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1. 当气温不变时，气球内气体的气压$p$（单位：kPa）是气体体积$V$（单位：$m^3$）的函数，下表记录了一组实验数据：
$p$关于$V$的函数解析式可能是（
A.$p=96V$
B.$p=-16V+112$
C.$p=\frac{96}{V}$
D.$p=V^2-24V+112$
$p$关于$V$的函数解析式可能是（
C
）.A.$p=96V$
B.$p=-16V+112$
C.$p=\frac{96}{V}$
D.$p=V^2-24V+112$
答案
1. C
解析
【分析】
解题时可采用两种思路：一是代入验证法，将表格中每组V、p的对应值分别代入四个选项的解析式，判断是否全部符合；二是观察数据特征，计算每组V和p的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为定值”的特征，可直接推导解析式。
【解析】
首先观察表格中的对应数据：
当$V=1\ \mathrm{m}^3$时，$p=96\ \mathrm{kPa}$，$V· p=1×96=96$；
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，$p=48\ \mathrm{kPa}$，$V· p=2×48=96$；
当$V=3\ \mathrm{m}^3$时，$p=32\ \mathrm{kPa}$，$V· p=3×32=96$；
当$V=4\ \mathrm{m}^3$时，$p=24\ \mathrm{kPa}$，$V· p=4×24=96$。
由此可知$p$与$V$的乘积为定值96，即$pV=96$，变形得函数解析式为$p=\frac{96}{V}$。
也可通过排除法验证其他选项：
A选项：当$V=2$时，$p=96×2=192≠48$，不符合，排除；
B选项：当$V=3$时，$p=-16×3+112=64≠32$，不符合，排除；
D选项：当$V=3$时，$p=3^2-24×3+112=49≠32$，不符合，排除。
因此只有C选项符合所有数据。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义，函数解析式的验证
【点评】
本题考查根据实际数据确定函数解析式，解题时既可以通过数据特征直接判断函数类型，也可以用代入排除法快速筛选答案，注重对基础概念和解题方法的考查。
【难度系数】
0.85
解题时可采用两种思路：一是代入验证法，将表格中每组V、p的对应值分别代入四个选项的解析式，判断是否全部符合；二是观察数据特征，计算每组V和p的乘积，发现乘积为定值，符合反比例函数“两个变量的乘积为定值”的特征，可直接推导解析式。
【解析】
首先观察表格中的对应数据：
当$V=1\ \mathrm{m}^3$时，$p=96\ \mathrm{kPa}$，$V· p=1×96=96$；
当$V=2\ \mathrm{m}^3$时，$p=48\ \mathrm{kPa}$，$V· p=2×48=96$；
当$V=3\ \mathrm{m}^3$时，$p=32\ \mathrm{kPa}$，$V· p=3×32=96$；
当$V=4\ \mathrm{m}^3$时，$p=24\ \mathrm{kPa}$，$V· p=4×24=96$。
由此可知$p$与$V$的乘积为定值96，即$pV=96$，变形得函数解析式为$p=\frac{96}{V}$。
也可通过排除法验证其他选项：
A选项：当$V=2$时，$p=96×2=192≠48$，不符合，排除；
B选项：当$V=3$时，$p=-16×3+112=64≠32$，不符合，排除；
D选项：当$V=3$时，$p=3^2-24×3+112=49≠32$，不符合，排除。
因此只有C选项符合所有数据。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的定义，函数解析式的验证
【点评】
本题考查根据实际数据确定函数解析式，解题时既可以通过数据特征直接判断函数类型，也可以用代入排除法快速筛选答案，注重对基础概念和解题方法的考查。
【难度系数】
0.85
2. 在综合实践课上,小明利用恒定的压力F(单位:N)测定压强p(单位:Pa)与受力面积S(单位:m²)的关系. 经测定,当S=0.5 m²时,p=20 Pa,则p与S之间的函数图象可能是().
答案
解析
【分析】
首先结合压强公式可知，恒定压力下压强p和受力面积S成反比例函数关系，且p、S都为正数，因此图象是反比例函数在第一象限的分支。解题时先根据题中给出的S、p的对应值求出恒定压力F，得到p与S的函数解析式，再代入特殊值验证图象上的点，逐一排除错误选项即可。
【解析】
根据压强公式，恒定压力F下p与S满足关系：$p=\frac{F}{S}$（$S＞0,p＞0$），属于反比例函数。
将$S=0.5\mathrm{m}^2$，$p=20\mathrm{Pa}$代入公式，可得：
$F=pS=20×0.5=10\mathrm{N}$
因此p与S的函数解析式为$p=\frac{10}{S}$（$S＞0$）。
代入$S=0.1\mathrm{m}^2$，得$p=\frac{10}{0.1}=100\mathrm{Pa}$，即点$(0.1,100)$在函数图象上。
对选项逐一判断：
B选项：$S=0.1\mathrm{m}^2$时对应p大于100Pa，不符合，排除；
C选项：$S=0.1\mathrm{m}^2$时对应p小于100Pa，不符合，排除；
D选项：$S=0.2\mathrm{m}^2$时对应p为100Pa，代入解析式得$p=\frac{10}{0.2}=50\mathrm{Pa}≠100\mathrm{Pa}$，不符合，排除；
A选项：图象是第一象限的反比例函数分支，且过点$(0.1,100)$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象，压强计算公式
【点评】
本题结合物理知识考查反比例函数的图象与性质，解题核心是先推导函数解析式，再通过特殊点验证筛选正确图象，需要注意自变量和函数值的取值范围都是正数。
【难度系数】
0.7
首先结合压强公式可知，恒定压力下压强p和受力面积S成反比例函数关系，且p、S都为正数，因此图象是反比例函数在第一象限的分支。解题时先根据题中给出的S、p的对应值求出恒定压力F，得到p与S的函数解析式，再代入特殊值验证图象上的点，逐一排除错误选项即可。
【解析】
根据压强公式，恒定压力F下p与S满足关系：$p=\frac{F}{S}$（$S＞0,p＞0$），属于反比例函数。
将$S=0.5\mathrm{m}^2$，$p=20\mathrm{Pa}$代入公式，可得：
$F=pS=20×0.5=10\mathrm{N}$
因此p与S的函数解析式为$p=\frac{10}{S}$（$S＞0$）。
代入$S=0.1\mathrm{m}^2$，得$p=\frac{10}{0.1}=100\mathrm{Pa}$，即点$(0.1,100)$在函数图象上。
对选项逐一判断：
B选项：$S=0.1\mathrm{m}^2$时对应p大于100Pa，不符合，排除；
C选项：$S=0.1\mathrm{m}^2$时对应p小于100Pa，不符合，排除；
D选项：$S=0.2\mathrm{m}^2$时对应p为100Pa，代入解析式得$p=\frac{10}{0.2}=50\mathrm{Pa}≠100\mathrm{Pa}$，不符合，排除；
A选项：图象是第一象限的反比例函数分支，且过点$(0.1,100)$，符合要求。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的应用，反比例函数的图象，压强计算公式
【点评】
本题结合物理知识考查反比例函数的图象与性质，解题核心是先推导函数解析式，再通过特殊点验证筛选正确图象，需要注意自变量和函数值的取值范围都是正数。
【难度系数】
0.7
3. 我们平时所说的“盐水”，指的是含有氯化钠的水溶液.如图27.3-12，用四个点分别表示甲、乙、丙、丁四瓶
图27.3-12
盐水的浓度$y$与盐水的质量$x$的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上.已知盐水的浓度$=\dfrac{氯化钠的质量}{盐水的质量} × 100\%$，则这四瓶盐水中含氯化钠质量最多的是().
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
图27.3-12
盐水的浓度$y$与盐水的质量$x$的对应关系（盐水处于不饱和状态），其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上.已知盐水的浓度$=\dfrac{氯化钠的质量}{盐水的质量} × 100\%$，则这四瓶盐水中含氯化钠质量最多的是().
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
解析
【分析】
要判断哪瓶盐水含氯化钠质量最多，首先根据浓度公式推导氯化钠质量的表达式：由浓度$ y=\frac{氯化钠质量}{盐水质量x} $，可得氯化钠质量$ m=xy $，因此问题转化为找四个点中$ xy $乘积最大的点。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足$ xy=k $（k为定值），即乙、丁的氯化钠质量相等。接下来根据点与反比例函数图象的位置关系判断$ xy $的大小：点在反比例函数图象上方时，$ xy $大于该函数的k值；点在图象下方时，$ xy $小于该函数的k值，由此即可比较四瓶盐水的氯化钠质量。
【解析】
根据浓度公式变形可得：氯化钠质量$ m = y· x $。
设乙、丁所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k＞0) $，则对乙、丁两点均满足$ xy=k $，即乙、丁的氯化钠质量均为k。
观察图象：
1. 丙点在乙所在反比例函数图象的上方：取与丙横坐标相同的点在该反比例函数上的纵坐标小于丙的纵坐标，因此丙的$ xy＞k $，即丙的氯化钠质量大于乙、丁；
2. 甲点在乙所在反比例函数图象的下方：取与甲横坐标相同的点在该反比例函数上的纵坐标大于甲的纵坐标，因此甲的$ xy＜k $，即甲的氯化钠质量小于乙、丁。
综上，丙瓶含氯化钠质量最多。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，核心是将所求的氯化钠质量转化为反比例函数中$ k=xy $的形式，通过点和图象的位置关系判断k值大小即可解题，解题关键是理解反比例函数中k的几何意义在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
要判断哪瓶盐水含氯化钠质量最多，首先根据浓度公式推导氯化钠质量的表达式：由浓度$ y=\frac{氯化钠质量}{盐水质量x} $，可得氯化钠质量$ m=xy $，因此问题转化为找四个点中$ xy $乘积最大的点。已知乙、丁在同一反比例函数图象上，反比例函数满足$ xy=k $（k为定值），即乙、丁的氯化钠质量相等。接下来根据点与反比例函数图象的位置关系判断$ xy $的大小：点在反比例函数图象上方时，$ xy $大于该函数的k值；点在图象下方时，$ xy $小于该函数的k值，由此即可比较四瓶盐水的氯化钠质量。
【解析】
根据浓度公式变形可得：氯化钠质量$ m = y· x $。
设乙、丁所在反比例函数的解析式为$ y=\frac{k}{x}(k＞0) $，则对乙、丁两点均满足$ xy=k $，即乙、丁的氯化钠质量均为k。
观察图象：
1. 丙点在乙所在反比例函数图象的上方：取与丙横坐标相同的点在该反比例函数上的纵坐标小于丙的纵坐标，因此丙的$ xy＞k $，即丙的氯化钠质量大于乙、丁；
2. 甲点在乙所在反比例函数图象的下方：取与甲横坐标相同的点在该反比例函数上的纵坐标大于甲的纵坐标，因此甲的$ xy＜k $，即甲的氯化钠质量小于乙、丁。
综上，丙瓶含氯化钠质量最多。
【答案】
C
【知识点】
反比例函数的性质，反比例函数的实际应用
【点评】
本题结合生活实际考查反比例函数的应用，核心是将所求的氯化钠质量转化为反比例函数中$ k=xy $的形式，通过点和图象的位置关系判断k值大小即可解题，解题关键是理解反比例函数中k的几何意义在实际问题中的应用。
【难度系数】
0.7
4. 如图27.3-13所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与点O的距离x（单位：cm），观察弹簧测力计的示数y（单位：N）的变化情况.实验数据记录如下：
则y关于x之间的函数解析式为
则y关于x之间的函数解析式为
$y=\dfrac{300}{x}$
.答案
4. $y=\dfrac{300}{x}$
解析
【分析】
解题时首先结合杠杆平衡条件分析变量关系：杠杆平衡时满足“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，本题左侧重物重力、重物到中点O的距离均为固定值，因此二者的乘积为定值，可推出弹簧测力计示数y与对应力臂x的乘积也为定值，即y与x成反比例函数关系。接下来设出反比例函数的一般形式，代入实验数据求出比例系数，即可得到函数解析式。
【解析】
解：根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂。
∵ 左侧重物A的重力、B点到O点的距离均为定值，
∴ 左侧力与力臂的乘积为定值，因此右侧y与x的乘积也为定值，y是x的反比例函数，设解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0) $。
代入任意一组实验数据，可计算得$ k=xy=300 $，
因此y关于x的函数解析式为$ y=\frac{300}{x} $。
【答案】
$ y=\dfrac{300}{x} $
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合物理杠杆平衡场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是先判断变量的反比例关系，再用待定系数法求比例系数，体现了跨学科知识的融合运用。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合杠杆平衡条件分析变量关系：杠杆平衡时满足“动力×动力臂=阻力×阻力臂”，本题左侧重物重力、重物到中点O的距离均为固定值，因此二者的乘积为定值，可推出弹簧测力计示数y与对应力臂x的乘积也为定值，即y与x成反比例函数关系。接下来设出反比例函数的一般形式，代入实验数据求出比例系数，即可得到函数解析式。
【解析】
解：根据杠杆平衡条件：动力×动力臂=阻力×阻力臂。
∵ 左侧重物A的重力、B点到O点的距离均为定值，
∴ 左侧力与力臂的乘积为定值，因此右侧y与x的乘积也为定值，y是x的反比例函数，设解析式为$ y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0) $。
代入任意一组实验数据，可计算得$ k=xy=300 $，
因此y关于x的函数解析式为$ y=\frac{300}{x} $。
【答案】
$ y=\dfrac{300}{x} $
【知识点】
反比例函数的应用；待定系数法求函数解析式
【点评】
本题结合物理杠杆平衡场景考查反比例函数的实际应用，解题核心是先判断变量的反比例关系，再用待定系数法求比例系数，体现了跨学科知识的融合运用。
【难度系数】
0.8
5. 综合与实践.
【问题情境】物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动发出声音，大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究.
【实验操作】将吸管不断剪短，用软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表.
【数学思考】根据上述信息，解决下列问题.
(1)观察振动频率y随吸管长度x变化的规律，可知y是x的
(2)若一根同型号吸管的长为40 mm，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为
(3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过20 000 Hz. 若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？
【问题情境】物理课上，同学们发现将吸管一端密封，然后对着吸管的另一端管口吹气，管内空气柱振动发出声音，大家利用专业软件对某型号吸管长度与振动频率的关系展开探究.
【实验操作】将吸管不断剪短，用软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表.
【数学思考】根据上述信息，解决下列问题.
(1)观察振动频率y随吸管长度x变化的规律，可知y是x的
反比例
函数(填“一次”或“反比例”)，y关于x的函数解析式为$y=\frac{87000}{x}$
.(2)若一根同型号吸管的长为40 mm，按同样方式吹此吸管，发出声音的振动频率为
2 175
Hz.(3)已知人耳通常能够感知的声波频率不超过20 000 Hz. 若要用此型号吸管吹出人耳能正常感知的声音，则吸管的长度最短应是多少？
答案
5. (1) 反比例 $y=\frac{87000}{x}$
(2) 2 175
(3) 将$y=20\ 000$代入$y=\frac{87\ 000}{x}$，可得$x=4.35$. 因为$y$随着$x$的增大而减小，所以$y≤ 20\ 000$时，$\therefore x≥ 4.35$. $\therefore$吸管的长度最短为4.35。
(2) 2 175
(3) 将$y=20\ 000$代入$y=\frac{87\ 000}{x}$，可得$x=4.35$. 因为$y$随着$x$的增大而减小，所以$y≤ 20\ 000$时，$\therefore x≥ 4.35$. $\therefore$吸管的长度最短为4.35。
解析
【分析】
第(1)问：判断函数类型时，一次函数的x与y满足线性关系，反比例函数的x和y乘积为定值，我们先计算表格中每组x和y的乘积，发现乘积均相等，即可判断为反比例函数，再代入一组数值求出比例系数就能得到函数解析式。第(2)问：直接将x=40代入已求得的反比例函数解析式，计算得到对应y值即可。第(3)问：首先明确“频率不超过20000Hz”即y≤20000，结合反比例函数k＞0时，在x＞0区间y随x增大而减小的性质，代入y=20000求出对应x值，即可得到吸管的最小长度。
【解析】
(1) 计算表格中每组x与y的乘积：
$200×435=87000$，$150×580=87000$，$120×725=87000$，其余几组计算后乘积均为87000，即$xy=87000$，符合反比例函数特征，因此y是x的反比例函数。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=200,y=435$代入得$435=\frac{k}{200}$，解得$k=87000$，故解析式为$y=\frac{87000}{x}$。
(2) 当$x=40\ \mathrm{mm}$时，代入$y=\frac{87000}{x}$得：
$y=\frac{87000}{40}=2175\ \mathrm{Hz}$。
(3) 由题意得振动频率不超过20000Hz，即$y≤20000$，代入解析式得：
$\frac{87000}{x}≤20000$
吸管长度x＞0，且反比例函数$y=\frac{87000}{x}$中$k=87000＞0$，在x＞0时y随x的增大而减小，因此满足$y≤20000$时，$x≥\frac{87000}{20000}=4.35\ \mathrm{mm}$。
【答案】
(1) 反比例；$\boldsymbol{y=\frac{87000}{x}}$
(2) $\boldsymbol{2175}$
(3) $\boldsymbol{4.35\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数解析式；反比例函数的应用
【点评】本题结合物理声学实验考查反比例函数的实际应用，解题的关键是通过数据特征判断函数类型，求出解析式后结合函数性质和实际意义求解取值范围。
【难度系数】
0.7
第(1)问：判断函数类型时，一次函数的x与y满足线性关系，反比例函数的x和y乘积为定值，我们先计算表格中每组x和y的乘积，发现乘积均相等，即可判断为反比例函数，再代入一组数值求出比例系数就能得到函数解析式。第(2)问：直接将x=40代入已求得的反比例函数解析式，计算得到对应y值即可。第(3)问：首先明确“频率不超过20000Hz”即y≤20000，结合反比例函数k＞0时，在x＞0区间y随x增大而减小的性质，代入y=20000求出对应x值，即可得到吸管的最小长度。
【解析】
(1) 计算表格中每组x与y的乘积：
$200×435=87000$，$150×580=87000$，$120×725=87000$，其余几组计算后乘积均为87000，即$xy=87000$，符合反比例函数特征，因此y是x的反比例函数。
设反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，将$x=200,y=435$代入得$435=\frac{k}{200}$，解得$k=87000$，故解析式为$y=\frac{87000}{x}$。
(2) 当$x=40\ \mathrm{mm}$时，代入$y=\frac{87000}{x}$得：
$y=\frac{87000}{40}=2175\ \mathrm{Hz}$。
(3) 由题意得振动频率不超过20000Hz，即$y≤20000$，代入解析式得：
$\frac{87000}{x}≤20000$
吸管长度x＞0，且反比例函数$y=\frac{87000}{x}$中$k=87000＞0$，在x＞0时y随x的增大而减小，因此满足$y≤20000$时，$x≥\frac{87000}{20000}=4.35\ \mathrm{mm}$。
【答案】
(1) 反比例；$\boldsymbol{y=\frac{87000}{x}}$
(2) $\boldsymbol{2175}$
(3) $\boldsymbol{4.35\ \mathrm{mm}}$
【知识点】
反比例函数的判定；反比例函数解析式；反比例函数的应用
【点评】本题结合物理声学实验考查反比例函数的实际应用，解题的关键是通过数据特征判断函数类型，求出解析式后结合函数性质和实际意义求解取值范围。
【难度系数】
0.7
