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7.某农场要建矩形的饲养室，如图所示，一面靠着现有足够长的墙，其他三面用材料建设围墙，在中间再建一道墙隔开，并在两处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体总长为22 m(不包括门)，则能建成的饲养室最大总占地面积为(
A.52 m²
B.48 m²
C.45 m²
D.41 m²
B
)。A.52 m²
B.48 m²
C.45 m²
D.41 m²
答案
7.B
解析
【分析】
本题是用二次函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：第一步设未知数，选择垂直于墙的边长为自变量x，方便表示其余边长；第二步结合已知的墙体总长、门的宽度推导平行于墙的边长的代数式：由于垂直于墙的墙体共3段，2个门各1m不需要建筑材料，因此平行于墙的总长度为墙体总长加2个门的宽度再减去3段垂直墙体的总长度；第三步根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数；第四步利用二次函数开口向下时顶点为最大值点的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得：平行于墙的总长度为$ 22 + 1 + 1 - 3x = (24 - 3x) \, \mathrm{m} $（2个门各宽1m，无需占用建筑材料，因此计算总长度时需要加上门的总宽度）。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x(24 - 3x)\\&=-3x^2 + 24x\end{aligned}$
该二次函数中$ a=-3＜0 $，抛物线开口向下，函数存在最大值。
由二次函数顶点公式，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4 $时，$ S $取最大值，代入得：
$ S_{\mathrm{max}}=4×(24 - 3×4)=4×12=48 \, \mathrm{m}^2 $
且$ x=4 $满足$ x＞0 $、$ 24-3x＞0 $，符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列代数式
【点评】
本题属于生活中的实际应用问题，解题的核心是准确梳理边长和建筑材料长度的关系，不要遗漏门的宽度对边长的影响，再结合二次函数的性质即可求出最大面积。
【难度系数】
0.7
本题是用二次函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：第一步设未知数，选择垂直于墙的边长为自变量x，方便表示其余边长；第二步结合已知的墙体总长、门的宽度推导平行于墙的边长的代数式：由于垂直于墙的墙体共3段，2个门各1m不需要建筑材料，因此平行于墙的总长度为墙体总长加2个门的宽度再减去3段垂直墙体的总长度；第三步根据矩形面积公式得到面积关于x的二次函数；第四步利用二次函数开口向下时顶点为最大值点的性质，计算最大面积即可。
【解析】
设垂直于墙的边长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
由题意得：平行于墙的总长度为$ 22 + 1 + 1 - 3x = (24 - 3x) \, \mathrm{m} $（2个门各宽1m，无需占用建筑材料，因此计算总长度时需要加上门的总宽度）。
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}S&=x(24 - 3x)\\&=-3x^2 + 24x\end{aligned}$
该二次函数中$ a=-3＜0 $，抛物线开口向下，函数存在最大值。
由二次函数顶点公式，当$ x=-\frac{b}{2a}=-\frac{24}{2×(-3)}=4 $时，$ S $取最大值，代入得：
$ S_{\mathrm{max}}=4×(24 - 3×4)=4×12=48 \, \mathrm{m}^2 $
且$ x=4 $满足$ x＞0 $、$ 24-3x＞0 $，符合实际意义。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的最值；列代数式
【点评】
本题属于生活中的实际应用问题，解题的核心是准确梳理边长和建筑材料长度的关系，不要遗漏门的宽度对边长的影响，再结合二次函数的性质即可求出最大面积。
【难度系数】
0.7
8.某农场要建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的两处各留1 m宽的门。已知计划中的材料可建墙体总长为28 m(不包括门)，则当能建成的饲养室总占地面积最大时，中间隔开的墙长是(
A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
B
)。A.4 m
B.5 m
C.6 m
D.8 m
答案
8.B
解析
【分析】
这是利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先设中间隔开的墙长为x米（即垂直于现有墙的边长为x米），先推导平行于现有墙的总长度：已知墙体总长28米（不含门），垂直于墙的墙体共有3段，每段长x米，剩余墙体用于修建平行于墙的部分，再加上两处各1米宽的门，即可得到平行于墙的总长度，再根据矩形面积公式得到总占地面积关于x的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质求取最大值对应的x值即可。
【解析】
解：设中间隔开的墙长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
垂直于现有墙的墙体共3段，总长度为$ 3x \, \mathrm{m} $。
已知可建墙体总长为28m（不含门），两处门各宽1m，因此平行于现有墙的总长度为：
$ 28 - 3x + 2×1 = 30 - 3x \, (\mathrm{m}) $
根据矩形面积公式，总占地面积为：
$ S = x(30 - 3x) = -3x^2 + 30x $
该函数为开口向下的二次函数，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，$ S $取得最大值，其中$ a=-3 $，$ b=30 $，代入得：
$ x = -\frac{30}{2×(-3)} = 5 $
即中间隔开的墙长为5m时，饲养室总占地面积最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，列函数关系式，矩形面积计算
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用类题目，解题的关键是准确理解“墙体总长不包含门”的条件，正确推导平行于墙的边长，再结合二次函数性质求解即可，易错点为计算平行边长时漏加门的总宽度。
【难度系数】
0.7
这是利用二次函数求解实际最值的问题，解题思路如下：首先设中间隔开的墙长为x米（即垂直于现有墙的边长为x米），先推导平行于现有墙的总长度：已知墙体总长28米（不含门），垂直于墙的墙体共有3段，每段长x米，剩余墙体用于修建平行于墙的部分，再加上两处各1米宽的门，即可得到平行于墙的总长度，再根据矩形面积公式得到总占地面积关于x的二次函数表达式，最后结合二次函数的性质求取最大值对应的x值即可。
【解析】
解：设中间隔开的墙长为$ x \, \mathrm{m} $，饲养室总占地面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
垂直于现有墙的墙体共3段，总长度为$ 3x \, \mathrm{m} $。
已知可建墙体总长为28m（不含门），两处门各宽1m，因此平行于现有墙的总长度为：
$ 28 - 3x + 2×1 = 30 - 3x \, (\mathrm{m}) $
根据矩形面积公式，总占地面积为：
$ S = x(30 - 3x) = -3x^2 + 30x $
该函数为开口向下的二次函数，当$ x = -\frac{b}{2a} $时，$ S $取得最大值，其中$ a=-3 $，$ b=30 $，代入得：
$ x = -\frac{30}{2×(-3)} = 5 $
即中间隔开的墙长为5m时，饲养室总占地面积最大。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的最值，列函数关系式，矩形面积计算
【点评】
本题是典型的二次函数实际应用类题目，解题的关键是准确理解“墙体总长不包含门”的条件，正确推导平行于墙的边长，再结合二次函数性质求解即可，易错点为计算平行边长时漏加门的总宽度。
【难度系数】
0.7
9.如图，九(1)班劳动实践基地位于L形围墙的内侧，已知∠ABC=90°，墙AB长7 m，墙BC长3 m。同学们准备用10 m长的围栏，在基地内围出一块矩形菜地(可利用围墙)。他们能围出的劳动实践基地最大面积是
$\frac{169}{8}$
m²。答案
9.$\frac{169}{8}$
解析
【分析】
这是利用二次函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设矩形平行于AB的边长为x m，垂直于AB的边长为y m；2. 分析围栏构成：当y＞3时，BC墙仅能提供3m的长度，右侧剩余(y-3)m需要围栏，总围栏长度为左侧y m+下方x m+右侧(y-3)m=10m，据此得到x与y的关系；3. 结合AB墙长7m，确定自变量的取值范围；4. 列出面积关于y的二次函数表达式，利用二次函数性质求最值，同时对比y≤3时的最大面积，最终得到最大值。
【解析】
设围出的矩形平行于AB的边长为$ x \, \mathrm{m} $，垂直于AB的边长为$ y \, \mathrm{m} $，面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
分两种情况讨论：
1. 当$ y ≤ 3 $时，可充分利用BC墙，此时围栏仅需围x和y两条边，即$ x + y = 10 $，则$ x = 10 - y $。
结合AB墙长限制$ x ≤ 7 $，得$ 10 - y ≤ 7 $，即$ y ≥ 3 $，因此仅$ y=3 $、$ x=7 $符合条件，此时面积$ S = 7 × 3 = 21 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 当$ y ＞ 3 $时，BC墙仅能提供3m的长度，右侧需额外围$ (y - 3) \, \mathrm{m} $的围栏，总围栏长度满足：
$ x + y + (y - 3) = 10 $
整理得$ x = 13 - 2y $。
结合AB墙长限制$ x ≤ 7 $，得$ 13 - 2y ≤ 7 $，解得$ y ≥ 3 $，符合$ y＞3 $的前提；同时$ x＞0 $，即$ 13 - 2y ＞0 $，得$ y ＜ 6.5 $，即自变量取值范围为$ 3 ＜ y ＜ 6.5 $。
面积表达式为：
$ S = x · y = (13 - 2y)y = -2y^2 + 13y $
这是开口向下的二次函数，对称轴为$ y = -\frac{b}{2a} = \frac{13}{4} = 3.25 $，在自变量取值范围内，因此最大值为：
$ S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 13^2}{4 × (-2)} = \frac{169}{8} $
对比两种情况的面积，$ \frac{169}{8} ＞ 21 $，因此最大面积为$ \frac{169}{8} \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
$\dfrac{169}{8}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，列函数关系式
【点评】
本题属于面积最值的实际应用问题，易错点是忽略围墙长度限制对围栏构成的影响，解题时需要分情况讨论，同时注意验证取得最值时自变量是否符合实际限制条件，避免因直接套用公式得到错误结果。
【难度系数】
0.6
这是利用二次函数解决实际面积最值的问题，解题思路如下：1. 合理设未知数：设矩形平行于AB的边长为x m，垂直于AB的边长为y m；2. 分析围栏构成：当y＞3时，BC墙仅能提供3m的长度，右侧剩余(y-3)m需要围栏，总围栏长度为左侧y m+下方x m+右侧(y-3)m=10m，据此得到x与y的关系；3. 结合AB墙长7m，确定自变量的取值范围；4. 列出面积关于y的二次函数表达式，利用二次函数性质求最值，同时对比y≤3时的最大面积，最终得到最大值。
【解析】
设围出的矩形平行于AB的边长为$ x \, \mathrm{m} $，垂直于AB的边长为$ y \, \mathrm{m} $，面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $。
分两种情况讨论：
1. 当$ y ≤ 3 $时，可充分利用BC墙，此时围栏仅需围x和y两条边，即$ x + y = 10 $，则$ x = 10 - y $。
结合AB墙长限制$ x ≤ 7 $，得$ 10 - y ≤ 7 $，即$ y ≥ 3 $，因此仅$ y=3 $、$ x=7 $符合条件，此时面积$ S = 7 × 3 = 21 \, \mathrm{m}^2 $。
2. 当$ y ＞ 3 $时，BC墙仅能提供3m的长度，右侧需额外围$ (y - 3) \, \mathrm{m} $的围栏，总围栏长度满足：
$ x + y + (y - 3) = 10 $
整理得$ x = 13 - 2y $。
结合AB墙长限制$ x ≤ 7 $，得$ 13 - 2y ≤ 7 $，解得$ y ≥ 3 $，符合$ y＞3 $的前提；同时$ x＞0 $，即$ 13 - 2y ＞0 $，得$ y ＜ 6.5 $，即自变量取值范围为$ 3 ＜ y ＜ 6.5 $。
面积表达式为：
$ S = x · y = (13 - 2y)y = -2y^2 + 13y $
这是开口向下的二次函数，对称轴为$ y = -\frac{b}{2a} = \frac{13}{4} = 3.25 $，在自变量取值范围内，因此最大值为：
$ S_{\mathrm{max}} = \frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{0 - 13^2}{4 × (-2)} = \frac{169}{8} $
对比两种情况的面积，$ \frac{169}{8} ＞ 21 $，因此最大面积为$ \frac{169}{8} \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
$\dfrac{169}{8}$
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，列函数关系式
【点评】
本题属于面积最值的实际应用问题，易错点是忽略围墙长度限制对围栏构成的影响，解题时需要分情况讨论，同时注意验证取得最值时自变量是否符合实际限制条件，避免因直接套用公式得到错误结果。
【难度系数】
0.6
10.一段长为25 m的墙MN前有一块矩形ABCD空地，用90 m长的篱笆围成如图所示的图形(靠墙的一边不用篱笆，篱笆的厚度忽略不计)，其中四边形AEFH和四边形CDHG是矩形，四边形EBGF是边长为5 m的正方形，设CD=x m。
(1)若矩形CDHG的面积为125 m²，求CD的长。
(2)当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
(1)若矩形CDHG的面积为125 m²，求CD的长。
(2)当CD的长为多少时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？
答案
10.解:(1)
∵CD=HG=AB=x m,EF=BG=5 m,
∴GC=90-3x-10=(80-3x) m,
∴x(80-3x)=125,
∴$x_1=25,x_2=\frac{5}{3}$。
∵BC=80-3x+5≤25,
∴x≥20,
∴CD的长为25 m。
(2)设矩形ABCD的面积为S,则S=BC·CD=x·(80-3x+5)=$-3(x-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}$。
∵-3＜0,故抛物线开口向下。
又
∵x≥20,抛物线的对称轴为直线$x=\frac{85}{6}$,
∴当x=20时,S取得最大值,最大值为$-3·(20-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}=500(\mathrm{m}^2)$。
即当CD的长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,最大面积是500 m²。
∵CD=HG=AB=x m,EF=BG=5 m,
∴GC=90-3x-10=(80-3x) m,
∴x(80-3x)=125,
∴$x_1=25,x_2=\frac{5}{3}$。
∵BC=80-3x+5≤25,
∴x≥20,
∴CD的长为25 m。
(2)设矩形ABCD的面积为S,则S=BC·CD=x·(80-3x+5)=$-3(x-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}$。
∵-3＜0,故抛物线开口向下。
又
∵x≥20,抛物线的对称轴为直线$x=\frac{85}{6}$,
∴当x=20时,S取得最大值,最大值为$-3·(20-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}=500(\mathrm{m}^2)$。
即当CD的长为20 m时,矩形ABCD的面积最大,最大面积是500 m²。
解析
【分析】
解题时首先结合图形结构和篱笆总长，用含x的代数式表示出各相关边的长度，再根据墙的长度限制确定x的取值范围。（1）先写出矩形CDHG的面积表达式，列一元二次方程求解，再结合x的取值范围舍去不符合题意的根；（2）先写出矩形ABCD面积关于x的二次函数表达式，结合二次函数的增减性和x的取值范围即可求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意得，四边形ABCD为矩形，四边形EBGF是边长为5m的正方形，因此CD=HG=AB=x m，EF=BG=5 m。
垂直于墙的篱笆共3段（AB、HG、CD），总长度为3x m，水平方向的篱笆中EF、BG共长5+5=10 m，因此$GC=90-3x-10=(80-3x)$ m。
矩形CDHG的面积为$CD·GC=x(80-3x)$，根据题意得：
$x(80-3x)=125$
解得$x_1=25,x_2=\frac{5}{3}$。
又因为靠墙边BC的长度不能超过墙长25 m，$BC=BG+GC=5+80-3x=85-3x≤25$，解得$x≥20$，因此$x=\frac{5}{3}$不符合题意舍去，即CD的长为25 m。
(2) 设矩形ABCD的面积为S，根据矩形面积公式得：
$S=BC·CD=x(85-3x)=-3x^2+85x$
配方得$S=-3(x-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}$。
∵二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下，且抛物线对称轴为直线$x=\frac{85}{6}$，结合x的取值范围$x≥20$，可知当$x≥20$时，S随x的增大而减小。
因此当x取最小值20时，S取得最大值，最大值为：
$S=-3×(20-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}=500(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) CD的长为25 m；
(2) 当CD的长为20 m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是$500\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；不等式应用
【点评】
本题是典型的几何实际应用问题，解题的核心是准确梳理篱笆的构成，正确用含x的代数式表示各边长度，尤其要注意墙长对边长的限制，求解二次函数最值时需结合自变量的取值范围判断，不能直接取对称轴处的函数值作为最值。
【难度系数】
0.6
解题时首先结合图形结构和篱笆总长，用含x的代数式表示出各相关边的长度，再根据墙的长度限制确定x的取值范围。（1）先写出矩形CDHG的面积表达式，列一元二次方程求解，再结合x的取值范围舍去不符合题意的根；（2）先写出矩形ABCD面积关于x的二次函数表达式，结合二次函数的增减性和x的取值范围即可求出最大面积。
【解析】
(1) 由题意得，四边形ABCD为矩形，四边形EBGF是边长为5m的正方形，因此CD=HG=AB=x m，EF=BG=5 m。
垂直于墙的篱笆共3段（AB、HG、CD），总长度为3x m，水平方向的篱笆中EF、BG共长5+5=10 m，因此$GC=90-3x-10=(80-3x)$ m。
矩形CDHG的面积为$CD·GC=x(80-3x)$，根据题意得：
$x(80-3x)=125$
解得$x_1=25,x_2=\frac{5}{3}$。
又因为靠墙边BC的长度不能超过墙长25 m，$BC=BG+GC=5+80-3x=85-3x≤25$，解得$x≥20$，因此$x=\frac{5}{3}$不符合题意舍去，即CD的长为25 m。
(2) 设矩形ABCD的面积为S，根据矩形面积公式得：
$S=BC·CD=x(85-3x)=-3x^2+85x$
配方得$S=-3(x-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}$。
∵二次项系数$-3＜0$，抛物线开口向下，且抛物线对称轴为直线$x=\frac{85}{6}$，结合x的取值范围$x≥20$，可知当$x≥20$时，S随x的增大而减小。
因此当x取最小值20时，S取得最大值，最大值为：
$S=-3×(20-\frac{85}{6})^2+\frac{7225}{12}=500(\mathrm{m}^2)$
【答案】
(1) CD的长为25 m；
(2) 当CD的长为20 m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是$500\ \mathrm{m}^2$。
【知识点】
一元二次方程应用；二次函数最值；不等式应用
【点评】
本题是典型的几何实际应用问题，解题的核心是准确梳理篱笆的构成，正确用含x的代数式表示各边长度，尤其要注意墙长对边长的限制，求解二次函数最值时需结合自变量的取值范围判断，不能直接取对称轴处的函数值作为最值。
【难度系数】
0.6
