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7.(1)请在平面直角坐标系中画出二次函数$y=x^2 - 2x$的大致图象；
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程$x^2 - 2x=1$的根在图上近似地表示出来(描点)；
(3)观察图象，直接写出方程$x^2 - 2x=1$的根。(结果精确到0.1)
(2)根据方程的根与函数图象的关系，将方程$x^2 - 2x=1$的根在图上近似地表示出来(描点)；
(3)观察图象，直接写出方程$x^2 - 2x=1$的根。(结果精确到0.1)
答案
(1)如图所示
(2)如图，正确作出点M,N。
(3)方程的根为$x_1=-0.4,x_2=2.4$。
解析
【分析】
(1)画二次函数图象前，先通过配方确定函数的开口方向、顶点坐标、与坐标轴的交点等关键点，描出关键点后连线即可得到大致图象；
(2)根据方程与函数的关系，方程$x^2-2x=1$的根等价于二次函数$y=x^2-2x$的函数值为1时对应的自变量x的值，也就是抛物线$y=x^2-2x$与直线$y=1$交点的横坐标，找到交点后将其在x轴上的投影描为M、N即可；
(3)观察两个交点的横坐标位置，结合网格刻度估算近似值，精确到0.1即可。
【解析】
(1)先对二次函数配方：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，可得该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$；
令$y=0$，即$x^2-2x=0$，解得$x=0$或$x=2$，可得抛物线与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$；
再选取如$x=-1$时$y=3$、$x=3$时$y=3$等辅助点，描出所有点后用平滑曲线连接，即可得到函数大致图象。
(2)方程$x^2-2x=1$的根对应$y=x^2-2x$中$y=1$的自变量取值，作直线$y=1$，与抛物线交于两点，将两点向x轴作垂线，垂足即为所求的点M、N。
(3)观察图象可得，左侧交点横坐标约为-0.4，右侧交点横坐标约为2.4，因此可得方程的近似根。
【答案】
(1)如图所示
(2)如图，正确作出点M,N。
(3)方程的根为$x_1=-0.4,x_2=2.4$。
【知识点】
二次函数图象绘制；二次函数与一元二次方程的关系；图象法求方程近似根
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，需要学生熟练掌握二次函数图象的基本性质，理解函数与方程之间的对应关系，能借助图象直观求解方程的近似解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
(1)画二次函数图象前，先通过配方确定函数的开口方向、顶点坐标、与坐标轴的交点等关键点，描出关键点后连线即可得到大致图象；
(2)根据方程与函数的关系，方程$x^2-2x=1$的根等价于二次函数$y=x^2-2x$的函数值为1时对应的自变量x的值，也就是抛物线$y=x^2-2x$与直线$y=1$交点的横坐标，找到交点后将其在x轴上的投影描为M、N即可；
(3)观察两个交点的横坐标位置，结合网格刻度估算近似值，精确到0.1即可。
【解析】
(1)先对二次函数配方：$y=x^2-2x=(x-1)^2-1$，可得该函数开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,-1)$；
令$y=0$，即$x^2-2x=0$，解得$x=0$或$x=2$，可得抛物线与x轴交点为$(0,0)$、$(2,0)$；
再选取如$x=-1$时$y=3$、$x=3$时$y=3$等辅助点，描出所有点后用平滑曲线连接，即可得到函数大致图象。
(2)方程$x^2-2x=1$的根对应$y=x^2-2x$中$y=1$的自变量取值，作直线$y=1$，与抛物线交于两点，将两点向x轴作垂线，垂足即为所求的点M、N。
(3)观察图象可得，左侧交点横坐标约为-0.4，右侧交点横坐标约为2.4，因此可得方程的近似根。
【答案】
(1)如图所示
(2)如图，正确作出点M,N。
(3)方程的根为$x_1=-0.4,x_2=2.4$。
【知识点】
二次函数图象绘制；二次函数与一元二次方程的关系；图象法求方程近似根
【点评】
本题侧重考查数形结合思想的应用，需要学生熟练掌握二次函数图象的基本性质，理解函数与方程之间的对应关系，能借助图象直观求解方程的近似解，属于基础类应用题。
【难度系数】
0.7
8.已知$m＞n＞0$，若关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$的解为$x_1, x_2(x_1 ＜ x_2)$，关于$x$的方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解为$x_3, x_4(x_3 ＜ x_4)$，则下列结论正确的是(
A.$x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4$
B.$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$
C.$x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4$
D.$x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2$
B
)。A.$x_3 ＜ x_1 ＜ x_2 ＜ x_4$
B.$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$
C.$x_1 ＜ x_2 ＜ x_3 ＜ x_4$
D.$x_3 ＜ x_4 ＜ x_1 ＜ x_2$
答案
B
解析
【分析】
我们可以从两个思路解决本题：思路1：数形结合，将方程的解转化为二次函数与水平线交点的横坐标。首先把两个方程变形为$x^2+2x-3=m$和$x^2+2x-3=n$，可知两个方程的解分别是二次函数$y=x^2+2x-3$的函数值为$m$、$n$时对应的$x$值。该二次函数开口向上，函数值越大，对应的$x$的两个解中，较小的解越小，较大的解越大。已知$m＞n＞0$，就能判断四个解的大小关系。思路2：直接用一元二次方程求根公式表示出四个解，再根据$m＞n$的关系比较大小即可。
【解析】
方法一（数形结合法）：
二次函数$y=x^2+2x-3$的开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，同理方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标。
因为$m＞n＞0$，所以直线$y=m$位于直线$y=n$的上方。
对于开口向上的抛物线，水平线位置越高，与抛物线的两个交点中，左交点越靠左，右交点越靠右，因此：
对应$y=m$的左交点$x_1$ ＜ 对应$y=n$的左交点$x_3$ ＜ 对应$y=n$的右交点$x_4$ ＜ 对应$y=m$的右交点$x_2$，即$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$。
方法二（求根公式法）：
对于方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$，由求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×(3+m)}}{2}=-1\pm\sqrt{m+4}$
因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1=-1-\sqrt{m+4}$，$x_2=-1+\sqrt{m+4}$。
同理，方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解为$x_3=-1-\sqrt{n+4}$，$x_4=-1+\sqrt{n+4}$。
因为$m＞n＞0$，所以$\sqrt{m+4}＞\sqrt{n+4}$，
所以$-1-\sqrt{m+4} ＜ -1-\sqrt{n+4}$，即$x_1 ＜ x_3$；
且$-1+\sqrt{n+4} ＜ -1+\sqrt{m+4}$，即$x_4 ＜ x_2$。
结合$x_3 ＜ x_4$，可得$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图像性质；求根公式的应用
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，既可以通过数形结合的思想快速得出结论，也可以通过代数计算验证结果，能很好地考查学生对相关知识的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
我们可以从两个思路解决本题：思路1：数形结合，将方程的解转化为二次函数与水平线交点的横坐标。首先把两个方程变形为$x^2+2x-3=m$和$x^2+2x-3=n$，可知两个方程的解分别是二次函数$y=x^2+2x-3$的函数值为$m$、$n$时对应的$x$值。该二次函数开口向上，函数值越大，对应的$x$的两个解中，较小的解越小，较大的解越大。已知$m＞n＞0$，就能判断四个解的大小关系。思路2：直接用一元二次方程求根公式表示出四个解，再根据$m＞n$的关系比较大小即可。
【解析】
方法一（数形结合法）：
二次函数$y=x^2+2x-3$的开口向上，对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2×1}=-1$。
方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=m$的交点横坐标，同理方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解等价于$y=x^2+2x-3$与直线$y=n$的交点横坐标。
因为$m＞n＞0$，所以直线$y=m$位于直线$y=n$的上方。
对于开口向上的抛物线，水平线位置越高，与抛物线的两个交点中，左交点越靠左，右交点越靠右，因此：
对应$y=m$的左交点$x_1$ ＜ 对应$y=n$的左交点$x_3$ ＜ 对应$y=n$的右交点$x_4$ ＜ 对应$y=m$的右交点$x_2$，即$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$。
方法二（求根公式法）：
对于方程$x^2 + 2x - 3 - m = 0$，由求根公式得：
$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4×(3+m)}}{2}=-1\pm\sqrt{m+4}$
因为$x_1 ＜ x_2$，所以$x_1=-1-\sqrt{m+4}$，$x_2=-1+\sqrt{m+4}$。
同理，方程$x^2 + 2x - 3 - n = 0$的解为$x_3=-1-\sqrt{n+4}$，$x_4=-1+\sqrt{n+4}$。
因为$m＞n＞0$，所以$\sqrt{m+4}＞\sqrt{n+4}$，
所以$-1-\sqrt{m+4} ＜ -1-\sqrt{n+4}$，即$x_1 ＜ x_3$；
且$-1+\sqrt{n+4} ＜ -1+\sqrt{m+4}$，即$x_4 ＜ x_2$。
结合$x_3 ＜ x_4$，可得$x_1 ＜ x_3 ＜ x_4 ＜ x_2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图像性质；求根公式的应用
【点评】
本题是二次函数与一元二次方程结合的典型题型，既可以通过数形结合的思想快速得出结论，也可以通过代数计算验证结果，能很好地考查学生对相关知识的掌握程度和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图,二次函数$y=ax^2+2x-3$的图象与x轴有一个交点在0和1之间(不含0和1),则a的取值范围是(
A.$a＞\frac{1}{3}$
B.$0＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＞-\frac{1}{3}$且$a≠0$
C
)。A.$a＞\frac{1}{3}$
B.$0＜a＜1$
C.$a＞1$
D.$a＞-\frac{1}{3}$且$a≠0$
答案
C
解析
【分析】
首先判断该函数为二次函数，故a≠0，结合图像开口向上可得a＞0，可先排除包含a＜0的选项；接下来利用二次函数零点存在的判断方法：已知x=0时函数值y=-3＜0，要使函数与x轴的一个交点落在(0,1)区间内，那么x=1时的函数值必须大于0，代入x=1计算即可得到a的取值范围，最后验证判别式满足有交点的条件即可。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，
∴二次项系数a≠0，
由图像可知抛物线开口向上，
∴a＞0。
①当x=0时，代入函数解析式得：$y=a×0^2+2×0-3=-3＜0$；
②要使二次函数图象与x轴的一个交点在0和1之间（不含0和1），结合抛物线开口向上的性质，可得当x=1时，函数值大于0。
将x=1代入解析式得：$y=a×1^2+2×1-3=a-1＞0$，解得$a＞1$。
③验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2-4× a×(-3)=4+12a$，当$a＞1$时，$\Delta=4+12a＞16＞0$，满足二次函数与x轴有两个交点的条件，符合题意。
综上，a的取值范围是$a＞1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，不等式求解
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴交点的判断，解题的关键是结合图象开口方向，利用区间端点的函数值符号快速确定参数范围，是二次函数章节的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.6
首先判断该函数为二次函数，故a≠0，结合图像开口向上可得a＞0，可先排除包含a＜0的选项；接下来利用二次函数零点存在的判断方法：已知x=0时函数值y=-3＜0，要使函数与x轴的一个交点落在(0,1)区间内，那么x=1时的函数值必须大于0，代入x=1计算即可得到a的取值范围，最后验证判别式满足有交点的条件即可。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，
∴二次项系数a≠0，
由图像可知抛物线开口向上，
∴a＞0。
①当x=0时，代入函数解析式得：$y=a×0^2+2×0-3=-3＜0$；
②要使二次函数图象与x轴的一个交点在0和1之间（不含0和1），结合抛物线开口向上的性质，可得当x=1时，函数值大于0。
将x=1代入解析式得：$y=a×1^2+2×1-3=a-1＞0$，解得$a＞1$。
③验证判别式：$\Delta=b^2-4ac=2^2-4× a×(-3)=4+12a$，当$a＞1$时，$\Delta=4+12a＞16＞0$，满足二次函数与x轴有两个交点的条件，符合题意。
综上，a的取值范围是$a＞1$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象性质，二次函数与x轴交点，不等式求解
【点评】
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴交点的判断，解题的关键是结合图象开口方向，利用区间端点的函数值符号快速确定参数范围，是二次函数章节的典型基础应用题型。
【难度系数】
0.6
10.二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0,a,b,c$为常数)的图象如图所示,则方程$ax^2+bx+c=-4$的解是
$x_1=x_2=6$
。答案
$x_1=x_2=6$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确方程$ax^2+bx+c=-4$的解的几何意义：就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值等于-4时对应的自变量x的值，等价于求二次函数图象与直线$y=-4$交点的横坐标。接下来观察图象特征，该二次函数开口向上，顶点坐标为$(6,-4)$，说明函数的最小值为-4，仅当$x=6$时能取到这个最小值，因此直线$y=-4$与抛物线只有一个交点，对应横坐标就是方程的解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=-4$的解，即为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-4$交点的横坐标。
由图象可知，二次函数的顶点坐标为$(6,-4)$，即当$x=6$时，$y=ax^2+bx+c=-4$。
又因为抛物线开口向上，顶点是函数的最低点，函数的最小值为-4，因此二次函数图象与直线$y=-4$仅有一个交点$(6,-4)$，对应方程有两个相等的实数根。
故方程$ax^2+bx+c=-4$的解为$x_1=x_2=6$。
【答案】
$x_1=x_2=6$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数与一元二次方程问题中的应用，解题核心是将方程解的问题转化为函数图象交点的横坐标问题，结合图象顶点的性质即可快速得到结果，属于基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确方程$ax^2+bx+c=-4$的解的几何意义：就是二次函数$y=ax^2+bx+c$的函数值等于-4时对应的自变量x的值，等价于求二次函数图象与直线$y=-4$交点的横坐标。接下来观察图象特征，该二次函数开口向上，顶点坐标为$(6,-4)$，说明函数的最小值为-4，仅当$x=6$时能取到这个最小值，因此直线$y=-4$与抛物线只有一个交点，对应横坐标就是方程的解。
【解析】
方程$ax^2+bx+c=-4$的解，即为二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与直线$y=-4$交点的横坐标。
由图象可知，二次函数的顶点坐标为$(6,-4)$，即当$x=6$时，$y=ax^2+bx+c=-4$。
又因为抛物线开口向上，顶点是函数的最低点，函数的最小值为-4，因此二次函数图象与直线$y=-4$仅有一个交点$(6,-4)$，对应方程有两个相等的实数根。
故方程$ax^2+bx+c=-4$的解为$x_1=x_2=6$。
【答案】
$x_1=x_2=6$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系；二次函数的图象与性质
【点评】
本题考查数形结合思想在二次函数与一元二次方程问题中的应用，解题核心是将方程解的问题转化为函数图象交点的横坐标问题，结合图象顶点的性质即可快速得到结果，属于基础题。
【难度系数】
0.8
11.某班“数学兴趣小组”对函数$y=-x^2 + 2|x| + 3$的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整。
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应值列表如下：
其中，$m=$
(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象。
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：
(4)已知函数$y=-x + 4$的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程$-x^2 + 2|x| + 3 = -x + 4$的解。（保留一位小数）
(1)自变量$x$的取值范围是全体实数，$x$与$y$的几组对应值列表如下：
其中，$m=$
3
。(2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象。
(3)观察函数图象，写出一条该函数的性质：
函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(答案不唯一)
。(4)已知函数$y=-x + 4$的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出方程$-x^2 + 2|x| + 3 = -x + 4$的解。（保留一位小数）
答案
(1)3
(2)如图所示
(3)函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)$x_1=0.4,x_2=2.6$。(答案不唯一)
解析
【分析】
(1) 该函数表达式含有绝对值|x|，代入对应x的取值即可计算函数值；也可利用函数的对称性：将x替换为-x时函数值不变，即图象关于y轴对称，x和-x对应的函数值相等，代入即可求得m。
(2) 画函数图象时，先描出表格给出的坐标点，再结合函数关于y轴对称的性质，用平滑曲线顺次连接各点即可。
(3) 观察画出的函数图象，可从对称性、增减性、最值等角度总结函数性质，写出任意一条合理结论即可。
(4) 两个函数图象交点的横坐标就是对应方程的解，观察两个图象的交点位置，读取横坐标的近似值即可，注意保留一位小数。
【解析】
(1) 当x=2时，代入函数$y=-x^2 + 2|x| + 3$得：
$y=-2^2 + 2×|2| + 3=-4+4+3=3$，因此$m=3$。
(2) 先在平面直角坐标系中描出表格中给出的各坐标点，结合函数关于y轴对称的特点，用平滑曲线顺次连接各点，所得图象如参考答案所示。
(3) 观察图象可知：该函数图象是轴对称图形，对称轴为y轴（答案不唯一，如“当x＞1时，y随x的增大而减小”“函数的最大值为4”等合理表述均可）。
(4) 方程$-x^2 + 2|x| + 3 = -x + 4$的解是函数$y=-x^2 + 2|x| + 3$和$y=-x + 4$图象交点的横坐标，结合图象读取交点横坐标，得方程的解为$x_1\approx0.4$，$x_2\approx2.6$（答案合理即可）。
【答案】
(1)3
(2)如图所示
(3)函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)$x_1=0.4,x_2=2.6$。(答案不唯一)
【知识点】
含绝对值的二次函数；二次函数的性质；函数与方程的关系
【点评】
本题围绕含绝对值的二次函数展开探究，考查了函数值计算、图象绘制、性质总结及数形结合求解方程的能力，能有效锻炼学生的观察分析能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7
(1) 该函数表达式含有绝对值|x|，代入对应x的取值即可计算函数值；也可利用函数的对称性：将x替换为-x时函数值不变，即图象关于y轴对称，x和-x对应的函数值相等，代入即可求得m。
(2) 画函数图象时，先描出表格给出的坐标点，再结合函数关于y轴对称的性质，用平滑曲线顺次连接各点即可。
(3) 观察画出的函数图象，可从对称性、增减性、最值等角度总结函数性质，写出任意一条合理结论即可。
(4) 两个函数图象交点的横坐标就是对应方程的解，观察两个图象的交点位置，读取横坐标的近似值即可，注意保留一位小数。
【解析】
(1) 当x=2时，代入函数$y=-x^2 + 2|x| + 3$得：
$y=-2^2 + 2×|2| + 3=-4+4+3=3$，因此$m=3$。
(2) 先在平面直角坐标系中描出表格中给出的各坐标点，结合函数关于y轴对称的特点，用平滑曲线顺次连接各点，所得图象如参考答案所示。
(3) 观察图象可知：该函数图象是轴对称图形，对称轴为y轴（答案不唯一，如“当x＞1时，y随x的增大而减小”“函数的最大值为4”等合理表述均可）。
(4) 方程$-x^2 + 2|x| + 3 = -x + 4$的解是函数$y=-x^2 + 2|x| + 3$和$y=-x + 4$图象交点的横坐标，结合图象读取交点横坐标，得方程的解为$x_1\approx0.4$，$x_2\approx2.6$（答案合理即可）。
【答案】
(1)3
(2)如图所示
(3)函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴(答案不唯一)
(4)$x_1=0.4,x_2=2.6$。(答案不唯一)
【知识点】
含绝对值的二次函数；二次函数的性质；函数与方程的关系
【点评】
本题围绕含绝对值的二次函数展开探究，考查了函数值计算、图象绘制、性质总结及数形结合求解方程的能力，能有效锻炼学生的观察分析能力和数形结合思维。
【难度系数】
0.7
