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7. 已知$ a $，$ b $是两个连续的整数.若$ a＜-\sqrt{19}＜b $，则$ a $，$ b $的值分别为（
A.$-4$，$-5$
B.$-5$，$-4$
C.$-6$，$-5$
D.$-7$，$-6$
B
）A.$-4$，$-5$
B.$-5$，$-4$
C.$-6$，$-5$
D.$-7$，$-6$
答案
7. B
解析
【分析】
要确定a、b的值，首先需要估算出$-\sqrt{19}$的取值范围。解题思路是先找到与19相邻的两个完全平方数，确定正的$\sqrt{19}$的整数范围，再根据不等式的性质，将不等式两边同乘$-1$（注意不等号方向改变），得到$-\sqrt{19}$的取值范围，最后结合a、b是连续整数的条件，即可求出a、b的值。
【解析】
首先找到与19相邻的两个正整数的平方：
∵ $16 ＜ 19 ＜ 25$
对不等式各项同时开算术平方根，可得：
$\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，因此：
$-5 ＜ -\sqrt{19} ＜ -4$
已知$a ＜ -\sqrt{19} ＜ b$，且a、b是连续整数，所以$a=-5$，$b=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 不等式的基本性质
3. 算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的取值范围估算，解题时要注意对负无理数估算时不等号方向的变化，熟练记忆常见完全平方数是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
要确定a、b的值，首先需要估算出$-\sqrt{19}$的取值范围。解题思路是先找到与19相邻的两个完全平方数，确定正的$\sqrt{19}$的整数范围，再根据不等式的性质，将不等式两边同乘$-1$（注意不等号方向改变），得到$-\sqrt{19}$的取值范围，最后结合a、b是连续整数的条件，即可求出a、b的值。
【解析】
首先找到与19相邻的两个正整数的平方：
∵ $16 ＜ 19 ＜ 25$
对不等式各项同时开算术平方根，可得：
$\sqrt{16} ＜ \sqrt{19} ＜ \sqrt{25}$，即 $4 ＜ \sqrt{19} ＜ 5$
不等式两边同时乘以$-1$，不等号方向改变，因此：
$-5 ＜ -\sqrt{19} ＜ -4$
已知$a ＜ -\sqrt{19} ＜ b$，且a、b是连续整数，所以$a=-5$，$b=-4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 不等式的基本性质
3. 算术平方根的概念
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的取值范围估算，解题时要注意对负无理数估算时不等号方向的变化，熟练记忆常见完全平方数是快速解题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 如图，桌面上放着一个体积为216 $\mathrm{cm}^3$ 的魔方，则桌面被覆盖的面积为 （
A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$36\ \mathrm{cm}^2$
D.$64\ \mathrm{cm}^2$
C
）A.$4\ \mathrm{cm}^2$
B.$16\ \mathrm{cm}^2$
C.$36\ \mathrm{cm}^2$
D.$64\ \mathrm{cm}^2$
答案
8. C
解析
【分析】
解题时先明确魔方为正方体，已知正方体体积，第一步根据正方体体积公式求出棱长，第二步，桌面被魔方覆盖的面积就是正方体底面的面积，代入棱长计算正方形面积即可得到结果。
【解析】
设正方体魔方的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，已知魔方体积为$216\ \mathrm{cm}^3$，可得：
$a^3=216$
对216开立方得$a=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$
桌面被覆盖的面积为正方体底面的面积，根据正方形面积公式$S=a^2$，代入得：
$S=6×6=36\ \mathrm{cm}^2$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，正方形面积计算，立方根运算
【点评】
本题结合生活中常见的魔方设计题目，考查立体图形的基础计算，解题的关键是明确覆盖面积对应正方体的底面积，牢记相关公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.85
解题时先明确魔方为正方体，已知正方体体积，第一步根据正方体体积公式求出棱长，第二步，桌面被魔方覆盖的面积就是正方体底面的面积，代入棱长计算正方形面积即可得到结果。
【解析】
设正方体魔方的棱长为$a\ \mathrm{cm}$，根据正方体体积公式$V=a^3$，已知魔方体积为$216\ \mathrm{cm}^3$，可得：
$a^3=216$
对216开立方得$a=\sqrt[3]{216}=6\ \mathrm{cm}$
桌面被覆盖的面积为正方体底面的面积，根据正方形面积公式$S=a^2$，代入得：
$S=6×6=36\ \mathrm{cm}^2$
所以本题选C。
【答案】
C
【知识点】
正方体体积计算，正方形面积计算，立方根运算
【点评】
本题结合生活中常见的魔方设计题目，考查立体图形的基础计算，解题的关键是明确覆盖面积对应正方体的底面积，牢记相关公式即可轻松作答。
【难度系数】
0.85
9. 有一个三角形纸片ABC，已知$∠ B=∠ C=α$. 按照下列方案用剪刀沿着箭头方向剪开，所剪下的两个三角形纸片不全等的是（
D
）答案
9. D
解析
【分析】
已知△ABC中∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形，要判断剪下的两个三角形是否全等，需结合八年级所学的三角形全等判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析每个选项中两个三角形的边角对应关系，特别注意SSA不能判定三角形全等，最终找出不全等的选项即可。
【解析】
由∠B=∠C可得△ABC为等腰三角形，AB=AC，对各选项逐一判断：
1. 选项A：剪下的两个三角形中，夹∠B的两边分别为3、4，夹∠C的两边分别为3、4，且∠B=∠C，满足SAS全等判定，两三角形全等，不符合题意。
2. 选项B：剪下的两个三角形中，夹∠B的两边分别为4、3.5，夹∠C的两边分别为4、3.5，且∠B=∠C，满足SAS全等判定，两三角形全等，不符合题意。
3. 选项C：剪下的两个三角形中，∠B=∠C=α，结合平角为180°可推出两个三角形另有一组角对应相等，且存在一组边对应相等，满足AAS全等判定，两三角形全等，不符合题意。
4. 选项D：剪下的两个三角形中，仅存在∠B=∠C、一组边长为3.5相等，但相等的边不是对应相等角的夹边，属于SSA情况，无法判定三角形全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题时要准确识别每个三角形的边角对应关系，牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免因混淆判定条件错选。
【难度系数】
0.7
已知△ABC中∠B=∠C，说明△ABC是等腰三角形，要判断剪下的两个三角形是否全等，需结合八年级所学的三角形全等判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS），逐一分析每个选项中两个三角形的边角对应关系，特别注意SSA不能判定三角形全等，最终找出不全等的选项即可。
【解析】
由∠B=∠C可得△ABC为等腰三角形，AB=AC，对各选项逐一判断：
1. 选项A：剪下的两个三角形中，夹∠B的两边分别为3、4，夹∠C的两边分别为3、4，且∠B=∠C，满足SAS全等判定，两三角形全等，不符合题意。
2. 选项B：剪下的两个三角形中，夹∠B的两边分别为4、3.5，夹∠C的两边分别为4、3.5，且∠B=∠C，满足SAS全等判定，两三角形全等，不符合题意。
3. 选项C：剪下的两个三角形中，∠B=∠C=α，结合平角为180°可推出两个三角形另有一组角对应相等，且存在一组边对应相等，满足AAS全等判定，两三角形全等，不符合题意。
4. 选项D：剪下的两个三角形中，仅存在∠B=∠C、一组边长为3.5相等，但相等的边不是对应相等角的夹边，属于SSA情况，无法判定三角形全等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
三角形全等的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，解题时要准确识别每个三角形的边角对应关系，牢记SSA不能作为三角形全等的判定依据，避免因混淆判定条件错选。
【难度系数】
0.7
10. 如图，$AB=AC$，$∠ B=∠ ACB=45°$，$D$，$E$是$BC$上两点，且$∠ DAE=45°$，过点$A$作$AF⊥ AD$，垂足为$A$，过点$C$作$CF⊥ BC$，垂足为$C$，交$AF$于点$F$，连接$EF$。下列结论中，不正确的是（
A.$△ ABD≌△ ACF$
B.$DE=EF$
C.若$S_{△ ADE}=10$，$S_{△ CEF}=4$，则$S_{△ ABC}=24$
D.$BD+CE=DE$
D
）A.$△ ABD≌△ ACF$
B.$DE=EF$
C.若$S_{△ ADE}=10$，$S_{△ CEF}=4$，则$S_{△ ABC}=24$
D.$BD+CE=DE$
答案
10. D
解析
【分析】
首先从已知条件出发，先根据等腰直角三角形的性质推导角的等量关系，先判断△ABD和△ACF是否全等；再利用全等得到的边相等，结合∠DAE=45°证明△ADE和△AFE全等，判断DE和EF的关系；接着根据全等三角形面积相等的性质推导△ABC的面积；最后利用三角形三边关系判断线段和的结论是否正确，逐一验证选项即可。
【解析】
解：① 已知$AB=AC$，$∠B=∠ACB=45°$，可得$∠BAC=90°$。
$\because AF⊥AD$，$CF⊥BC$，$\therefore ∠DAF=∠DCF=90°$，
$\therefore ∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF=90°$，即$∠BAD=∠CAF$，
$∠ACF=∠DCF-∠ACB=90°-45°=45°=∠B$，
在$△ ABD$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠B=∠ACF \\AB=AC \\∠BAD=∠CAF\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{ASA})$，故A选项正确，不符合题意。
② 由①得$AD=AF$，$BD=CF$，
$\because ∠DAE=45°$，$∠DAF=90°$，$\therefore ∠EAF=∠DAF-∠DAE=45°=∠DAE$，
在$△ ADE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}AD=AF \\∠DAE=∠FAE \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=EF$，故B选项正确，不符合题意。
③ 由②得$S_{△ ADE}=S_{△ AFE}=10$，
$\because S_{△ ACF}=S_{△ ABD}$，
$\therefore S_{△ ABD}+S_{△ AEC}=S_{△ ACF}+S_{△ AEC}=S_{△ AFE}+S_{△ CEF}=10+4=14$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADE}+S_{△ AEC}=14+10=24$，故C选项正确，不符合题意。
④ 由①得$BD=CF$，在$△ ECF$中，根据三角形三边关系：$CF+CE＞EF$，
又$\because EF=DE$，$\therefore BD+CE＞DE$，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合选择题，需要结合全等三角形的判定和性质、三角形三边关系逐一分析选项，解题的关键是通过两次全等得到对应边、对应面积的等量关系，再结合性质推导结论。
【难度系数】
0.6
首先从已知条件出发，先根据等腰直角三角形的性质推导角的等量关系，先判断△ABD和△ACF是否全等；再利用全等得到的边相等，结合∠DAE=45°证明△ADE和△AFE全等，判断DE和EF的关系；接着根据全等三角形面积相等的性质推导△ABC的面积；最后利用三角形三边关系判断线段和的结论是否正确，逐一验证选项即可。
【解析】
解：① 已知$AB=AC$，$∠B=∠ACB=45°$，可得$∠BAC=90°$。
$\because AF⊥AD$，$CF⊥BC$，$\therefore ∠DAF=∠DCF=90°$，
$\therefore ∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF=90°$，即$∠BAD=∠CAF$，
$∠ACF=∠DCF-∠ACB=90°-45°=45°=∠B$，
在$△ ABD$和$△ ACF$中：
$\begin{cases}∠B=∠ACF \\AB=AC \\∠BAD=∠CAF\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌△ ACF(\mathrm{ASA})$，故A选项正确，不符合题意。
② 由①得$AD=AF$，$BD=CF$，
$\because ∠DAE=45°$，$∠DAF=90°$，$\therefore ∠EAF=∠DAF-∠DAE=45°=∠DAE$，
在$△ ADE$和$△ AFE$中：
$\begin{cases}AD=AF \\∠DAE=∠FAE \\AE=AE\end{cases}$
$\therefore △ ADE≌△ AFE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore DE=EF$，故B选项正确，不符合题意。
③ 由②得$S_{△ ADE}=S_{△ AFE}=10$，
$\because S_{△ ACF}=S_{△ ABD}$，
$\therefore S_{△ ABD}+S_{△ AEC}=S_{△ ACF}+S_{△ AEC}=S_{△ AFE}+S_{△ CEF}=10+4=14$，
$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADE}+S_{△ AEC}=14+10=24$，故C选项正确，不符合题意。
④ 由①得$BD=CF$，在$△ ECF$中，根据三角形三边关系：$CF+CE＞EF$，
又$\because EF=DE$，$\therefore BD+CE＞DE$，故D选项错误，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何综合选择题，需要结合全等三角形的判定和性质、三角形三边关系逐一分析选项，解题的关键是通过两次全等得到对应边、对应面积的等量关系，再结合性质推导结论。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共5个小题，每小题2分，共10分)
11. 判断$\sqrt{54}$在哪两个相邻的整数之间：
11. 判断$\sqrt{54}$在哪两个相邻的整数之间：
7和8
。答案
11. 7和8
解析
【分析】
要判断$\sqrt{54}$在哪两个相邻整数之间，核心思路是先找到与被开方数54相邻的两个正完全平方数，再利用算术平方根的性质：非负数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大，对三个数同时取算术平方根，就能得到$\sqrt{54}$的取值范围，进而确定相邻整数。
【解析】
解：$\because 7^2=49$，$8^2=64$，
且$49＜54＜64$，
根据算术平方根的性质可得：$\sqrt{49}＜\sqrt{54}＜\sqrt{64}$，
即$7＜\sqrt{54}＜8$，
因此$\sqrt{54}$在相邻整数7和8之间。
【答案】
7和8
【知识点】
算术平方根性质，无理数估算，完全平方数
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要判断$\sqrt{54}$在哪两个相邻整数之间，核心思路是先找到与被开方数54相邻的两个正完全平方数，再利用算术平方根的性质：非负数的被开方数越大，对应的算术平方根也越大，对三个数同时取算术平方根，就能得到$\sqrt{54}$的取值范围，进而确定相邻整数。
【解析】
解：$\because 7^2=49$，$8^2=64$，
且$49＜54＜64$，
根据算术平方根的性质可得：$\sqrt{49}＜\sqrt{54}＜\sqrt{64}$，
即$7＜\sqrt{54}＜8$，
因此$\sqrt{54}$在相邻整数7和8之间。
【答案】
7和8
【知识点】
算术平方根性质，无理数估算，完全平方数
【点评】
本题属于基础常考题，解题的关键是准确找到与被开方数相邻的两个完全平方数，结合算术平方根的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
12. 比较大小：$2\sqrt{3}$
＜
$\sqrt{13}$.（填 “＞” “＜” 或 “=”）答案
12. ＜
解析
【分析】
要比较两个正二次根式的大小，可利用“两个正数，平方越大，原数越大”的性质，通过平方法去掉根号，将无理数的大小比较转化为有理数的大小比较，更简便。具体步骤为：分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，最终推导出原数的大小关系。
【解析】
分别计算两个数的平方：
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 × (\sqrt{3})^2 = 4 × 3 = 12$
$(\sqrt{13})^2 = 13$
因为$12 ＜ 13$，且$2\sqrt{3}$和$\sqrt{13}$都是正数，正数中平方更大的数本身更大，所以$2\sqrt{3} ＜ \sqrt{13}$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次根式大小比较
2. 二次根式乘方运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决这类问题的常用技巧，解题时要注意只有当两个数均为正数时，才能通过平方的大小反推原数的大小，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.9
要比较两个正二次根式的大小，可利用“两个正数，平方越大，原数越大”的性质，通过平方法去掉根号，将无理数的大小比较转化为有理数的大小比较，更简便。具体步骤为：分别计算两个数的平方，再比较平方结果的大小，最终推导出原数的大小关系。
【解析】
分别计算两个数的平方：
$(2\sqrt{3})^2 = 2^2 × (\sqrt{3})^2 = 4 × 3 = 12$
$(\sqrt{13})^2 = 13$
因为$12 ＜ 13$，且$2\sqrt{3}$和$\sqrt{13}$都是正数，正数中平方更大的数本身更大，所以$2\sqrt{3} ＜ \sqrt{13}$。
【答案】
＜
【知识点】
1. 二次根式大小比较
2. 二次根式乘方运算
【点评】
本题是二次根式大小比较的基础题型，平方法是解决这类问题的常用技巧，解题时要注意只有当两个数均为正数时，才能通过平方的大小反推原数的大小，避免符号判断错误。
【难度系数】
0.9
13. 若关于x的分式方程$\frac{2}{x-3}+\frac{x+m}{3-x}=2$有增根，则m的值为
-1
。答案
13. -1
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的两个性质：①增根会使原分式方程的分母为0；②增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题按三步进行：第一步令原方程分母为0，求出增根；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-3$和$3-x$，令分母为0，即$x-3=0$，解得增根为$x=3$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，注意$\frac{x+m}{3-x}=-\frac{x+m}{x-3}$，去分母后得：
$2 - (x + m) = 2(x - 3)$
3. 代入增根求m：把$x=3$代入上述整式方程，得：
$2 - (3 + m) = 2×(3 - 3)$
化简得$2-3-m=0$，解得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式方程化整式方程
【点评】
本题是分式方程增根的典型应用题，解题核心是掌握增根的两个核心性质，去分母时要注意符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的两个性质：①增根会使原分式方程的分母为0；②增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根。解题按三步进行：第一步令原方程分母为0，求出增根；第二步将分式方程去分母转化为整式方程；第三步把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-3$和$3-x$，令分母为0，即$x-3=0$，解得增根为$x=3$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘最简公分母$(x-3)$，注意$\frac{x+m}{3-x}=-\frac{x+m}{x-3}$，去分母后得：
$2 - (x + m) = 2(x - 3)$
3. 代入增根求m：把$x=3$代入上述整式方程，得：
$2 - (3 + m) = 2×(3 - 3)$
化简得$2-3-m=0$，解得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
1. 分式方程增根的定义
2. 分式方程化整式方程
【点评】
本题是分式方程增根的典型应用题，解题核心是掌握增根的两个核心性质，去分母时要注意符号变化，避免因符号错误导致计算失误。
【难度系数】
0.7
