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基础知识·预习
问题1 利用几何图形的面积或分配律，理解单项式与多项式相乘的运算.
问题2 举例说明怎样将单项式与多项式相乘转化为单项式乘单项式.
问题1 利用几何图形的面积或分配律，理解单项式与多项式相乘的运算.
问题2 举例说明怎样将单项式与多项式相乘转化为单项式乘单项式.
答案
解：
问题1
1. 分配律角度：
根据乘法分配律可得：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，说明单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. 几何面积角度：
构造大长方形，设它的宽为$m$，长由长度分别为$a、b、c$的三段组成，则大长方形的总面积可表示为$m(a+b+c)$；
该大长方形可拆分为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，三个小长方形的面积和为$ma+mb+mc$。
由面积相等可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，直观验证了单项式乘多项式的运算规则。
问题2
举例：计算$2x·(3x^2 - x + 2)$
根据乘法分配律，用单项式$2x$去乘多项式$3x^2 - x + 2$的每一项，即可将原式转化为3组单项式乘单项式的运算：
$2x·(3x^2 - x + 2) = 2x· 3x^2 + 2x·(-x) + 2x· 2$
分别计算各组单项式乘单项式：$2x·3x^2=6x^3$，$2x·(-x)=-2x^2$，$2x·2=4x$，再将所得的积相加，最终得到结果$6x^3-2x^2+4x$，完成单项式与多项式相乘到单项式乘单项式的转化。
问题1
1. 分配律角度：
根据乘法分配律可得：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，说明单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. 几何面积角度：
构造大长方形，设它的宽为$m$，长由长度分别为$a、b、c$的三段组成，则大长方形的总面积可表示为$m(a+b+c)$；
该大长方形可拆分为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，三个小长方形的面积和为$ma+mb+mc$。
由面积相等可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，直观验证了单项式乘多项式的运算规则。
问题2
举例：计算$2x·(3x^2 - x + 2)$
根据乘法分配律，用单项式$2x$去乘多项式$3x^2 - x + 2$的每一项，即可将原式转化为3组单项式乘单项式的运算：
$2x·(3x^2 - x + 2) = 2x· 3x^2 + 2x·(-x) + 2x· 2$
分别计算各组单项式乘单项式：$2x·3x^2=6x^3$，$2x·(-x)=-2x^2$，$2x·2=4x$，再将所得的积相加，最终得到结果$6x^3-2x^2+4x$，完成单项式与多项式相乘到单项式乘单项式的转化。
解析
【分析】
本题为单项式乘多项式的基础预习类题目，解题思路如下：1. 针对问题1，分别从代数、几何两个维度切入：代数维度回忆已学的乘法分配律，将数的分配律推广到整式范围，即可推导出单项式乘多项式的运算规则；几何维度采用数形结合的面积法，构造大长方形分别用整体法、分割法计算面积，由面积相等可直观验证运算规则。2. 针对问题2，核心是利用转化思想，借助乘法分配律将单项式与多项式的乘法拆分为单项式与多项式每一项的乘法，即可转化为已学的单项式乘单项式运算，举具体运算实例分步演示即可完成说明。
【解析】
问题1解答
1. 分配律角度：根据乘法分配律，对于整式$m(a+b+c)$，可将$m$分别乘括号内的每一项再相加，即$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，由此可得单项式与多项式相乘的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. 几何面积角度：构造宽为$m$，长为$(a+b+c)$的大长方形，其总面积可表示为$m(a+b+c)$；将该大长方形拆分为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，三个小长方形的面积和为$ma+mb+mc$。由于大长方形面积等于拆分后三个小长方形的面积和，因此可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，直观验证了单项式乘多项式的运算规则。
问题2解答
举例：计算$2x·(3x^2 - x + 2)$
根据乘法分配律，用单项式$2x$分别乘多项式$3x^2 - x + 2$的每一项，即可将原式转化为3组单项式乘单项式的运算：
$2x·(3x^2 - x + 2) = 2x· 3x^2 + 2x·(-x) + 2x· 2$
分别计算各组单项式乘单项式：$2x·3x^2=6x^3$，$2x·(-x)=-2x^2$，$2x·2=4x$，再将所得的积相加，最终得到结果$6x^3-2x^2+4x$，即完成了单项式与多项式相乘到单项式乘单项式的转化。
【答案】
解：
问题1
1. 分配律角度：
根据乘法分配律可得：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，说明单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. 几何面积角度：
构造大长方形，设它的宽为$m$，长由长度分别为$a、b、c$的三段组成，则大长方形的总面积可表示为$m(a+b+c)$；
该大长方形可拆分为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，三个小长方形的面积和为$ma+mb+mc$。
由面积相等可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，直观验证了单项式乘多项式的运算规则。
问题2
举例：计算$2x·(3x^2 - x + 2)$
根据乘法分配律，用单项式$2x$去乘多项式$3x^2 - x + 2$的每一项，即可将原式转化为3组单项式乘单项式的运算：
$2x·(3x^2 - x + 2) = 2x· 3x^2 + 2x·(-x) + 2x· 2$
分别计算各组单项式乘单项式：$2x·3x^2=6x^3$，$2x·(-x)=-2x^2$，$2x·2=4x$，再将所得的积相加，最终得到结果$6x^3-2x^2+4x$，完成单项式与多项式相乘到单项式乘单项式的转化。
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 乘法分配律
3. 数形结合思想
【点评】
本题从代数原理和几何直观两个角度帮助理解单项式乘多项式的运算逻辑，同时引导掌握将陌生运算转化为已学运算的思想，是整式乘法学习的入门基础题，能为后续复杂整式运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
本题为单项式乘多项式的基础预习类题目，解题思路如下：1. 针对问题1，分别从代数、几何两个维度切入：代数维度回忆已学的乘法分配律，将数的分配律推广到整式范围，即可推导出单项式乘多项式的运算规则；几何维度采用数形结合的面积法，构造大长方形分别用整体法、分割法计算面积，由面积相等可直观验证运算规则。2. 针对问题2，核心是利用转化思想，借助乘法分配律将单项式与多项式的乘法拆分为单项式与多项式每一项的乘法，即可转化为已学的单项式乘单项式运算，举具体运算实例分步演示即可完成说明。
【解析】
问题1解答
1. 分配律角度：根据乘法分配律，对于整式$m(a+b+c)$，可将$m$分别乘括号内的每一项再相加，即$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，由此可得单项式与多项式相乘的运算法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. 几何面积角度：构造宽为$m$，长为$(a+b+c)$的大长方形，其总面积可表示为$m(a+b+c)$；将该大长方形拆分为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，三个小长方形的面积和为$ma+mb+mc$。由于大长方形面积等于拆分后三个小长方形的面积和，因此可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，直观验证了单项式乘多项式的运算规则。
问题2解答
举例：计算$2x·(3x^2 - x + 2)$
根据乘法分配律，用单项式$2x$分别乘多项式$3x^2 - x + 2$的每一项，即可将原式转化为3组单项式乘单项式的运算：
$2x·(3x^2 - x + 2) = 2x· 3x^2 + 2x·(-x) + 2x· 2$
分别计算各组单项式乘单项式：$2x·3x^2=6x^3$，$2x·(-x)=-2x^2$，$2x·2=4x$，再将所得的积相加，最终得到结果$6x^3-2x^2+4x$，即完成了单项式与多项式相乘到单项式乘单项式的转化。
【答案】
解：
问题1
1. 分配律角度：
根据乘法分配律可得：$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，说明单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
2. 几何面积角度：
构造大长方形，设它的宽为$m$，长由长度分别为$a、b、c$的三段组成，则大长方形的总面积可表示为$m(a+b+c)$；
该大长方形可拆分为3个宽均为$m$，长分别为$a、b、c$的小长方形，三个小长方形的面积和为$ma+mb+mc$。
由面积相等可得$m(a+b+c)=ma+mb+mc$，直观验证了单项式乘多项式的运算规则。
问题2
举例：计算$2x·(3x^2 - x + 2)$
根据乘法分配律，用单项式$2x$去乘多项式$3x^2 - x + 2$的每一项，即可将原式转化为3组单项式乘单项式的运算：
$2x·(3x^2 - x + 2) = 2x· 3x^2 + 2x·(-x) + 2x· 2$
分别计算各组单项式乘单项式：$2x·3x^2=6x^3$，$2x·(-x)=-2x^2$，$2x·2=4x$，再将所得的积相加，最终得到结果$6x^3-2x^2+4x$，完成单项式与多项式相乘到单项式乘单项式的转化。
【知识点】
1. 单项式乘多项式法则
2. 乘法分配律
3. 数形结合思想
【点评】
本题从代数原理和几何直观两个角度帮助理解单项式乘多项式的运算逻辑，同时引导掌握将陌生运算转化为已学运算的思想，是整式乘法学习的入门基础题，能为后续复杂整式运算的学习打好基础。
【难度系数】
0.8
【典型例题 1】计算:(1)$2ab(5ab^2 + 3a^2b)$；
(2)$(-2a - 3a^2b^2) · (-\dfrac{4}{5}abc)$；
(3)$\dfrac{1}{2}m^2n^3(-2mn^2 + 2m^2n - 1)$。
思路导引 单项式 × 多项式
$\dfrac{\mathrm{乘法对加法的分配律}}{\mathrm{转化}} \rightarrow$ 单项式乘积的和。
【解】(1) 原式$=2ab · 5ab^2 + 2ab · 3a^2b = 10a^2b^3 + 6a^3b^2$。
(2) 原式$=(-2a) · (-\dfrac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2) · (-\dfrac{4}{5}abc) = \dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$。
(3) 原式$=\dfrac{1}{2}m^2n^3 · (-2mn^2) + \dfrac{1}{2}m^2n^3 · 2m^2n - \dfrac{1}{2}m^2n^3 · 1 = -m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$。
规律方法 1. 单项式乘多项式的依据是乘法的分配律,法则中的“每一项”是指含有性质符号的项.
2. 单项式乘多项式,其积仍是多项式,项数与原多项式(没有同类项)的项数相同,不要漏乘项.
3. 积中符号的确定与去括号法则基本一致,括号前的单项式系数为正数,去括号后多项式各项系数的符号都不变,否则都改变.
(2)$(-2a - 3a^2b^2) · (-\dfrac{4}{5}abc)$；
(3)$\dfrac{1}{2}m^2n^3(-2mn^2 + 2m^2n - 1)$。
思路导引 单项式 × 多项式
$\dfrac{\mathrm{乘法对加法的分配律}}{\mathrm{转化}} \rightarrow$ 单项式乘积的和。
【解】(1) 原式$=2ab · 5ab^2 + 2ab · 3a^2b = 10a^2b^3 + 6a^3b^2$。
(2) 原式$=(-2a) · (-\dfrac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2) · (-\dfrac{4}{5}abc) = \dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$。
(3) 原式$=\dfrac{1}{2}m^2n^3 · (-2mn^2) + \dfrac{1}{2}m^2n^3 · 2m^2n - \dfrac{1}{2}m^2n^3 · 1 = -m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$。
规律方法 1. 单项式乘多项式的依据是乘法的分配律,法则中的“每一项”是指含有性质符号的项.
2. 单项式乘多项式,其积仍是多项式,项数与原多项式(没有同类项)的项数相同,不要漏乘项.
3. 积中符号的确定与去括号法则基本一致,括号前的单项式系数为正数,去括号后多项式各项系数的符号都不变,否则都改变.
答案
解：
(1) 原式$=2ab· 5ab^2 + 2ab· 3a^2b$
$=10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) 原式$=(-2a)·(-\dfrac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2)·(-\dfrac{4}{5}abc)$
$=\dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$
(3) 原式$=\dfrac{1}{2}m^2n^3·(-2mn^2) + \dfrac{1}{2}m^2n^3· 2m^2n + \dfrac{1}{2}m^2n^3·(-1)$
$=-m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$
(1) 原式$=2ab· 5ab^2 + 2ab· 3a^2b$
$=10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) 原式$=(-2a)·(-\dfrac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2)·(-\dfrac{4}{5}abc)$
$=\dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$
(3) 原式$=\dfrac{1}{2}m^2n^3·(-2mn^2) + \dfrac{1}{2}m^2n^3· 2m^2n + \dfrac{1}{2}m^2n^3·(-1)$
$=-m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$
解析
【分析】
这组题目考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路为：依据乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所有乘积相加。计算时需注意三点：一是不能漏乘多项式的任意一项，包括常数项；二是要准确判断乘积的符号，若单项式系数为负，多项式各项的符号要对应改变；三是计算单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，单独出现的字母连同指数直接保留在积中。
【解析】
(1) 原式$=2ab· 5ab^2 + 2ab· 3a^2b$
$=10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) 原式$=(-2a)·(-\dfrac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2)·(-\dfrac{4}{5}abc)$
$=\dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$
(3) 原式$=\dfrac{1}{2}m^2n^3·(-2mn^2) + \dfrac{1}{2}m^2n^3· 2m^2n + \dfrac{1}{2}m^2n^3·(-1)$
$=-m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$
【答案】
(1) $10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) $\dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$
(3) $-m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$
【知识点】
单项式乘多项式法则、乘法分配律、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心是通过分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式运算，解题时要注意避免漏乘常数项、符号判断错误、同底数幂指数计算错误三类常见问题，熟练掌握该运算可为后续整式乘法的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
这组题目考查单项式与多项式相乘的运算，解题思路为：依据乘法分配律，将单项式分别与多项式的每一项相乘，再把所有乘积相加。计算时需注意三点：一是不能漏乘多项式的任意一项，包括常数项；二是要准确判断乘积的符号，若单项式系数为负，多项式各项的符号要对应改变；三是计算单项式乘单项式时，系数相乘作为积的系数，同底数幂相乘底数不变、指数相加，单独出现的字母连同指数直接保留在积中。
【解析】
(1) 原式$=2ab· 5ab^2 + 2ab· 3a^2b$
$=10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) 原式$=(-2a)·(-\dfrac{4}{5}abc) + (-3a^2b^2)·(-\dfrac{4}{5}abc)$
$=\dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$
(3) 原式$=\dfrac{1}{2}m^2n^3·(-2mn^2) + \dfrac{1}{2}m^2n^3· 2m^2n + \dfrac{1}{2}m^2n^3·(-1)$
$=-m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$
【答案】
(1) $10a^2b^3 + 6a^3b^2$
(2) $\dfrac{8}{5}a^2bc + \dfrac{12}{5}a^3b^3c$
(3) $-m^3n^5 + m^4n^4 - \dfrac{1}{2}m^2n^3$
【知识点】
单项式乘多项式法则、乘法分配律、同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，核心是通过分配律将单项式乘多项式转化为单项式乘单项式运算，解题时要注意避免漏乘常数项、符号判断错误、同底数幂指数计算错误三类常见问题，熟练掌握该运算可为后续整式乘法的学习打好基础。
【难度系数】
0.85
1. 计算$(-3x^2)(1-2x)$的结果是 （
A.$6x^3 -3$
B.$6x^3 -3x^2$
C.$-6x^3 -3x^2$
D.$6x^3 +3x^2$
B
）A.$6x^3 -3$
B.$6x^3 -3x^2$
C.$-6x^3 -3x^2$
D.$6x^3 +3x^2$
答案
1. B 【解析】$(-3x^2)(1-2x)=(-3x^2)· 1+(-3x^2)·(-2x)=6x^3-3x^2$。
解析
【分析】
本题考查单项式与多项式的乘法运算，解题时先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先明确式子中的单项式为$-3x^2$，多项式为$1-2x$，接下来将$-3x^2$分别与1、$-2x$相乘，计算时注意符号的处理，最后整理结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{split}(-3x^2)(1-2x)&=(-3x^2)·1 + (-3x^2)·(-2x)\\&=-3x^2 + 6x^3\\&=6x^3 - 3x^2\end{split}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式 2.整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是容易漏乘项或搞错项的符号，熟练掌握运算法则是正确解题的关键。
【难度系数】
0.9
本题考查单项式与多项式的乘法运算，解题时先回忆单项式乘多项式的运算法则：用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加。首先明确式子中的单项式为$-3x^2$，多项式为$1-2x$，接下来将$-3x^2$分别与1、$-2x$相乘，计算时注意符号的处理，最后整理结果和选项对比即可得到答案。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{split}(-3x^2)(1-2x)&=(-3x^2)·1 + (-3x^2)·(-2x)\\&=-3x^2 + 6x^3\\&=6x^3 - 3x^2\end{split}$
因此结果对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1.单项式乘多项式 2.整式乘法运算
【点评】
本题属于整式乘法的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算法则，解题的易错点是容易漏乘项或搞错项的符号，熟练掌握运算法则是正确解题的关键。
【难度系数】
0.9
