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4.如果一个长方形的周长为20，其中长为a，那么该长方形的面积为
$10a - a^2$
.答案
4. $10a - a^2$ 【解析】$a( \frac{1}{2}×20 -a )=a(10-a)=10a -a^2$。
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，回忆长方形周长公式，利用已知的周长和长求出宽；第二步，回忆长方形面积公式，将长和宽代入得到面积的表达式；第三步，运用单项式乘多项式的法则化简表达式，得到最终结果。
【解析】
首先根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知周长为20，长为$a$，可得长与宽的和为$\frac{1}{2}×20=10$，因此宽为$10-a$。
再根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入长和宽可得面积为$a(10-a)$。
最后根据单项式乘多项式的运算法则展开：$a(10-a)=a×10 - a× a=10a - a^2$。
【答案】
$10a - a^2$
【知识点】
1.长方形周长与面积计算
2.单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于整式运算在几何中的基础应用，核心是先通过周长公式求出未知的宽，再结合面积公式列代数式，最后按整式运算法则化简即可，计算时注意不要漏乘、符号不要出错。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，我们可以分三步思考：第一步，回忆长方形周长公式，利用已知的周长和长求出宽；第二步，回忆长方形面积公式，将长和宽代入得到面积的表达式；第三步，运用单项式乘多项式的法则化简表达式，得到最终结果。
【解析】
首先根据长方形周长公式：$\mathrm{周长}=2×(\mathrm{长}+\mathrm{宽})$，已知周长为20，长为$a$，可得长与宽的和为$\frac{1}{2}×20=10$，因此宽为$10-a$。
再根据长方形面积公式：$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，代入长和宽可得面积为$a(10-a)$。
最后根据单项式乘多项式的运算法则展开：$a(10-a)=a×10 - a× a=10a - a^2$。
【答案】
$10a - a^2$
【知识点】
1.长方形周长与面积计算
2.单项式乘多项式运算
【点评】
本题属于整式运算在几何中的基础应用，核心是先通过周长公式求出未知的宽，再结合面积公式列代数式，最后按整式运算法则化简即可，计算时注意不要漏乘、符号不要出错。
【难度系数】
0.9
5. 计算：
(1) $(x - 2y)(-\dfrac{1}{2}y)$；
(2) $(-3x^2y)(-4xy^2 -5y^3 -6x +1)$；
(3) $(-2m^2n)^2(mn^2 - m^2n + n^3)$。
(1) $(x - 2y)(-\dfrac{1}{2}y)$；
(2) $(-3x^2y)(-4xy^2 -5y^3 -6x +1)$；
(3) $(-2m^2n)^2(mn^2 - m^2n + n^3)$。
答案
【解】(1) 原式$=x(-\frac{1}{2}y)+(-2y)(-\frac{1}{2}y)=-\frac{1}{2}xy+y^2$。
(2) 原式$=(-3x^2y)·(-4xy^2)+(-3x^2y)·(-5y^3)+(-3x^2y)·(-6x)+(-3x^2y)·1=12x^3y^3+15x^2y^4+18x^3y-3x^2y$。
(3) 原式$=4m^4n^2 · mn^2 +4m^4n^2 · (-m^2n)+4m^4n^2 · n^3=4m^5n^4-4m^6n^3+4m^4n^5$。
(2) 原式$=(-3x^2y)·(-4xy^2)+(-3x^2y)·(-5y^3)+(-3x^2y)·(-6x)+(-3x^2y)·1=12x^3y^3+15x^2y^4+18x^3y-3x^2y$。
(3) 原式$=4m^4n^2 · mn^2 +4m^4n^2 · (-m^2n)+4m^4n^2 · n^3=4m^5n^4-4m^6n^3+4m^4n^5$。
解析
【分析】
这三道题均属于整式乘法运算，解题核心是运用单项式与多项式相乘的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有积相加，运算时注意遵循运算顺序和符号规则：
(1) 第一题直接将单项式$-\frac{1}{2}y$分别乘以多项式$x-2y$的两项，再合并所得的积即可，注意负数乘负数得正；
(2) 第二题用单项式$-3x^2y$依次乘后面多项式的4个项，不要漏乘常数项，计算时注意同底数幂乘法的运算规则，符号要判断准确；
(3) 第三题先根据积的乘方法则计算$(-2m^2n)^2$得到单项式，再用这个单项式乘后面多项式的每一项，最后整理结果即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式的分配律展开计算：
原式$=x·(-\frac{1}{2}y)+(-2y)·(-\frac{1}{2}y)$
$=-\frac{1}{2}xy + y^2$
(2) 用单项式依次乘多项式的每一项，分别计算每部分的积：
原式$=(-3x^2y)·(-4xy^2)+(-3x^2y)·(-5y^3)+(-3x^2y)·(-6x)+(-3x^2y)·1$
$=12x^{3}y^{3} + 15x^2y^{4} + 18x^{3}y - 3x^2y$
(3) 先算乘方，再做单项式乘多项式运算：
先计算$(-2m^2n)^2 = (-2)^2·(m^2)^2·n^2 = 4m^4n^2$，再展开乘法：
原式$=4m^4n^2·mn^2 + 4m^4n^2·(-m^2n) + 4m^4n^2·n^3$
$=4m^5n^4 - 4m^6n^3 + 4m^4n^5$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}xy + y^2$
(2) $12x^3y^3 + 15x^2y^4 + 18x^3y - 3x^2y$
(3) $4m^5n^4 - 4m^6n^3 + 4m^4n^5$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，解题时要注意运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘法；运用分配律时不要漏乘多项式的任何一项，尤其要注意负号参与运算时的符号判断，计算同底数幂相乘时要准确计算指数的和。
【难度系数】
0.8
这三道题均属于整式乘法运算，解题核心是运用单项式与多项式相乘的法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所有积相加，运算时注意遵循运算顺序和符号规则：
(1) 第一题直接将单项式$-\frac{1}{2}y$分别乘以多项式$x-2y$的两项，再合并所得的积即可，注意负数乘负数得正；
(2) 第二题用单项式$-3x^2y$依次乘后面多项式的4个项，不要漏乘常数项，计算时注意同底数幂乘法的运算规则，符号要判断准确；
(3) 第三题先根据积的乘方法则计算$(-2m^2n)^2$得到单项式，再用这个单项式乘后面多项式的每一项，最后整理结果即可。
【解析】
(1) 根据单项式乘多项式的分配律展开计算：
原式$=x·(-\frac{1}{2}y)+(-2y)·(-\frac{1}{2}y)$
$=-\frac{1}{2}xy + y^2$
(2) 用单项式依次乘多项式的每一项，分别计算每部分的积：
原式$=(-3x^2y)·(-4xy^2)+(-3x^2y)·(-5y^3)+(-3x^2y)·(-6x)+(-3x^2y)·1$
$=12x^{3}y^{3} + 15x^2y^{4} + 18x^{3}y - 3x^2y$
(3) 先算乘方，再做单项式乘多项式运算：
先计算$(-2m^2n)^2 = (-2)^2·(m^2)^2·n^2 = 4m^4n^2$，再展开乘法：
原式$=4m^4n^2·mn^2 + 4m^4n^2·(-m^2n) + 4m^4n^2·n^3$
$=4m^5n^4 - 4m^6n^3 + 4m^4n^5$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}xy + y^2$
(2) $12x^3y^3 + 15x^2y^4 + 18x^3y - 3x^2y$
(3) $4m^5n^4 - 4m^6n^3 + 4m^4n^5$
【知识点】
单项式乘多项式；同底数幂的乘法；积的乘方
【点评】
本题是整式乘法的基础训练题，解题时要注意运算顺序：有乘方先算乘方，再算乘法；运用分配律时不要漏乘多项式的任何一项，尤其要注意负号参与运算时的符号判断，计算同底数幂相乘时要准确计算指数的和。
【难度系数】
0.8
6.先化简,再求值:$ab(b^{2}+b)-b^{2}(ab+2a)-3ab$,其中$a=5,b=-1.$
答案
【解】原式$=ab^3 + ab^2 - ab^3 - 2ab^2 - 3ab=-ab^2-3ab$。当$a=5,b=-1$时，原式$=-5×(-1)^2-3×5×(-1)=10$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号；第二步，识别并合并同类项，将原式化简为最简整式；第三步，把已知的a、b的值代入最简整式，按有理数运算规则计算出最终结果。计算过程中要特别注意符号运算和负数的乘方运算，避免出错。
【解析】
解：先利用单项式乘多项式法则展开括号：
原式$=ab· b^2 + ab· b - b^2· ab - b^2· 2a - 3ab$
$=ab^3 + ab^2 - ab^3 - 2ab^2 - 3ab$
再合并同类项：
$=(ab^3 - ab^3) + (ab^2 - 2ab^2) - 3ab$
$=-ab^2 - 3ab$
将$a=5$，$b=-1$代入化简后的式子：
原式$=-5×(-1)^2 - 3×5×(-1)$
$=-5×1 + 15$
$=-5 + 15$
$=10$
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则和合并同类项的方法，解题时需注意去括号的符号变化，代入数值计算时要准确处理负数的乘方和乘法运算，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
这是一道整式化简求值题，解题思路分为三步：第一步，根据单项式乘多项式的法则去掉原式中的括号，注意括号前是负号时，去掉括号后括号内每一项都要变号；第二步，识别并合并同类项，将原式化简为最简整式；第三步，把已知的a、b的值代入最简整式，按有理数运算规则计算出最终结果。计算过程中要特别注意符号运算和负数的乘方运算，避免出错。
【解析】
解：先利用单项式乘多项式法则展开括号：
原式$=ab· b^2 + ab· b - b^2· ab - b^2· 2a - 3ab$
$=ab^3 + ab^2 - ab^3 - 2ab^2 - 3ab$
再合并同类项：
$=(ab^3 - ab^3) + (ab^2 - 2ab^2) - 3ab$
$=-ab^2 - 3ab$
将$a=5$，$b=-1$代入化简后的式子：
原式$=-5×(-1)^2 - 3×5×(-1)$
$=-5×1 + 15$
$=-5 + 15$
$=10$
【答案】
$\boxed{10}$
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项，整式化简求值
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘多项式的运算规则和合并同类项的方法，解题时需注意去括号的符号变化，代入数值计算时要准确处理负数的乘方和乘法运算，避免因符号失误丢分。
【难度系数】
0.8
7. 计算$x(2x-1)-x^2(2-x)$的结果是（
A.$-x^3 -x$
B.$x^3 -x$
C.$-x^2 -x$
D.$x^3 -1$
B
）A.$-x^3 -x$
B.$x^3 -x$
C.$-x^2 -x$
D.$x^3 -1$
答案
7. B 【解析】原式$=2x^2 -x -2x^2 +x^3=x^3 -x$。
解析
【分析】
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：首先依据单项式乘多项式的法则，分别计算两个乘法项$x(2x-1)$和$x^2(2-x)$，计算时要用单项式乘多项式的每一项，避免漏乘；随后去括号，注意括号前是负号时，括号内的每一项都要改变符号；最后合并同类项得到结果，对应选项判断即可。
【解析】
根据单项式乘多项式法则展开计算：
第一步：展开单项式乘多项式项
$x(2x-1) = x·2x + x·(-1) = 2x^2 - x$
$x^2(2-x) = x^2·2 + x^2·(-x) = 2x^2 - x^3$
第二步：代入原式去括号
原式$= 2x^2 - x - (2x^2 - x^3) = 2x^2 - x - 2x^2 + x^3$
第三步：合并同类项
$2x^2 - 2x^2 + x^3 - x = x^3 - x$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考查单项式乘多项式的运算规则和合并同类项的方法，解题的易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握运算法则、注意符号变化即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
本题考查整式的混合运算，解题思路如下：首先依据单项式乘多项式的法则，分别计算两个乘法项$x(2x-1)$和$x^2(2-x)$，计算时要用单项式乘多项式的每一项，避免漏乘；随后去括号，注意括号前是负号时，括号内的每一项都要改变符号；最后合并同类项得到结果，对应选项判断即可。
【解析】
根据单项式乘多项式法则展开计算：
第一步：展开单项式乘多项式项
$x(2x-1) = x·2x + x·(-1) = 2x^2 - x$
$x^2(2-x) = x^2·2 + x^2·(-x) = 2x^2 - x^3$
第二步：代入原式去括号
原式$= 2x^2 - x - (2x^2 - x^3) = 2x^2 - x - 2x^2 + x^3$
第三步：合并同类项
$2x^2 - 2x^2 + x^3 - x = x^3 - x$
【答案】
B
【知识点】
单项式乘多项式，合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，主要考查单项式乘多项式的运算规则和合并同类项的方法，解题的易错点是去括号时的符号处理，熟练掌握运算法则、注意符号变化即可快速得到正确结果。
【难度系数】
0.8
8.已知$x^2 - 2 = y$，则$x(x - 2025y) - y(1 - 2025x)$的值为（
A.2
B.0
C.$-2$
D.1
A
）A.2
B.0
C.$-2$
D.1
答案
8. A 【解析】因为$x^2-2=y$，
所以$x^2-y=2$，
所以$x(x - 2025y) - y(1 - 2025x)=x^2-2025xy-y+2025xy=x^2-y=2$。
所以$x^2-y=2$，
所以$x(x - 2025y) - y(1 - 2025x)=x^2-2025xy-y+2025xy=x^2-y=2$。
解析
【分析】
这是一道整式化简求值类题目，解题时不需要直接求解x、y的具体数值，优先考虑先化简待求的代数式。首先根据单项式乘多项式的法则去掉原式的括号，再合并同类项，观察化简后的结果，发现可以直接用已知条件$x^2-2=y$变形得到的$x^2-y=2$整体代入，即可快速算出结果。
【解析】
先化简待求代数式：
$x(x - 2025y) - y(1 - 2025x)$
根据单项式乘多项式法则去括号，得：
$=x^2 - 2025xy - y + 2025xy$
合并同类项，$-2025xy$与$+2025xy$抵消，得：
$=x^2 - y$
由已知条件$x^2 - 2 = y$，移项可得$x^2 - y = 2$，代入化简后的式子得原式的值为2，故选A。
【答案】A
【知识点】
单项式乘多项式；整式化简求值；合并同类项
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，灵活运用整体代入的思想，无需计算未知字母的具体值即可求解，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.85
这是一道整式化简求值类题目，解题时不需要直接求解x、y的具体数值，优先考虑先化简待求的代数式。首先根据单项式乘多项式的法则去掉原式的括号，再合并同类项，观察化简后的结果，发现可以直接用已知条件$x^2-2=y$变形得到的$x^2-y=2$整体代入，即可快速算出结果。
【解析】
先化简待求代数式：
$x(x - 2025y) - y(1 - 2025x)$
根据单项式乘多项式法则去括号，得：
$=x^2 - 2025xy - y + 2025xy$
合并同类项，$-2025xy$与$+2025xy$抵消，得：
$=x^2 - y$
由已知条件$x^2 - 2 = y$，移项可得$x^2 - y = 2$，代入化简后的式子得原式的值为2，故选A。
【答案】A
【知识点】
单项式乘多项式；整式化简求值；合并同类项
【点评】
本题考查整式的混合运算与化简求值，解题关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则，灵活运用整体代入的思想，无需计算未知字母的具体值即可求解，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.85
9.计算：$-2x^2(\frac{1}{2}xy + y^2) -5x(x^2y - xy^2)=$
$-6x^3y + 3x^2y^2$
.答案
9. $-6x^3y + 3x^2y^2$ 【解析】原式$=-x^3y -2x^2y^2-5x^3y+5x^2y^2=-6x^3y+3x^2y^2$。
解析
【分析】
本题属于整式的运算题，解题思路分为两步：第一步运用乘法分配律计算单项式乘多项式，要注意用单项式分别乘多项式的每一项，同时注意运算符号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到化简结果。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开各项：
$-2x^2(\frac{1}{2}xy + y^2) = -2x^2 · \frac{1}{2}xy + (-2x^2) · y^2 = -x^3y - 2x^2y^2$
$-5x(x^2y - xy^2) = -5x · x^2y + (-5x) · (-xy^2) = -5x^3y + 5x^2y^2$
再合并同类项：
原式$=-x^3y - 2x^2y^2 - 5x^3y + 5x^2y^2$
$=(-x^3y - 5x^3y) + (-2x^2y^2 + 5x^2y^2)$
$=-6x^3y + 3x^2y^2$
【答案】
$-6x^3y + 3x^2y^2$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查单项式乘多项式的运算法则和合并同类项的方法，运算过程中要格外注意符号的处理，避免出现漏乘多项式项的错误。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的运算题，解题思路分为两步：第一步运用乘法分配律计算单项式乘多项式，要注意用单项式分别乘多项式的每一项，同时注意运算符号；第二步合并同类项，将同类项的系数相加减，字母和字母的指数保持不变，最终得到化简结果。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开各项：
$-2x^2(\frac{1}{2}xy + y^2) = -2x^2 · \frac{1}{2}xy + (-2x^2) · y^2 = -x^3y - 2x^2y^2$
$-5x(x^2y - xy^2) = -5x · x^2y + (-5x) · (-xy^2) = -5x^3y + 5x^2y^2$
再合并同类项：
原式$=-x^3y - 2x^2y^2 - 5x^3y + 5x^2y^2$
$=(-x^3y - 5x^3y) + (-2x^2y^2 + 5x^2y^2)$
$=-6x^3y + 3x^2y^2$
【答案】
$-6x^3y + 3x^2y^2$
【知识点】
单项式乘多项式、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查单项式乘多项式的运算法则和合并同类项的方法，运算过程中要格外注意符号的处理，避免出现漏乘多项式项的错误。
【难度系数】
0.8
10. 已知$ab^2=3$，求$ab(a^2b^5 - ab^3 - b)$的值.
答案
【解】原式$=a^3b^6 -a^2b^4 -ab^2=(ab^2)^3-(ab^2)^2 -ab^2=3^3 -3^2 -3=15$。
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件给出的是$ab^2=3$，待求式是单项式乘多项式的形式，因此第一步先利用单项式乘多项式的运算法则将待求式展开，再根据幂的运算性质，将展开后的各项转化为含$ab^2$的幂的形式，最后将$ab^2=3$整体代入计算即可得到结果，不需要单独求a、b的值，用整体代入思想简化计算。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}原式&=ab· a^2b^5 + ab·(-ab^3) + ab·(-b)\\&=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2\end{aligned}$
再逆用积的乘方公式变形，将式子转化为以$ab^2$为整体的形式：
$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，因此原式可改写为：
$原式=(ab^2)^3 - (ab^2)^2 - ab^2$
将$ab^2=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=3^3 - 3^2 - 3\\&=27 - 9 - 3\\&=15\end{aligned}$
【答案】
15
【知识点】
单项式乘多项式；整体代入求值；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，解题时无需单独求解未知字母的值，灵活运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，是整式运算章节的典型常考题。
【难度系数】
0.75
解题时首先观察已知条件给出的是$ab^2=3$，待求式是单项式乘多项式的形式，因此第一步先利用单项式乘多项式的运算法则将待求式展开，再根据幂的运算性质，将展开后的各项转化为含$ab^2$的幂的形式，最后将$ab^2=3$整体代入计算即可得到结果，不需要单独求a、b的值，用整体代入思想简化计算。
【解析】
先根据单项式乘多项式的法则展开原式：
$\begin{aligned}原式&=ab· a^2b^5 + ab·(-ab^3) + ab·(-b)\\&=a^3b^6 - a^2b^4 - ab^2\end{aligned}$
再逆用积的乘方公式变形，将式子转化为以$ab^2$为整体的形式：
$a^3b^6=(ab^2)^3$，$a^2b^4=(ab^2)^2$，因此原式可改写为：
$原式=(ab^2)^3 - (ab^2)^2 - ab^2$
将$ab^2=3$代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=3^3 - 3^2 - 3\\&=27 - 9 - 3\\&=15\end{aligned}$
【答案】
15
【知识点】
单项式乘多项式；整体代入求值；幂的乘方与积的乘方
【点评】
本题是整式化简求值的基础题型，核心是熟练掌握单项式乘多项式的运算规则，解题时无需单独求解未知字母的值，灵活运用整体代入的思想可大幅简化计算过程，是整式运算章节的典型常考题。
【难度系数】
0.75
11.某同学在计算一个多项式乘$-3x^2$时，因抄错运算符号，算成了加上$-3x^2$，得到的结果是$x^2 -4x +1$，那么正确的计算结果是多少？
答案
【解】这个多项式是$(x^2 -4x +1)-(-3x^2)=4x^2 -4x +1$，正确的计算结果是$(4x^2 -4x +1)·(-3x^2)=-12x^4 +12x^3 -3x^2$。
解析
【分析】
这是一道错中求解类的整式运算题，解题思路分为两步：第一步先还原原多项式，由于错把乘法算成加法，可得“原多项式$+(-3x^2)=$错误结果$x^2-4x+1$”，因此用错误结果减去加上的$-3x^2$就能求出原多项式；第二步用求出的原多项式乘$-3x^2$，按照单项式乘多项式的法则计算即可得到正确结果，计算过程中要重点关注符号变化，避免出错。
【解析】
解：设原多项式为$A$，根据错误运算可得：
$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$
因此原多项式为：
$\begin{aligned}A&=(x^2 - 4x + 1) - (-3x^2)\\&=x^2 - 4x + 1 + 3x^2\\&=4x^2 - 4x + 1\end{aligned}$
再计算正确的运算结果：
$\begin{aligned}A·(-3x^2)&=(4x^2 - 4x + 1)·(-3x^2)\\&=4x^2·(-3x^2) + (-4x)·(-3x^2) + 1·(-3x^2)\\&=-12x^4 + 12x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-12x^4 + 12x^3 - 3x^2}$
【知识点】
1. 整式的加减运算 2. 单项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算章节的典型基础题，考查逆推思维和整式运算的掌握程度，解题关键是先根据错误运算关系求出原多项式，运算过程中要注意去括号、单项式乘多项式时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
这是一道错中求解类的整式运算题，解题思路分为两步：第一步先还原原多项式，由于错把乘法算成加法，可得“原多项式$+(-3x^2)=$错误结果$x^2-4x+1$”，因此用错误结果减去加上的$-3x^2$就能求出原多项式；第二步用求出的原多项式乘$-3x^2$，按照单项式乘多项式的法则计算即可得到正确结果，计算过程中要重点关注符号变化，避免出错。
【解析】
解：设原多项式为$A$，根据错误运算可得：
$A + (-3x^2) = x^2 - 4x + 1$
因此原多项式为：
$\begin{aligned}A&=(x^2 - 4x + 1) - (-3x^2)\\&=x^2 - 4x + 1 + 3x^2\\&=4x^2 - 4x + 1\end{aligned}$
再计算正确的运算结果：
$\begin{aligned}A·(-3x^2)&=(4x^2 - 4x + 1)·(-3x^2)\\&=4x^2·(-3x^2) + (-4x)·(-3x^2) + 1·(-3x^2)\\&=-12x^4 + 12x^3 - 3x^2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{-12x^4 + 12x^3 - 3x^2}$
【知识点】
1. 整式的加减运算 2. 单项式乘多项式
【点评】
本题是整式运算章节的典型基础题，考查逆推思维和整式运算的掌握程度，解题关键是先根据错误运算关系求出原多项式，运算过程中要注意去括号、单项式乘多项式时的符号变化，避免因符号错误失分。
【难度系数】
0.7
12. 如图,把边长分别为a 和b 的两个正方形并排放在一起,请你计算图中阴影部分的面积.
答案
【解】题图中阴影部分的面积为$a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b · (a - b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a + b)=\frac{1}{2}a^2$。
解析
【分析】
观察图形可知阴影部分为不规则图形，直接计算各阴影三角形面积较为繁琐，因此采用“补全作差”的思路求解：先计算包含阴影部分的整体图形（两个正方形+左上角小三角形）的总面积，再减去两块空白三角形的面积，最后通过整式的化简得到阴影部分面积。
【解析】
第一步：计算整体图形的面积
整体图形由边长为a的正方形、边长为b的正方形、底为$(a-b)$高为$b$的小三角形组成，因此总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b)$
第二步：计算空白部分的面积
空白部分包含两个三角形：
① 右侧正方形内的等腰直角三角形，底和高均为$a$，面积为$\frac{1}{2}a^2$；
② 下方大三角形，底为$(a+b)$、高为$b$，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$；
因此空白总面积为：
$S_{\mathrm{空白}}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a+b)$
第三步：计算阴影部分面积并化简
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{总}}-S_{\mathrm{空白}}$
代入表达式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a - b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a + b)\\&=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}a^2$
【知识点】
割补法求面积、整式的加减、图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差，解题时要准确识别各规则图形的边长参数，化简整式时注意不要漏乘、正确合并同类项。
【难度系数】
0.6
观察图形可知阴影部分为不规则图形，直接计算各阴影三角形面积较为繁琐，因此采用“补全作差”的思路求解：先计算包含阴影部分的整体图形（两个正方形+左上角小三角形）的总面积，再减去两块空白三角形的面积，最后通过整式的化简得到阴影部分面积。
【解析】
第一步：计算整体图形的面积
整体图形由边长为a的正方形、边长为b的正方形、底为$(a-b)$高为$b$的小三角形组成，因此总面积为：
$S_{\mathrm{总}}=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a-b)$
第二步：计算空白部分的面积
空白部分包含两个三角形：
① 右侧正方形内的等腰直角三角形，底和高均为$a$，面积为$\frac{1}{2}a^2$；
② 下方大三角形，底为$(a+b)$、高为$b$，面积为$\frac{1}{2}b(a+b)$；
因此空白总面积为：
$S_{\mathrm{空白}}=\frac{1}{2}a^2 + \frac{1}{2}b(a+b)$
第三步：计算阴影部分面积并化简
$S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{总}}-S_{\mathrm{空白}}$
代入表达式得：
$\begin{aligned}S_{\mathrm{阴影}}&=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}b(a - b) - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}b(a + b)\\&=a^2 + b^2 + \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2}ab - \frac{1}{2}b^2\\&=\frac{1}{2}a^2\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}a^2$
【知识点】
割补法求面积、整式的加减、图形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，核心是将不规则图形的面积转化为多个规则图形面积的和差，解题时要准确识别各规则图形的边长参数，化简整式时注意不要漏乘、正确合并同类项。
【难度系数】
0.6
