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一、基础性作业
1. 已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8 t，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5 m，通过实验测定，每吊起1 t重物，吊绳会伸长0.3 m。在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度$y$(单位:m)与所吊重物的质量$x$(单位:t)之间的函数关系式为(
A.$y=0.3x+5(0≤x≤8)$
B.$y=5x+0.3(0≤x≤8)$
C.$y=0.3x-5(0≤x≤8)$
D.$y=5-0.3x(0≤x≤8)$
1. 已知某吊绳能吊起的重物质量不超过8 t，当没有吊起任何重物时，吊绳的自然长度是5 m，通过实验测定，每吊起1 t重物，吊绳会伸长0.3 m。在吊绳的弹性限度内，吊起重物后吊绳的长度$y$(单位:m)与所吊重物的质量$x$(单位:t)之间的函数关系式为(
A
)。A.$y=0.3x+5(0≤x≤8)$
B.$y=5x+0.3(0≤x≤8)$
C.$y=0.3x-5(0≤x≤8)$
D.$y=5-0.3x(0≤x≤8)$
答案
1. A
解析
【分析】
遇到这类实际问题求函数关系式的题目，首先要明确变量间的数量关系：本题吊起重物后的总绳长由两部分组成，一是无重物时的自然长度，二是挂重物后的伸长长度。首先确定不变量：自然长度为5m，即x=0时y=5；再看变化部分：每挂1t重物绳长伸长0.3m，挂x t重物时伸长的长度就是0.3x m，因此总长度为自然长度加伸长长度。最后结合实际意义确定自变量取值范围：重物质量不能为负，且吊绳最多吊8t，所以x的范围是0≤x≤8，结合以上推导即可匹配对应选项。
【解析】
吊绳总长度的构成公式为：$\boldsymbol{y=自然长度+重物引起的伸长长度}$
1. 代入已知量：自然长度为5m，吊起x t重物时，伸长的长度为$0.3x$ m，因此初步得到关系式$y=0.3x+5$；
2. 确定自变量取值范围：重物质量不能为负，且吊绳最大承重为8t，因此$0≤ x≤8$；
综上，函数关系式为$y=0.3x+5(0≤ x≤8)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的实际应用、自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，解题核心是梳理清楚因变量的组成部分，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致出错。
【难度系数】
0.9
遇到这类实际问题求函数关系式的题目，首先要明确变量间的数量关系：本题吊起重物后的总绳长由两部分组成，一是无重物时的自然长度，二是挂重物后的伸长长度。首先确定不变量：自然长度为5m，即x=0时y=5；再看变化部分：每挂1t重物绳长伸长0.3m，挂x t重物时伸长的长度就是0.3x m，因此总长度为自然长度加伸长长度。最后结合实际意义确定自变量取值范围：重物质量不能为负，且吊绳最多吊8t，所以x的范围是0≤x≤8，结合以上推导即可匹配对应选项。
【解析】
吊绳总长度的构成公式为：$\boldsymbol{y=自然长度+重物引起的伸长长度}$
1. 代入已知量：自然长度为5m，吊起x t重物时，伸长的长度为$0.3x$ m，因此初步得到关系式$y=0.3x+5$；
2. 确定自变量取值范围：重物质量不能为负，且吊绳最大承重为8t，因此$0≤ x≤8$；
综上，函数关系式为$y=0.3x+5(0≤ x≤8)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的实际应用、自变量取值范围确定
【点评】
本题是一次函数应用的基础题型，解题核心是梳理清楚因变量的组成部分，同时要注意结合实际场景确定自变量的取值范围，避免漏写范围导致出错。
【难度系数】
0.9
2. 下列各选项中，两个变量 $ y $ 与 $ x $ 之间的关系是一次函数关系的是（
A.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 $ y $ m，一般地，经验公式为 $ y = \frac{x^2}{300} $，其中 $ x $ 表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）
B.周长为10 cm的长方形，其面积 $ y $（$\mathrm{cm}^2$）与该长方形的一边长 $ x $（cm）之间的关系
C.计划修建铁路1200 km，铺轨天数 $ y $（天）与每日铺轨量 $ x $（km）之间的关系
D.声音在空气中的传播速度约为340 m/s，声音在空气中的传播距离 $ y $（m）与传播时间 $ x $（s）之间的关系
D
）。A.在平整的路面上，某型号汽车紧急刹车后仍会滑行 $ y $ m，一般地，经验公式为 $ y = \frac{x^2}{300} $，其中 $ x $ 表示刹车前汽车的速度（单位：km/h）
B.周长为10 cm的长方形，其面积 $ y $（$\mathrm{cm}^2$）与该长方形的一边长 $ x $（cm）之间的关系
C.计划修建铁路1200 km，铺轨天数 $ y $（天）与每日铺轨量 $ x $（km）之间的关系
D.声音在空气中的传播速度约为340 m/s，声音在空气中的传播距离 $ y $（m）与传播时间 $ x $（s）之间的关系
答案
2. D
解析
【分析】
解题首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数为一次函数，其中$x$的次数为1，且表达式中分母不含$x$；同时正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）是特殊的一次函数。接下来我们逐个推导每个选项中$y$与$x$的函数解析式，对照判定标准判断即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：给出的解析式为$y=\frac{x^2}{300}$，其中$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除A；
选项B：长方形周长为10cm，一边长为$x$cm，则另一边长为$\frac{10-2x}{2}=5-x$cm，面积$y=x(5-x)=-x^2+5x$，$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除B；
选项C：总铺轨长度为1200km，可得$y=\frac{1200}{x}$，表达式中$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合一次函数定义，排除C；
选项D：声音传播速度为340m/s，传播距离$y=340x$，符合$y=kx$（$k=340\ne0$，$b=0$）的形式，是特殊的一次函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的定义，函数解析式的列写，正比例函数的特征
【点评】
本题是基础的函数类型判定题，解题关键是先根据实际场景推导函数解析式，再严格对照一次函数的定义判断，需要注意正比例函数属于特殊的一次函数，不要误判。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k\ne0$）的函数为一次函数，其中$x$的次数为1，且表达式中分母不含$x$；同时正比例函数$y=kx$（$k\ne0$）是特殊的一次函数。接下来我们逐个推导每个选项中$y$与$x$的函数解析式，对照判定标准判断即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
选项A：给出的解析式为$y=\frac{x^2}{300}$，其中$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除A；
选项B：长方形周长为10cm，一边长为$x$cm，则另一边长为$\frac{10-2x}{2}=5-x$cm，面积$y=x(5-x)=-x^2+5x$，$x$的最高次数为2，属于二次函数，不符合一次函数定义，排除B；
选项C：总铺轨长度为1200km，可得$y=\frac{1200}{x}$，表达式中$x$在分母位置，属于反比例函数，不符合一次函数定义，排除C；
选项D：声音传播速度为340m/s，传播距离$y=340x$，符合$y=kx$（$k=340\ne0$，$b=0$）的形式，是特殊的一次函数，符合要求。
【答案】
D
【知识点】
一次函数的定义，函数解析式的列写，正比例函数的特征
【点评】
本题是基础的函数类型判定题，解题关键是先根据实际场景推导函数解析式，再严格对照一次函数的定义判断，需要注意正比例函数属于特殊的一次函数，不要误判。
【难度系数】
0.8
3. 某玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买3 kg以上，超过3 kg部分的种子的价格打八折。设购买种子的质量为x kg(x＞3)，付款金额为y元，则y与x之间的关系式为
$y=4x+3$
。答案
3. $y=4x+3$
解析
【分析】
解题时首先明确x＞3的前提，付款金额需分两部分计算：第一部分是3kg以内按原价计算的费用，第二部分是超出3kg的部分按八折计算的费用。分别计算两部分费用后求和，再化简就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
∵ x＞3，
∴ 购买的种子中，前3kg按原价5元/kg收费，费用为：$3 × 5 = 15$元；
超出3kg的部分质量为$(x-3)$kg，该部分单价打八折，即单价为$5 × 0.8 = 4$元/kg，超出部分的费用为：$4(x-3)$元；
总付款金额y为两部分费用之和，因此：
$\begin{aligned}y &= 15 + 4(x-3) \\&= 15 + 4x - 12 \\&= 4x + 3\end{aligned}$
【答案】
$y=4x+3$
【知识点】
函数关系式建立、折扣问题计算、一次函数应用
【点评】
本题是生活中分段计价类的函数应用题，解题核心是明确不同购买区间对应的计价规则，拆分费用分别计算后合并化简即可，注意不要搞错打折优惠的适用范围。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确x＞3的前提，付款金额需分两部分计算：第一部分是3kg以内按原价计算的费用，第二部分是超出3kg的部分按八折计算的费用。分别计算两部分费用后求和，再化简就能得到y与x的函数关系式。
【解析】
∵ x＞3，
∴ 购买的种子中，前3kg按原价5元/kg收费，费用为：$3 × 5 = 15$元；
超出3kg的部分质量为$(x-3)$kg，该部分单价打八折，即单价为$5 × 0.8 = 4$元/kg，超出部分的费用为：$4(x-3)$元；
总付款金额y为两部分费用之和，因此：
$\begin{aligned}y &= 15 + 4(x-3) \\&= 15 + 4x - 12 \\&= 4x + 3\end{aligned}$
【答案】
$y=4x+3$
【知识点】
函数关系式建立、折扣问题计算、一次函数应用
【点评】
本题是生活中分段计价类的函数应用题，解题核心是明确不同购买区间对应的计价规则，拆分费用分别计算后合并化简即可，注意不要搞错打折优惠的适用范围。
【难度系数】
0.9
4. 某地纳入医疗保险的居民大病住院医疗费用的报销比例标准如表4-2-8所示：
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，且800＜x≤3 000，按上述标准报销后，该居民实际支出的金额为y元，则y与x之间的关系式为
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，且800＜x≤3 000，按上述标准报销后，该居民实际支出的金额为y元，则y与x之间的关系式为
$y=0.5x+400$
。答案
4. $y=0.5x+400$
解析
【分析】
首先明确x的取值范围是$800 ＜ x ≤ 3000$，对应表格中第二档报销规则：仅超过800元的部分按50%比例报销。要得到实际支出y和总费用x的关系，需先算出可报销的金额，再用总费用减去报销金额得到实际支出，最后化简式子即可得到函数关系式。
【解析】
已知$800 ＜ x ≤ 3000$，根据报销规则：
1. 可报销的医疗费用部分为$(x - 800)$元，这部分的报销比例为50%，因此报销金额为$50\%(x - 800)$元。
2. 实际支出金额 = 总医疗费用 - 报销金额，因此：
$\begin{aligned}y&=x - 50\%(x - 800)\\&=x - 0.5x + 400\\&=0.5x + 400\end{aligned}$
【答案】
$y=0.5x+400$
【知识点】
列函数关系式；分段计费问题；一次函数实际应用
【点评】
本题结合医保报销的实际场景考查函数关系式的推导，解题的关键是准确匹配费用对应的报销区间，理清总费用、报销金额、实际支出三者的数量关系，计算时注意不要忽略800元的不予报销部分。
【难度系数】
0.7
首先明确x的取值范围是$800 ＜ x ≤ 3000$，对应表格中第二档报销规则：仅超过800元的部分按50%比例报销。要得到实际支出y和总费用x的关系，需先算出可报销的金额，再用总费用减去报销金额得到实际支出，最后化简式子即可得到函数关系式。
【解析】
已知$800 ＜ x ≤ 3000$，根据报销规则：
1. 可报销的医疗费用部分为$(x - 800)$元，这部分的报销比例为50%，因此报销金额为$50\%(x - 800)$元。
2. 实际支出金额 = 总医疗费用 - 报销金额，因此：
$\begin{aligned}y&=x - 50\%(x - 800)\\&=x - 0.5x + 400\\&=0.5x + 400\end{aligned}$
【答案】
$y=0.5x+400$
【知识点】
列函数关系式；分段计费问题；一次函数实际应用
【点评】
本题结合医保报销的实际场景考查函数关系式的推导，解题的关键是准确匹配费用对应的报销区间，理清总费用、报销金额、实际支出三者的数量关系，计算时注意不要忽略800元的不予报销部分。
【难度系数】
0.7
5. 某超市为客户提供某种水果同城配送服务，具体方案如下:若客户购买该水果不超过5 kg,价格为每千克20元;超过5 kg,则超出部分的价格为每千克15元。此外每次配送收取配送费10元。超市为同城某客户配送$x(\mathrm{kg})(x＞5)$该水果,客户付款$y$(元),则$y$与$x(x＞5)$之间的关系式为
$y=15x+35$
。答案
5. $y=15x+35$
解析
【分析】
解题时先明确总付款的构成：总费用=5kg以内的水果费用+超出5kg部分的水果费用+固定配送费。已知x＞5，首先计算前5kg按20元/千克计费的费用，再计算超出5kg的(x-5)kg按15元/千克计费的费用，加上固定配送费10元，最后将三部分费用求和化简，即可得到y与x的关系式。
【解析】
当x＞5时：
1. 5kg水果的费用：$5×20=100$（元）
2. 超出5kg部分的水果重量为$(x-5)\mathrm{kg}$，这部分费用：$15(x-5)$（元）
3. 固定配送费为10元
总付款$y$为三部分费用之和，列式化简：
$\begin{aligned}y&=5×20 + 15(x-5) +10\\&=100 +15x -75 +10\\&=15x +35\end{aligned}$
【答案】
$y=15x+35$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 分段计费问题
3. 整式化简
【点评】
本题结合生活配送场景考查函数关系式的列法，解题核心是理清不同计费标准对应的重量范围，注意不要漏算固定配送费，保证整式化简的计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
解题时先明确总付款的构成：总费用=5kg以内的水果费用+超出5kg部分的水果费用+固定配送费。已知x＞5，首先计算前5kg按20元/千克计费的费用，再计算超出5kg的(x-5)kg按15元/千克计费的费用，加上固定配送费10元，最后将三部分费用求和化简，即可得到y与x的关系式。
【解析】
当x＞5时：
1. 5kg水果的费用：$5×20=100$（元）
2. 超出5kg部分的水果重量为$(x-5)\mathrm{kg}$，这部分费用：$15(x-5)$（元）
3. 固定配送费为10元
总付款$y$为三部分费用之和，列式化简：
$\begin{aligned}y&=5×20 + 15(x-5) +10\\&=100 +15x -75 +10\\&=15x +35\end{aligned}$
【答案】
$y=15x+35$
【知识点】
1. 列函数关系式
2. 分段计费问题
3. 整式化简
【点评】
本题结合生活配送场景考查函数关系式的列法，解题核心是理清不同计费标准对应的重量范围，注意不要漏算固定配送费，保证整式化简的计算准确性即可。
【难度系数】
0.8
6. 某班去甲、乙两个商店为体育比赛优胜者买奖品，书包每个标价为30元，文具盒每个标价为5元。甲商店优惠方案：买一个书包赠送一个文具盒；乙商店优惠方案：按总价的九折优惠。若该班需买8个书包，$x(x≥8)$个文具盒，付款为$y$元。
(1)分别求出甲、乙两个商店的$y$与$x$之间的关系式(甲、乙两个商店的付款金额分别用$y_1,y_2$表示)。
(2)若购买文具盒30个，选哪个商店更优惠？付多少钱？
(1)分别求出甲、乙两个商店的$y$与$x$之间的关系式(甲、乙两个商店的付款金额分别用$y_1,y_2$表示)。
(2)若购买文具盒30个，选哪个商店更优惠？付多少钱？
答案
6. 解:(1)根据题意,得 $y_1=8×30+5(x-8)=5x+200$,$y_2=0.9(8×30+5x)=4.5x+216$,所以甲、乙两个商店的 $y$ 与 $x$ 之间的关系式分别是 $y_1=5x+200$,$y_2=4.5x+216$。
(2)当 $x=30$ 时,$y_1=5×30+200=350$,$y_2=4.5×30+216=351$,因为 $y_1＜y_2$,所以选择甲商店更优惠,付 350 元。
(2)当 $x=30$ 时,$y_1=5×30+200=350$,$y_2=4.5×30+216=351$,因为 $y_1＜y_2$,所以选择甲商店更优惠,付 350 元。
解析
【分析】
（1）要分别推导两个商店的付款金额和文具盒数量的关系式，需对应各自的优惠规则计算：①甲商店买1个书包赠送1个文具盒，买8个书包可获赠8个文具盒，因此仅需为超出8个的部分文具盒付费，总付款=8个书包的总价 + 超出赠送数量的文具盒总价；②乙商店按总价打九折，总付款=（8个书包总价 + 全部文具盒总价）×0.9，分别化简即可得到两个函数关系式。
（2）判断购买30个文具盒时哪个商店更优惠，只需将x=30分别代入（1）中得到的两个关系式，计算出对应付款金额，比较大小后，金额更小的商店更优惠。
【解析】
(1) 根据题意计算：
甲商店的付款金额$y_1$：买8个书包花费$8×30=240$元，赠送8个文具盒，需额外付费的文具盒数量为$(x-8)$个，因此：
$y_1=8×30 + 5(x-8)=240+5x-40=5x+200\quad (x≥8)$
乙商店的付款金额$y_2$：所有商品总价打九折，不打折总价为$8×30+5x$，因此：
$y_2=0.9×(8×30 + 5x)=0.9×(240+5x)=4.5x+216\quad (x≥8)$
(2) 当购买文具盒30个时，即$x=30$，分别代入两个关系式计算：
$y_1=5×30 + 200=150+200=350$
$y_2=4.5×30 + 216=135+216=351$
因为$350＜351$，即$y_1＜y_2$，所以选择甲商店更优惠。
【答案】
(1) 甲商店：$\boldsymbol{y_1=5x+200(x≥8)}$，乙商店：$\boldsymbol{y_2=4.5x+216(x≥8)}$；
(2) 选甲商店更优惠，付350元。
【知识点】
一次函数应用，代数式化简，方案选择比较
【点评】
本题是贴近生活消费场景的实际应用题，解题核心是准确理解不同优惠方案的计费规则，正确列出对应关系式后，通过代入计算比较即可得出最优方案，实用性较强。
【难度系数】
0.8
（1）要分别推导两个商店的付款金额和文具盒数量的关系式，需对应各自的优惠规则计算：①甲商店买1个书包赠送1个文具盒，买8个书包可获赠8个文具盒，因此仅需为超出8个的部分文具盒付费，总付款=8个书包的总价 + 超出赠送数量的文具盒总价；②乙商店按总价打九折，总付款=（8个书包总价 + 全部文具盒总价）×0.9，分别化简即可得到两个函数关系式。
（2）判断购买30个文具盒时哪个商店更优惠，只需将x=30分别代入（1）中得到的两个关系式，计算出对应付款金额，比较大小后，金额更小的商店更优惠。
【解析】
(1) 根据题意计算：
甲商店的付款金额$y_1$：买8个书包花费$8×30=240$元，赠送8个文具盒，需额外付费的文具盒数量为$(x-8)$个，因此：
$y_1=8×30 + 5(x-8)=240+5x-40=5x+200\quad (x≥8)$
乙商店的付款金额$y_2$：所有商品总价打九折，不打折总价为$8×30+5x$，因此：
$y_2=0.9×(8×30 + 5x)=0.9×(240+5x)=4.5x+216\quad (x≥8)$
(2) 当购买文具盒30个时，即$x=30$，分别代入两个关系式计算：
$y_1=5×30 + 200=150+200=350$
$y_2=4.5×30 + 216=135+216=351$
因为$350＜351$，即$y_1＜y_2$，所以选择甲商店更优惠。
【答案】
(1) 甲商店：$\boldsymbol{y_1=5x+200(x≥8)}$，乙商店：$\boldsymbol{y_2=4.5x+216(x≥8)}$；
(2) 选甲商店更优惠，付350元。
【知识点】
一次函数应用，代数式化简，方案选择比较
【点评】
本题是贴近生活消费场景的实际应用题，解题核心是准确理解不同优惠方案的计费规则，正确列出对应关系式后，通过代入计算比较即可得出最优方案，实用性较强。
【难度系数】
0.8
