$110°$是等腰三角形的底角：
等腰三角形两底角相等，则两个底角的和为$110° × 2 = 220° ＞ 180°$，不符合三角形内角和定理，该情况不成立。
2. 若$110°$是等腰三角形的顶角：
此时底角度数为$\frac{180° - 110°}{2} = 35°$，两个底角和为$70°$，加上顶角$110°$总内角和为$180°$，符合要求。
综上，该等腰三角形的顶角度数为$110°$。
【答案】
$110°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形外角的性质
【点评】
本题考查分类讨论思想在等腰三角形角度计算中的应用，解题时需注意结合三角形内角和定理验证所有可能情况，排除不符合实际的结果，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.7
11.如图，BD是等边三角形ABC的边AC上的中线，以点D为圆心，DB长为半径作弧交BC的延长线于点E，连接DE，则∠CDE的度数为
30°
。答案
11. 30°
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为60°，且中线、高、角平分线三线合一，由此可先求出∠DBC的度数；再根据同圆半径相等得到DB=DE，推出△BDE为等腰三角形，得到∠E的度数；最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质
∴BD平分∠ABC，即$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$
由作图可知，DB=DE（同圆的半径相等）
∴△BDE是等腰三角形，$∠ E=∠ DBC=30°$
∵∠ACB是△DCE的外角
∴$∠ ACB=∠ CDE+∠ E$
∴$∠ CDE=∠ ACB-∠ E=60°-30°=30°$
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用特殊三角形的性质推导角的数量关系，解题时要注意三线合一只适用于等腰（等边）三角形，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手，首先回忆等边三角形的性质：等边三角形三个内角均为60°，且中线、高、角平分线三线合一，由此可先求出∠DBC的度数；再根据同圆半径相等得到DB=DE，推出△BDE为等腰三角形，得到∠E的度数；最后利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可求出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是AC边上的中线，根据等边三角形三线合一的性质
∴BD平分∠ABC，即$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$
由作图可知，DB=DE（同圆的半径相等）
∴△BDE是等腰三角形，$∠ E=∠ DBC=30°$
∵∠ACB是△DCE的外角
∴$∠ ACB=∠ CDE+∠ E$
∴$∠ CDE=∠ ACB-∠ E=60°-30°=30°$
【答案】
30°
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础的角度计算题，核心是利用特殊三角形的性质推导角的数量关系，解题时要注意三线合一只适用于等腰（等边）三角形，熟练掌握相关性质是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B$为直角,$DE$垂直平分$AC$,$DE$交$AC$于点$D$,交$BC$于点$E$,且$∠ BAE:∠ BAC=1:5$,则$∠ C$的度数为
40°
.答案
12. 40°
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得EA=EC，进而推出∠EAC=∠C。接下来根据角度比例关系设未知数，将∠C和∠BAC都用含未知数的式子表示，最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可。
【解析】
设$∠ BAE = x$，
$\because ∠ BAE:∠ BAC = 1:5$，
$\therefore ∠ BAC = 5x$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ BAC - ∠ BAE = 5x - x = 4x$。
$\because DE$垂直平分$AC$，
$\therefore EA = EC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
$\therefore ∠ EAC = ∠ C$（等边对等角），即$∠ C = 4x$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ C = 90°$（直角三角形两锐角互余），
代入得：$5x + 4x = 90°$，
解得$x = 10°$，
$\therefore ∠ C = 4x = 4×10° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，将线段垂直平分线性质、等腰三角形等边对等角性质和直角三角形内角性质结合考查，通过设未知数列方程求解是此类角度计算问题的常用技巧，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，由此可得EA=EC，进而推出∠EAC=∠C。接下来根据角度比例关系设未知数，将∠C和∠BAC都用含未知数的式子表示，最后利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可。
【解析】
设$∠ BAE = x$，
$\because ∠ BAE:∠ BAC = 1:5$，
$\therefore ∠ BAC = 5x$，
$\therefore ∠ EAC = ∠ BAC - ∠ BAE = 5x - x = 4x$。
$\because DE$垂直平分$AC$，
$\therefore EA = EC$（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），
$\therefore ∠ EAC = ∠ C$（等边对等角），即$∠ C = 4x$。
$\because$在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ B = 90°$，
$\therefore ∠ BAC + ∠ C = 90°$（直角三角形两锐角互余），
代入得：$5x + 4x = 90°$，
解得$x = 10°$，
$\therefore ∠ C = 4x = 4×10° = 40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题是角度计算的综合题，将线段垂直平分线性质、等腰三角形等边对等角性质和直角三角形内角性质结合考查，通过设未知数列方程求解是此类角度计算问题的常用技巧，掌握基础性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共6小题,共64分)
13.(本小题满分7分)如图,某地计划修建一个服务中心,按照设计要求,服务中心到村庄A,B的距离相等,到两条高速公路m,n的距离也必须相等,且与村庄的距离不能太远.服务中心应修建在什么位置?请在图上标出它的位置.
13.(本小题满分7分)如图,某地计划修建一个服务中心,按照设计要求,服务中心到村庄A,B的距离相等,到两条高速公路m,n的距离也必须相等,且与村庄的距离不能太远.服务中心应修建在什么位置?请在图上标出它的位置.
答案
13. 解 如图,作两条高速公路所夹锐角的角平分线,再作线段AB的垂直平分线,两条线的交点C即为服务中心的修建位置.
解析
【分析】
要确定服务中心的位置，需结合设计要求逐一分析满足条件的点的轨迹：①到村庄A、B的距离相等：根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点在线段AB的垂直平分线上；②到两条高速公路m、n的距离相等：根据角平分线的性质，满足该条件的点在直线m、n相交所成角的角平分线上，结合“与村庄距离不能太远”的要求，应选取m、n所夹锐角的角平分线。两个轨迹的交点就是同时满足所有条件的服务中心位置。
【解析】
第一步：使用尺规作直线m、n相交所夹锐角的角平分线；
第二步：使用尺规作线段AB的垂直平分线；
第三步：两条线的交点记为C，点C即为服务中心的修建位置。
【答案】
作两条高速公路所夹锐角的角平分线，再作线段AB的垂直平分线，两条线的交点C即为服务中心的修建位置。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何知识的实际应用类题目，需要结合两个基本几何性质找到同时满足多重条件的公共点，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，先明确满足单个条件的点的轨迹，再取公共交点即可得到符合要求的位置。
【难度系数】
0.7
要确定服务中心的位置，需结合设计要求逐一分析满足条件的点的轨迹：①到村庄A、B的距离相等：根据线段垂直平分线的性质，满足该条件的点在线段AB的垂直平分线上；②到两条高速公路m、n的距离相等：根据角平分线的性质，满足该条件的点在直线m、n相交所成角的角平分线上，结合“与村庄距离不能太远”的要求，应选取m、n所夹锐角的角平分线。两个轨迹的交点就是同时满足所有条件的服务中心位置。
【解析】
第一步：使用尺规作直线m、n相交所夹锐角的角平分线；
第二步：使用尺规作线段AB的垂直平分线；
第三步：两条线的交点记为C，点C即为服务中心的修建位置。
【答案】
作两条高速公路所夹锐角的角平分线，再作线段AB的垂直平分线，两条线的交点C即为服务中心的修建位置。
【知识点】
角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；尺规作图
【点评】
本题是几何知识的实际应用类题目，需要结合两个基本几何性质找到同时满足多重条件的公共点，解题的关键是熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质，先明确满足单个条件的点的轨迹，再取公共交点即可得到符合要求的位置。
【难度系数】
0.7
14.(本小题满分10分)如图,某地区计划在市内一块三角形空地上种植某种草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,其中$∠ ABC=150°$,$AB=30\ \mathrm{m}$,$BC=20\ \mathrm{m}$,则购买这种草皮至少需要多少元？
答案
14. 解 如图,过点C作$CH⊥AB$交AB延长线于点H,
$\because ∠ABC=150°,BC=20\ \mathrm{m},AB=30\ \mathrm{m}$,
$\therefore ∠CBH=180°-150°=30°$,
$CH=\frac{1}{2}CB=10(\mathrm{m})$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CH=150(\mathrm{m^2})$,
$\therefore$ 购买这种草皮至少需要$150a$元.
解析
【分析】
要计算购买草皮的总费用，已知草皮每平方米售价为a元，首先需要求出△ABC的面积。计算三角形面积可选用“$\frac{1}{2}×底×高$”的公式，我们选择AB为底，此时需要求AB边上的高：由于∠ABC=150°是钝角，AB边上的高落在AB的延长线上，因此过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H；接下来根据邻补角的性质求出∠CBH=30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出高CH的长度，代入面积公式算出△ABC的面积，最后乘每平方米售价a即可得到总费用。
【解析】
如图，过点C作$CH⊥AB$交AB延长线于点H，
$\because ∠ABC=150°,BC=20\ \mathrm{m},AB=30\ \mathrm{m}$,
$\therefore ∠CBH=180°-150°=30°$,
在$\mathrm{Rt}△CHB$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$CH=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×20=10(\mathrm{m})$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CH=\frac{1}{2}×30×10=150(\mathrm{m^2})$,
则购买草皮的总费用为$150×a=150a$元。
【答案】
购买这种草皮至少需要$\boxed{150a}$元。
【知识点】
三角形面积计算；含30°角的直角三角形性质；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角形面积的求解，解题关键是正确作出钝角三角形对应边上的高，构造含30°角的直角三角形求出高的长度，再结合单价计算总费用，解题时要注意钝角三角形的高会落在对应边的延长线上，避免位置判断错误。
【难度系数】
0.7
要计算购买草皮的总费用，已知草皮每平方米售价为a元，首先需要求出△ABC的面积。计算三角形面积可选用“$\frac{1}{2}×底×高$”的公式，我们选择AB为底，此时需要求AB边上的高：由于∠ABC=150°是钝角，AB边上的高落在AB的延长线上，因此过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于点H；接下来根据邻补角的性质求出∠CBH=30°，再利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质求出高CH的长度，代入面积公式算出△ABC的面积，最后乘每平方米售价a即可得到总费用。
【解析】
如图，过点C作$CH⊥AB$交AB延长线于点H，
$\because ∠ABC=150°,BC=20\ \mathrm{m},AB=30\ \mathrm{m}$,
$\therefore ∠CBH=180°-150°=30°$,
在$\mathrm{Rt}△CHB$中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，因此：
$CH=\frac{1}{2}CB=\frac{1}{2}×20=10(\mathrm{m})$,
$\therefore S_{△ABC}=\frac{1}{2}AB·CH=\frac{1}{2}×30×10=150(\mathrm{m^2})$,
则购买草皮的总费用为$150×a=150a$元。
【答案】
购买这种草皮至少需要$\boxed{150a}$元。
【知识点】
三角形面积计算；含30°角的直角三角形性质；邻补角的性质
【点评】
本题结合生活实际考查三角形面积的求解，解题关键是正确作出钝角三角形对应边上的高，构造含30°角的直角三角形求出高的长度，再结合单价计算总费用，解题时要注意钝角三角形的高会落在对应边的延长线上，避免位置判断错误。
【难度系数】
0.7
