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已知关于x的一次函数$y=(m-1)x+7-3m$。
【基础设问】
(1)当m满足什么条件时,它的图象经过原点?
(2)当m满足什么条件时,它的图象平行于直线$y=-x+8$?
(3)当m满足什么条件时,y随x的增大而减小?

(1)因为一次函数$y=(m-1)x+7-3m$的图象经过原点，所以$7-3m=0$，且$m-1≠0$，所以$m=\frac{7}{3}$。
(2)因为一次函数$y=(m-1)x+7-3m$的图象平行于直线$y=-x+8$，所以$m-1=-1$，且$7-3m≠8$，所以$m=0$。
(3)因为一次函数$y=(m-1)x+7-3m$中，y随x的增大而减小，所以$m-1＜0$，所以$m＜1$。

(4)若 $ m = -\dfrac{1}{3} $，如图，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A，B，M是OB上一点，若将△ABM沿直线AM折叠，使点B恰好落在x轴上的点$ B_1 $处。
①求A，B两点的坐标及$ △ AOB $的面积。
②一次函数的图象经过第象限。
③点$ (-3,4) $（填“在”或“不在”）该一次函数的图象上。

答案P40
④求直线AM的函数表达式。
【能力设问】
(5)在(4)的条件下，若一次函数的图象平移后与x轴、y轴分别交于P，Q两点，且$ BA = PA $，求点P的坐标和直线PQ的函数表达式。
【拓展设问】
(6)在(4)的条件下，过$ △ AOB $的顶点能否画出直线把$ △ AOB $分成面积相等的两部分？若能，请求出所有满足条件的直线的函数表达式；若不能，请说明理由。

(4)①当$m = -\frac{1}{3}$时，一次函数的表达式为$y = -\frac{4}{3}x + 8$。
令$x=0$，得$y = -\frac{4}{3}x + 8 = 8$，所以点B的坐标为$(0,8)$，
令$y = -\frac{4}{3}x + 8 = 0$，解得$x=6$，所以点A的坐标为$(6,0)$，
所以$OB=8$，$OA=6$，所以$△AOB$的面积为$\frac{1}{2}×OA×OB=24$。
②一、二、四
③不在
④因为$OB=8$，$OA=6$，$∠AOB=90°$，所以$AB=10$。
由折叠得，$AB_1=AB=10$，
所以$OB_1=AB_1-OA=10-6=4$。
设$MO=a$，则$MB=MB_1=8-a$。
在$Rt△OMB_1$中，$OM^2 + OB_1^2 = B_1M^2$，
即$a^2 + 4^2 = (8-a)^2$，解得$a=3$，所以点M的坐标为$(0,3)$。
设直线AM的函数表达式为$y=kx+b$，
把$(0,3)$代入，得$b=3$，
把$(6,0)$代入，得$6k+3=0$，所以$k = -\frac{1}{2}$，
所以直线AM的函数表达式为$y = -\frac{1}{2}x + 3$。
(5)因为点$A(6,0)$，点$B(0,8)$，$AB=10$，$BA=PA$，且点P在x轴上，
所以点P的坐标为$(-4,0)$或$(16,0)$。
由题意可设直线PQ的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x + c$。
当点P的坐标为$(-4,0)$时，$0 = -\frac{4}{3}×(-4) + c$，
解得$c = -\frac{16}{3}$；
当点P的坐标为$(16,0)$时，$0 = -\frac{4}{3}×16 + c$，
解得$c = \frac{64}{3}$。
综上，直线PQ的函数表达式为$y = -\frac{4}{3}x - \frac{16}{3}$或$y = -\frac{4}{3}x + \frac{64}{3}$。
(6)因为$A(6,0)$，$B(0,8)$，$O(0,0)$，设AB的中点为D，OA的中点为E，OB的中点为F，所以$D(3,4)$，$E(3,0)$，$F(0,4)$。
把$△AOB$分成面积相等的两部分的直线有以下三条：
①当所画直线过点O，D时，
设直线OD的函数表达式为$y=k_1x$，
将$D(3,4)$的坐标代入，得$4=3k_1$，解得$k_1=\frac{4}{3}$，
所以直线OD的函数表达式为$y=\frac{4}{3}x$。
②当所画直线过点B，E时，
设直线BE的函数表达式为$y=px+8$，
将$E(3,0)$的坐标代入，得$0=3p+8$，解得$p=-\frac{8}{3}$，
所以直线BE的函数表达式为$y = -\frac{8}{3}x + 8$。
③当所画直线过点A，F时，
设直线AF的函数表达式为$y=qx+4$，
将$A(6,0)$的坐标代入，得$0=6q+4$，解得$q=-\frac{2}{3}$，
所以直线AF的函数表达式为$y = -\frac{2}{3}x + 4$。