2. 计算：
(1) $5x(2x^2 - 3x + 4)$;
(2) $(8x^2 + 4y - 3y^2) · (-\dfrac{1}{2}xy)^3$.

【解】(1) 原式$=5x · 2x^2 +5x · (-3x)+5x · 4=10x^3-15x^2+20x$。
(2) 原式$=(8x^2 + 4y - 3y^2) · (-\frac{1}{8}x^3y^3)=-x^5y^3-\frac{1}{2}x^3y^4+\frac{3}{8}x^3y^5$。

【分析】
这两道题均考查整式乘法运算：
(1) 属于单项式乘多项式的基础运算，解题思路是按照单项式乘多项式的法则，用单项式5x分别乘多项式$2x^2-3x+4$的每一项，再把所有乘积相加，计算时注意系数相乘和同底数幂的乘法规则，同时注意符号处理。
(2) 需先进行乘方运算，先根据积的乘方法则计算$(-\dfrac{1}{2}xy)^3$得到单项式，再用得到的单项式乘多项式$8x^2+4y-3y^2$的每一项，合并结果即可，运算时要注意负号的运算规则。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式法则展开计算：
原式$=5x · 2x^2 +5x · (-3x)+5x · 4$
分别计算每一项：$5x·2x^2=10x^3$，$5x·(-3x)=-15x^2$，$5x·4=20x$
因此结果为$10x^3-15x^2+20x$。
(2) 先计算乘方，再进行单项式乘多项式运算：
首先计算$(-\dfrac{1}{2}xy)^3=(-\dfrac{1}{2})^3·x^3·y^3=-\dfrac{1}{8}x^3y^3$
再用所得单项式乘多项式：
原式$=(8x^2 + 4y - 3y^2) · (-\dfrac{1}{8}x^3y^3)$
$=8x^2·(-\dfrac{1}{8}x^3y^3)+4y·(-\dfrac{1}{8}x^3y^3)+(-3y^2)·(-\dfrac{1}{8}x^3y^3)$
分别计算每一项：$8x^2·(-\dfrac{1}{8}x^3y^3)=-x^5y^3$，$4y·(-\dfrac{1}{8}x^3y^3)=-\dfrac{1}{2}x^3y^4$，$(-3y^2)·(-\dfrac{1}{8}x^3y^3)=\dfrac{3}{8}x^3y^5$
因此结果为$-x^5y^3-\dfrac{1}{2}x^3y^4+\dfrac{3}{8}x^3y^5$。
【答案】
(1) $\boxed{10x^3-15x^2+20x}$
(2) $\boxed{-x^5y^3-\dfrac{1}{2}x^3y^4+\dfrac{3}{8}x^3y^5}$
【知识点】
1. 单项式与多项式相乘
2. 积的乘方运算
3. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础练习题，核心考查运算法则的掌握程度，解题的易错点在于符号处理、系数计算以及指数的运算，平时练习时要养成细心计算的习惯，避免低级错误。
【难度系数】
0.8

【典型例题2】先化简，再求值：
$[xy(x^2 - 3y) + 3xy^2] · (-2xy) + x^3y^2(2x - y)$，其中 $ x = -\dfrac{1}{2}, y = -2 $。
思路导引 先利用单项式乘多项式的法则进行化简，再代入数计算求值。
【解】原式 $ = (x^3y - 3xy^2 + 3xy^2) · (-2xy) + 2x^4y^2 - x^3y^3 $
$ = -2x^4y^2 + 2x^4y^2 - x^3y^3 $
$ = -x^3y^3 $。
当 $ x = -\dfrac{1}{2}, y = -2 $ 时，原式 $ = - ( -\dfrac{1}{2} )^3 × (-2)^3 = -1 $。
规律方法 进行单项式与多项式相乘的综合运算时，应注意运算顺序，有括号先算括号里面的，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果。

解：
原式$=(x^3y - 3xy^2 + 3xy^2)·(-2xy) + 2x^4y^2 - x^3y^3$
$=-2x^4y^2 + 2x^4y^2 - x^3y^3$
$=-x^3y^3$
当$x=-\dfrac{1}{2}, y=-2$时，
原式$=-(-\dfrac{1}{2})^3×(-2)^3$
$=-(-\dfrac{1}{8})×(-8)$
$=-1$

【分析】
本题属于整式化简求值类题目，解题思路分为三步：第一步，遵循运算顺序先处理括号内的运算，利用单项式乘多项式法则展开中括号内的式子，合并同类项化简中括号部分；第二步，依次计算中括号与外侧单项式的乘积、以及后半部分的单项式乘多项式，再次合并同类项得到最简整式；第三步，将x、y的取值代入最简式计算结果，先化简再求值可大幅降低运算量，减少出错概率。
【解析】
先展开并化简原式：
$\begin{aligned}原式&=(x^3y - 3xy^2 + 3xy^2)·(-2xy) + 2x^4y^2 - x^3y^3\\&=x^3y·(-2xy) + 2x^4y^2 - x^3y^3\\&=-2x^4y^2 + 2x^4y^2 - x^3y^3\\&=-x^3y^3\end{aligned}$
将$x=-\dfrac{1}{2}, y=-2$代入最简式计算：
$\begin{aligned}原式&=-(-\dfrac{1}{2})^3×(-2)^3\\&=-(-\dfrac{1}{8})×(-8)\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
单项式乘多项式；整式混合运算；化简求值
【点评】
本题侧重考查整式运算的基本功，解题核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，严格遵循“有括号先算括号内、先乘除后加减”的运算顺序，合并同类项时要准确识别同类项，格外注意符号运算的准确性，先化简后代入求值是这类题的通用技巧，能有效提升运算效率和准确率。
【难度系数】
0.8

3.先化简,再求值:$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a + 4)$,其中$a=-2$.

【解】$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a + 4)=6a^3-12a^2+9a-6a^3-8a^2=-20a^2+9a$，
当$a=-2$时，原式$=-20×4-9×2=-98$。

【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路可分为两步：第一步先根据单项式乘多项式的运算法则去括号，注意单项式要与多项式的每一项分别相乘，同时留意符号变化；第二步合并同类项得到最简整式，再将a的取值代入最简式计算结果，相比直接代入原式计算更简便、不易出错。
【解析】
首先利用单项式乘多项式法则展开式子：
$3a(2a^2 - 4a + 3) - 2a^2(3a + 4)$
$=3a· 2a^2 + 3a· (-4a) + 3a· 3 + (-2a^2)· 3a + (-2a^2)· 4$
$=6a^3 - 12a^2 + 9a - 6a^3 - 8a^2$
然后合并同类项：
$=(6a^3 - 6a^3) + (-12a^2 - 8a^2) + 9a$
$=-20a^2 + 9a$
将$a=-2$代入化简后的式子：
原式$=-20× (-2)^2 + 9× (-2)$
$=-20× 4 - 18$
$=-80 - 18$
$=-98$
【答案】
$-98$
【知识点】
单项式乘多项式；合并同类项；整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础常规题型，重点考查单项式乘多项式的运算规则和化简求值的基本方法，计算时需注意不要漏乘多项式的项，同时要准确处理符号，是整式运算部分的高频基础考点。
【难度系数】
0.8

1.(2024·甘肃兰州中考)计算: $2a(a - 1) - 2a^2 =$ ()

A.$a$
B.$-a$
C.$2a$
D.$-2a$

1. D

【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路分为两步：①先根据单项式乘多项式的运算法则，将$2a(a-1)$展开，注意要用单项式乘多项式的每一项，不要漏乘；②将展开后的式子和原式中的$-2a^2$合并同类项，化简后得到结果，再匹配对应选项即可。
【解析】
第一步：计算单项式乘多项式部分，根据分配律展开：
$2a(a - 1) = 2a· a - 2a·1 = 2a^2 - 2a$
第二步：将展开结果代入原式，合并同类项：
$原式=2a^2 - 2a - 2a^2 = -2a$
因此计算结果对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则和合并同类项的方法，运算时需注意不要漏乘多项式的项，合并同类项时要注意符号，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.9

2.今天数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：$-3xy(4y - 2x - 1)=-12xy^2 + 6x^2y + □$，的地方被钢笔水弄污了，你认为内应填写（）

A.$3xy$
B.$-3xy$
C.$-1$
D.$1$

2. A

【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有的积相加。本题中只需将等号左侧的单项式乘多项式完整展开，再与右侧已知的项对比，即可求出被墨水污损的项。运算时要注意不要漏乘多项式的常数项，同时要准确处理符号。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则，将左侧式子展开：
$-3xy(4y - 2x - 1)$
$=-3xy × 4y + (-3xy) × (-2x) + (-3xy) × (-1)$
$=-12xy^2 + 6x^2y + 3xy$
将展开结果与题干中等式右侧的式子$-12xy^2 + 6x^2y + □$对比，可知$□$内应填写$3xy$。
【答案】
A
【知识点】
单项式乘多项式；有理数乘法符号运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心是对单项式乘多项式法则的应用，易错点是容易漏乘多项式中的常数项，或者计算负数相乘时符号处理错误，做题时要注意逐项相乘后再核对结果。
【难度系数】
0.8

3. 下列计算正确的是 （）

A.$x(x^3 - x^2 + x - 1) = x^4 - x^2 + x - 1$
B.$a(a^2b - b + 1) = a^3b - ab$
C.$xy(x + y) = x · x + y · y = x^2 + y^2$
D.$-x^2y(4x^2 - 2xy + 3y^2) = -4x^4y + 2x^3y^2 - 3x^2y^3$

3. D

【分析】
要判断各选项计算是否正确，需依据单项式乘多项式的运算法则逐一验证：该法则为用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，运算时需结合同底数幂的乘法规则，注意符号处理。我们逐个计算每个选项等号左侧的结果，再与右侧对比即可选出正确答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，结合同底数幂相乘，底数不变，指数相加，逐一分析选项：
A选项：$x(x^3 - x^2 + x - 1) = x· x^3 + x·(-x^2) + x· x + x·(-1) = x^4 - x^3 + x^2 - x$，与等号右侧$x^4 - x^2 + x - 1$不符，计算错误；
B选项：$a(a^2b - b + 1) = a· a^2b + a·(-b) + a·1 = a^3b - ab + a$，与等号右侧$a^3b - ab$不符（漏乘了常数项1），计算错误；
C选项：$xy(x + y) = xy· x + xy· y = x^2y + xy^2$，与等号右侧$x^2 + y^2$不符，计算错误；
D选项：$-x^2y(4x^2 - 2xy + 3y^2) = -x^2y·4x^2 + (-x^2y)·(-2xy) + (-x^2y)·3y^2 = -4x^4y + 2x^3y^2 - 3x^2y^3$，与等号右侧一致，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则，运算时要注意不要漏乘多项式中的常数项，同时带负号的运算要留意每一项的符号变化，避免出现符号错误。
【难度系数】
0.8