登录
1.假设外墙足够长，要想所围面积最大，得建立
函数
模型，求最大值
。答案
1.函数 最大值
解析
【分析】
解决围面积最大的实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题：我们可以先设定合适的自变量（如围矩形时的边长），再把所求的面积用含自变量的代数式表示，得到对应的函数关系，也就是建立函数模型；要得到最大的围合面积，本质就是求该函数的最大值，据此即可确定应填的内容。
【解析】
对于靠墙围图形求最大面积的问题，解题的第一步是根据已知条件设定自变量，将所求面积表示为关于自变量的函数，即建立函数模型；再结合函数的性质求解得到函数的最大值，就能得到最大的围合面积。因此两个空依次填写“函数”“最大值”。
【答案】
函数 最大值
【知识点】
函数建模；函数最值求解
【点评】
本题考查实际最值问题的基础解题思路，是代数知识在生活场景中的典型应用，需要掌握将实际问题转化为数学问题的基本逻辑。
【难度系数】
0.9
解决围面积最大的实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题：我们可以先设定合适的自变量（如围矩形时的边长），再把所求的面积用含自变量的代数式表示，得到对应的函数关系，也就是建立函数模型；要得到最大的围合面积，本质就是求该函数的最大值，据此即可确定应填的内容。
【解析】
对于靠墙围图形求最大面积的问题，解题的第一步是根据已知条件设定自变量，将所求面积表示为关于自变量的函数，即建立函数模型；再结合函数的性质求解得到函数的最大值，就能得到最大的围合面积。因此两个空依次填写“函数”“最大值”。
【答案】
函数 最大值
【知识点】
函数建模；函数最值求解
【点评】
本题考查实际最值问题的基础解题思路，是代数知识在生活场景中的典型应用，需要掌握将实际问题转化为数学问题的基本逻辑。
【难度系数】
0.9
2.假设外墙很短，要想所围面积最大，得建立
函数
模型，考虑自变量的取值范围
，平行于墙面的一边长需满足不大于外墙长
，求最大值
。答案
2.函数 自变量的取值范围 不大于外墙长 最大值
解析
【分析】
这是实际场景下的面积最值问题，解题时可按以下思路思考：首先这类最值问题需要先将面积和边长的变量关系转化为数学关系，因此要先建立函数模型；其次实际问题的变量不能脱离实际限制，否则计算结果没有意义，所以需要考虑自变量的取值范围；本题给出外墙很短的条件，说明平行于墙面的边长不能超过外墙长度，否则无法借助外墙完成围建；最终我们的目标是得到最大的围建面积，因此需要求函数的最大值。
【解析】
1. 解决面积最值类实际问题，首先需要建立函数模型来表示面积与边长的对应关系，因此第一空填“函数”；
2. 实际问题中的自变量受应用场景限制，必须明确自变量的取值范围才能保证求解结果符合实际，因此第二空填“自变量的取值范围”；
3. 已知外墙长度较短，若平行于墙面的边长大于外墙长度则无法借助外墙围建，因此该边长需满足不大于外墙长，第三空填“不大于外墙长”；
4. 题目的核心要求是所围面积最大，因此最终需要求解函数的最大值，第四空填“最大值”。
【答案】
函数 自变量的取值范围 不大于外墙长 最大值
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围确定，函数最值求解
【点评】
本题考查利用函数解决实际最值问题的基本逻辑，需要结合实际约束明确变量的限制条件，是围面积最值类问题的基础考点，能帮助学生理清这类问题的解题步骤。
【难度系数】
0.8
这是实际场景下的面积最值问题，解题时可按以下思路思考：首先这类最值问题需要先将面积和边长的变量关系转化为数学关系，因此要先建立函数模型；其次实际问题的变量不能脱离实际限制，否则计算结果没有意义，所以需要考虑自变量的取值范围；本题给出外墙很短的条件，说明平行于墙面的边长不能超过外墙长度，否则无法借助外墙完成围建；最终我们的目标是得到最大的围建面积，因此需要求函数的最大值。
【解析】
1. 解决面积最值类实际问题，首先需要建立函数模型来表示面积与边长的对应关系，因此第一空填“函数”；
2. 实际问题中的自变量受应用场景限制，必须明确自变量的取值范围才能保证求解结果符合实际，因此第二空填“自变量的取值范围”；
3. 已知外墙长度较短，若平行于墙面的边长大于外墙长度则无法借助外墙围建，因此该边长需满足不大于外墙长，第三空填“不大于外墙长”；
4. 题目的核心要求是所围面积最大，因此最终需要求解函数的最大值，第四空填“最大值”。
【答案】
函数 自变量的取值范围 不大于外墙长 最大值
【知识点】
二次函数实际应用，自变量取值范围确定，函数最值求解
【点评】
本题考查利用函数解决实际最值问题的基本逻辑，需要结合实际约束明确变量的限制条件，是围面积最值类问题的基础考点，能帮助学生理清这类问题的解题步骤。
【难度系数】
0.8
1.如图,一边靠墙(墙足够长),其他三边用16 m长的篱笆围成一个矩形花圃ABCD,这个花圃的最大面积是(
A.32 m²
B.24 m²
C.16 m²
D.8 m²
A
)。A.32 m²
B.24 m²
C.16 m²
D.8 m²
答案
1.A
解析
【分析】
这是利用二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：
1. 先明确篱笆的构成：AD边靠墙无需篱笆，所以16m篱笆围的是AB、BC、CD三边，其中AB=CD（矩形对边相等）。
2. 设未知数：设垂直于墙的边长AB为x m，那么平行于墙的边长BC就为(16-2x)m，同时要保证边长为正，可得x的取值范围。
3. 列面积关系式：根据矩形面积=长×宽，得到面积S关于x的函数表达式，整理为二次函数的一般式。
4. 求最值：因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取最大值，结合自变量取值范围验证顶点是否符合要求，即可算出最大面积。
【解析】
设垂直于墙的边AB的长度为x m，那么平行于墙的边BC的长度为(16-2x)m，设花圃的面积为S m²。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(16 - 2x)$
整理为二次函数一般式：$S = -2x^2 + 16x$
将函数化为顶点式：
$S = -2(x^2 - 8x) = -2(x^2 - 8x + 16 - 16) = -2(x - 4)^2 + 32$
由边长为正可知：$\begin{cases}x＞0 \\ 16-2x＞0 \end{cases}$，解得$0 ＜ x ＜ 8$。
因为二次函数$a=-2＜0$，图象开口向下，且顶点横坐标$x=4$在$0＜x＜8$的范围内，
所以当$x=4$时，S取得最大值，最大值为$32\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题的关键是结合题意正确列出函数关系式，同时要注意自变量的取值需要符合实际意义，再结合二次函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.7
这是利用二次函数求实际最值的问题，解题思路如下：
1. 先明确篱笆的构成：AD边靠墙无需篱笆，所以16m篱笆围的是AB、BC、CD三边，其中AB=CD（矩形对边相等）。
2. 设未知数：设垂直于墙的边长AB为x m，那么平行于墙的边长BC就为(16-2x)m，同时要保证边长为正，可得x的取值范围。
3. 列面积关系式：根据矩形面积=长×宽，得到面积S关于x的函数表达式，整理为二次函数的一般式。
4. 求最值：因为二次项系数为负，函数图象开口向下，顶点处取最大值，结合自变量取值范围验证顶点是否符合要求，即可算出最大面积。
【解析】
设垂直于墙的边AB的长度为x m，那么平行于墙的边BC的长度为(16-2x)m，设花圃的面积为S m²。
根据矩形面积公式可得：
$S = x(16 - 2x)$
整理为二次函数一般式：$S = -2x^2 + 16x$
将函数化为顶点式：
$S = -2(x^2 - 8x) = -2(x^2 - 8x + 16 - 16) = -2(x - 4)^2 + 32$
由边长为正可知：$\begin{cases}x＞0 \\ 16-2x＞0 \end{cases}$，解得$0 ＜ x ＜ 8$。
因为二次函数$a=-2＜0$，图象开口向下，且顶点横坐标$x=4$在$0＜x＜8$的范围内，
所以当$x=4$时，S取得最大值，最大值为$32\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的实际应用、二次函数的最值、矩形面积计算
【点评】
本题属于二次函数实际应用的基础题型，解题的关键是结合题意正确列出函数关系式，同时要注意自变量的取值需要符合实际意义，再结合二次函数的性质求解最值即可。
【难度系数】
0.7
2.如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26 m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40 m。有下列结论：①AB的长可以为6 m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为192 m²；③菜园ABCD面积的最大值为200 m²。其中，正确结论的个数是(
A.0
B.1
C.2
D.3
C
)。A.0
B.1
C.2
D.3
答案
2.C
解析
【分析】
我们可以先设垂直于墙的边长AB为x m，那么平行于墙的边长BC为(40-2x) m，首先根据墙长限制和边长为正的要求，先求出x的取值范围，再对三个结论逐一验证：①验证AB=6 m时是否符合取值范围；②列面积为192 m²的一元二次方程，判断解的个数是否符合要求；③将面积表示为关于x的二次函数，结合自变量取值范围求最大值即可。
【解析】
解：设AB的长为$x$ m，则BC的长为$(40-2x)$ m，
根据题意得不等式组：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤26 \\x＞0\end{cases}$
解得：$7≤ x＜20$。
逐一判断结论：
①当$AB=6$ m时，$x=6$，不在$7≤ x＜20$的取值范围内，此时$BC=40-2×6=28$ m＞$26$ m，不符合墙长限制，故①错误；
②若菜园面积为$192\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(40-2x)=192$
整理得：$x^2-20x+96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个解都在$7≤ x＜20$的范围内，所以AB的长有两个不同的值满足面积为$192\ \mathrm{m}^2$，故②正确；
③设菜园的面积为$S$，则：
$S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$
$\because -2＜0$，二次函数开口向下，且顶点横坐标$x=10$在$7≤ x＜20$范围内，
$\therefore$当$x=10$时，$S$取得最大值$200\ \mathrm{m}^2$，此时$BC=40-2×10=20$ m$≤26$ m，符合要求，故③正确。
综上，②③共2个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题时要特别注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略题中墙长的限制导致判断失误，同时考查了一元二次方程求解和二次函数最值的计算，掌握相关基础知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
我们可以先设垂直于墙的边长AB为x m，那么平行于墙的边长BC为(40-2x) m，首先根据墙长限制和边长为正的要求，先求出x的取值范围，再对三个结论逐一验证：①验证AB=6 m时是否符合取值范围；②列面积为192 m²的一元二次方程，判断解的个数是否符合要求；③将面积表示为关于x的二次函数，结合自变量取值范围求最大值即可。
【解析】
解：设AB的长为$x$ m，则BC的长为$(40-2x)$ m，
根据题意得不等式组：
$\begin{cases}40-2x＞0 \\40-2x≤26 \\x＞0\end{cases}$
解得：$7≤ x＜20$。
逐一判断结论：
①当$AB=6$ m时，$x=6$，不在$7≤ x＜20$的取值范围内，此时$BC=40-2×6=28$ m＞$26$ m，不符合墙长限制，故①错误；
②若菜园面积为$192\ \mathrm{m}^2$，列方程得：
$x(40-2x)=192$
整理得：$x^2-20x+96=0$
因式分解得：$(x-8)(x-12)=0$
解得$x_1=8$，$x_2=12$，两个解都在$7≤ x＜20$的范围内，所以AB的长有两个不同的值满足面积为$192\ \mathrm{m}^2$，故②正确；
③设菜园的面积为$S$，则：
$S=x(40-2x)=-2x^2+40x=-2(x-10)^2+200$
$\because -2＜0$，二次函数开口向下，且顶点横坐标$x=10$在$7≤ x＜20$范围内，
$\therefore$当$x=10$时，$S$取得最大值$200\ \mathrm{m}^2$，此时$BC=40-2×10=20$ m$≤26$ m，符合要求，故③正确。
综上，②③共2个结论正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的实际应用；一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用
【点评】
本题属于实际应用类题型，解题时要特别注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免忽略题中墙长的限制导致判断失误，同时考查了一元二次方程求解和二次函数最值的计算，掌握相关基础知识即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3.如图,王叔叔想用长为60 m的栅栏,再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD,已知房屋外墙足够长,当矩形ABCD的边AB=
15
m时,羊圈的面积最大。答案
3.15
解析
【分析】
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，设垂直于墙的边AB的长度为x m，根据栅栏总长度表示出平行于墙的边BC的长度；第二步，根据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式；第三步，结合二次函数的性质，求出使面积最大时x的取值即可，注意要验证自变量的取值符合实际意义。
【解析】
解：设AB的长度为x m，矩形羊圈的面积为S m²。
由题意可知，栅栏仅围AB、BC、CD三边，且AB=CD，因此BC的长度为(60-2x)m，其中x需满足：$\begin{cases}x＞0 \\ 60-2x＞0\end{cases}$，即$0＜x＜30$。
根据矩形面积公式可得：
$S = AB × BC = x(60-2x) = -2x^2 + 60x$
该函数是二次函数，且二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，S取得最大值。
代入$a=-2$，$b=60$得：
$x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15$
15符合$0＜x＜30$的取值范围，因此当AB=15m时，羊圈面积最大。
【答案】
15
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算；二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数在实际生活中的应用类基础题，解题的核心是将实际问题转化为二次函数模型，正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
这是一道利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，设垂直于墙的边AB的长度为x m，根据栅栏总长度表示出平行于墙的边BC的长度；第二步，根据矩形面积公式写出面积关于x的函数关系式；第三步，结合二次函数的性质，求出使面积最大时x的取值即可，注意要验证自变量的取值符合实际意义。
【解析】
解：设AB的长度为x m，矩形羊圈的面积为S m²。
由题意可知，栅栏仅围AB、BC、CD三边，且AB=CD，因此BC的长度为(60-2x)m，其中x需满足：$\begin{cases}x＞0 \\ 60-2x＞0\end{cases}$，即$0＜x＜30$。
根据矩形面积公式可得：
$S = AB × BC = x(60-2x) = -2x^2 + 60x$
该函数是二次函数，且二次项系数$a=-2＜0$，因此抛物线开口向下，当$x=-\frac{b}{2a}$时，S取得最大值。
代入$a=-2$，$b=60$得：
$x = -\frac{60}{2×(-2)} = 15$
15符合$0＜x＜30$的取值范围，因此当AB=15m时，羊圈面积最大。
【答案】
15
【知识点】
二次函数的应用；矩形面积计算；二次函数最值求解
【点评】
本题属于二次函数在实际生活中的应用类基础题，解题的核心是将实际问题转化为二次函数模型，正确列出函数解析式，再结合二次函数的性质求解最值，解题时需注意自变量的取值范围要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
4.如图，学校要在校园内建一个矩形的农场，其中一边AD是围墙，且AD的长不能超过28 m，其余三边AB，BC，CD用60 m长的铁质栅栏。有下列结论：
①AB的长可以为15 m；
②当农场ABCD面积为200 m²时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450 m²；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560 m²。
其中，正确的结论是
①AB的长可以为15 m；
②当农场ABCD面积为200 m²时，满足条件的AB的长只有一个值；
③农场ABCD面积的最大值为450 m²；
④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过560 m²。
其中，正确的结论是
②④
。（只需填序号）答案
4.②④
解析
【分析】
首先设垂直于围墙的边长AB为x m，可推出平行于围墙的边长BC为(60-2x) m，结合AD=BC≤28 m先确定x的取值范围为16≤x＜30，再逐一验证四个结论：①判断15是否在x的取值范围内；②根据面积列一元二次方程，结合x的取值范围判断解的个数；③将面积表示为关于x的二次函数，结合自变量取值范围求最值；④根据半圆形弧长等于栅栏长求半径，再计算半圆面积和560比较即可。
【解析】
设AB = x m，则BC = (60 - 2x) m，由题意AD = BC ≤28 m，且BC＞0，因此列不等式组：
$\begin{cases}60-2x≤28 \\ 60-2x＞0 \end{cases}$，解得$16≤ x＜30$。
1. 验证结论①：AB=15 m，15＜16，不在x的取值范围内，不符合要求，故①错误。
2. 验证结论②：面积为200 m²时，列方程$x(60-2x)=200$，整理得$x^2-30x+100=0$，解得$x_1=15+5\sqrt{5}\approx26.18$，$x_2=15-5\sqrt{5}\approx3.82$。其中$x_2＜16$不符合取值范围舍去，仅$x_1$符合，故满足条件的AB长只有一个值，②正确。
3. 验证结论③：设面积为S，则$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{60}{4}=15$。因$x≥16$，在对称轴右侧S随x增大而减小，故当x=16时S取最大值，$S_{max}=16×(60-2×16)=16×28=448\ \mathrm{m}^2≠450\ \mathrm{m}^2$，故③错误。
4. 验证结论④：改为半圆形时，半圆弧长为60 m，设半圆半径为r，则$π r=60$，得$r=\frac{60}{π}$。半圆面积$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{60}{π})^2=\frac{1800}{π}\approx573.2\ \mathrm{m}^2＞560\ \mathrm{m}^2$，故④正确。
综上，正确结论为②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，圆的相关计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略AD长度不超过28m的限制，直接在x＞0的范围内求二次函数最值，导致判断结论③出错，解题时要先结合实际限制确定自变量的取值范围，再进行相关计算。
【难度系数】
0.65
首先设垂直于围墙的边长AB为x m，可推出平行于围墙的边长BC为(60-2x) m，结合AD=BC≤28 m先确定x的取值范围为16≤x＜30，再逐一验证四个结论：①判断15是否在x的取值范围内；②根据面积列一元二次方程，结合x的取值范围判断解的个数；③将面积表示为关于x的二次函数，结合自变量取值范围求最值；④根据半圆形弧长等于栅栏长求半径，再计算半圆面积和560比较即可。
【解析】
设AB = x m，则BC = (60 - 2x) m，由题意AD = BC ≤28 m，且BC＞0，因此列不等式组：
$\begin{cases}60-2x≤28 \\ 60-2x＞0 \end{cases}$，解得$16≤ x＜30$。
1. 验证结论①：AB=15 m，15＜16，不在x的取值范围内，不符合要求，故①错误。
2. 验证结论②：面积为200 m²时，列方程$x(60-2x)=200$，整理得$x^2-30x+100=0$，解得$x_1=15+5\sqrt{5}\approx26.18$，$x_2=15-5\sqrt{5}\approx3.82$。其中$x_2＜16$不符合取值范围舍去，仅$x_1$符合，故满足条件的AB长只有一个值，②正确。
3. 验证结论③：设面积为S，则$S=x(60-2x)=-2x^2+60x$，该二次函数开口向下，对称轴为$x=\frac{60}{4}=15$。因$x≥16$，在对称轴右侧S随x增大而减小，故当x=16时S取最大值，$S_{max}=16×(60-2×16)=16×28=448\ \mathrm{m}^2≠450\ \mathrm{m}^2$，故③错误。
4. 验证结论④：改为半圆形时，半圆弧长为60 m，设半圆半径为r，则$π r=60$，得$r=\frac{60}{π}$。半圆面积$S=\frac{1}{2}π r^2=\frac{1}{2}π×(\frac{60}{π})^2=\frac{1800}{π}\approx573.2\ \mathrm{m}^2＞560\ \mathrm{m}^2$，故④正确。
综上，正确结论为②④。
【答案】
②④
【知识点】
二次函数的实际应用，一元二次方程的应用，圆的相关计算
【点评】
本题的易错点是容易忽略AD长度不超过28m的限制，直接在x＞0的范围内求二次函数最值，导致判断结论③出错，解题时要先结合实际限制确定自变量的取值范围，再进行相关计算。
【难度系数】
0.65
5.如图，用栅栏围成一个菜园，菜园一面靠长为5 m的墙，菜园分成两个区域，中间用栅栏隔开。已知整个菜园栅栏总长为12 m，如果出入口的大小不计，并且菜园靠墙的一面不能超过墙长，小明认为菜园的最大面积为12 m²；小亮认为菜园的面积可能为9 m²。则（
A.小明正确，小亮错误
B.小明错误，小亮正确
C.两人均正确
D.两人均错误
B
）。A.小明正确，小亮错误
B.小明错误，小亮正确
C.两人均正确
D.两人均错误
答案
5.B
解析
【分析】
解决此类围栏面积问题，首先要结合图形设合适的未知数：我们设垂直于墙的栅栏长度为x m，结合总栅栏长度可表示出平行于墙的边长；再根据“靠墙边长不超过墙长、边长为正”的实际限制列出不等式组，确定x的取值范围；随后根据矩形面积公式写出面积关于x的二次函数表达式，结合二次函数的增减性在x的取值范围内求最大面积，再通过列一元二次方程验证面积能否为9 m²，即可判断两人说法的正误。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(12-3x)$ m。
根据实际限制列不等式组：
$\begin{cases}12-3x＞0 \\ 12-3x≤5 \end{cases}$
解得：$\frac{7}{3}≤ x＜4$。
菜园面积$S=x(12-3x)=-3x^2+12x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{6}=2$。
因为二次函数开口向下，在$x＞2$时$S$随$x$的增大而减小，且$x$的取值范围为$\frac{7}{3}≤ x＜4$（$\frac{7}{3}\approx2.33＞2$），因此$S$在$x=\frac{7}{3}$时取得最大值：
$S_{max}=\frac{7}{3}×(12-3×\frac{7}{3})=\frac{35}{3}\approx11.67\ \mathrm{m}^2＜12\ \mathrm{m}^2$，因此小明的说法错误。
令$S=9$，列方程：
$-3x^2+12x=9$
整理得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
其中$x_1=1＜\frac{7}{3}$，不符合取值范围舍去；$x_2=3$在$\frac{7}{3}≤ x＜4$范围内，此时平行于墙的边长为$12-3×3=3\ \mathrm{m}≤5\ \mathrm{m}$，符合要求，因此菜园面积可以为9 m²，小亮的说法正确。
综上，小明错误，小亮正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程应用，不等式组求解
【点评】
本题易错点是容易忽略墙长的限制，直接将二次函数顶点处的函数值作为最大面积，解题时一定要结合实际意义先确定自变量的取值范围，再结合函数性质求解，求解方程后也要验证根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.6
解决此类围栏面积问题，首先要结合图形设合适的未知数：我们设垂直于墙的栅栏长度为x m，结合总栅栏长度可表示出平行于墙的边长；再根据“靠墙边长不超过墙长、边长为正”的实际限制列出不等式组，确定x的取值范围；随后根据矩形面积公式写出面积关于x的二次函数表达式，结合二次函数的增减性在x的取值范围内求最大面积，再通过列一元二次方程验证面积能否为9 m²，即可判断两人说法的正误。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为$x$ m，则平行于墙的边长为$(12-3x)$ m。
根据实际限制列不等式组：
$\begin{cases}12-3x＞0 \\ 12-3x≤5 \end{cases}$
解得：$\frac{7}{3}≤ x＜4$。
菜园面积$S=x(12-3x)=-3x^2+12x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=\frac{12}{6}=2$。
因为二次函数开口向下，在$x＞2$时$S$随$x$的增大而减小，且$x$的取值范围为$\frac{7}{3}≤ x＜4$（$\frac{7}{3}\approx2.33＞2$），因此$S$在$x=\frac{7}{3}$时取得最大值：
$S_{max}=\frac{7}{3}×(12-3×\frac{7}{3})=\frac{35}{3}\approx11.67\ \mathrm{m}^2＜12\ \mathrm{m}^2$，因此小明的说法错误。
令$S=9$，列方程：
$-3x^2+12x=9$
整理得$x^2-4x+3=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$。
其中$x_1=1＜\frac{7}{3}$，不符合取值范围舍去；$x_2=3$在$\frac{7}{3}≤ x＜4$范围内，此时平行于墙的边长为$12-3×3=3\ \mathrm{m}≤5\ \mathrm{m}$，符合要求，因此菜园面积可以为9 m²，小亮的说法正确。
综上，小明错误，小亮正确。
【答案】
B
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程应用，不等式组求解
【点评】
本题易错点是容易忽略墙长的限制，直接将二次函数顶点处的函数值作为最大面积，解题时一定要结合实际意义先确定自变量的取值范围，再结合函数性质求解，求解方程后也要验证根是否符合实际要求。
【难度系数】
0.6
6.如图,有长为24 m的篱笆,现一面完全利用墙(墙的最大可用长度为10 m)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,围成的花圃的面积最大时,AB的长是(
A.4 m
B.5 m
C.3 m
D.$\frac{14}{3}$ m
D
)。A.4 m
B.5 m
C.3 m
D.$\frac{14}{3}$ m
答案
6.D
解析
【分析】
首先设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，先根据篱笆总长表示出平行于墙的边BC的长度，结合墙的最大可用长度求出$x$的取值范围；再根据矩形面积公式得到面积关于$x$的二次函数，结合二次函数的增减性，在$x$的取值范围内找到使面积最大的$x$值即可。
【解析】
设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
1. 表示BC的长度：
由图可知，垂直于墙的篱笆共有3段（AB、中间隔断、CD），每段长均为$x$，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
2. 求自变量$x$的取值范围：
墙的最大可用长度为10 m，即BC的长度满足$0 ＜ 24-3x ≤ 10$，解不等式：
$24-10 ≤ 3x ＜ 24$，即$14 ≤ 3x ＜ 24$，得$\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8$。
3. 列面积函数并求最值：
矩形面积$S = AB × BC = x(24-3x) = -3x^2 +24x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2×(-3)} = 4$。
因为二次函数开口向下，在对称轴右侧$S$随$x$的增大而减小，而$x$的取值范围为$x ≥ \frac{14}{3} ＞ 4$，因此当$x$取取值范围内的最小值$\frac{14}{3}$时，花圃面积最大。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，不等式求解
【点评】
本题容易忽略墙的长度限制，直接取二次函数顶点处的$x$值导致错误，求解时一定要结合自变量的实际取值范围判断最值点。
【难度系数】
0.6
首先设AB的长度为$x\ \mathrm{m}$，先根据篱笆总长表示出平行于墙的边BC的长度，结合墙的最大可用长度求出$x$的取值范围；再根据矩形面积公式得到面积关于$x$的二次函数，结合二次函数的增减性，在$x$的取值范围内找到使面积最大的$x$值即可。
【解析】
设AB的长为$x\ \mathrm{m}$，花圃的面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
1. 表示BC的长度：
由图可知，垂直于墙的篱笆共有3段（AB、中间隔断、CD），每段长均为$x$，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-3x)\ \mathrm{m}$。
2. 求自变量$x$的取值范围：
墙的最大可用长度为10 m，即BC的长度满足$0 ＜ 24-3x ≤ 10$，解不等式：
$24-10 ≤ 3x ＜ 24$，即$14 ≤ 3x ＜ 24$，得$\frac{14}{3} ≤ x ＜ 8$。
3. 列面积函数并求最值：
矩形面积$S = AB × BC = x(24-3x) = -3x^2 +24x$，这是开口向下的二次函数，对称轴为$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{24}{2×(-3)} = 4$。
因为二次函数开口向下，在对称轴右侧$S$随$x$的增大而减小，而$x$的取值范围为$x ≥ \frac{14}{3} ＞ 4$，因此当$x$取取值范围内的最小值$\frac{14}{3}$时，花圃面积最大。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用，二次函数最值，不等式求解
【点评】
本题容易忽略墙的长度限制，直接取二次函数顶点处的$x$值导致错误，求解时一定要结合自变量的实际取值范围判断最值点。
【难度系数】
0.6
