选择合适的方法解一元二次方程
(1)前面已经学习了用、和解一元二次方程，但在具体问题中，要根据方程的特点，选择合适的方法来求解.
(2)解一元二次方程的基本思路是:将一元二次方程转化为两个一元一次方程，即降次，其本质是把方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即$ax^2 + bx + c = a(x-d)(x-h)$，于是原方程可写成$a(x-d)(x-h)=0$. 由此得出，$x-d=0$或$x-h=0$. 于是$d$和$h$是一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两个根.

(1) 配方法、公式法、因式分解法

【分析】
这是一道一元二次方程解法的基础识记类题目，解题思路非常清晰，只需要回忆此前学习的一元二次方程三类常规求解方法，直接对应填空即可，不需要进行计算或推导。
【解析】
在一元二次方程的求解模块，我们系统学习了三种常用的求解方法：一是配方法，通过把含未知数的项配方为完全平方式实现降次求解；二是公式法，利用推导得到的通用求根公式，代入方程的各项系数即可直接得到根；三是因式分解法，把方程左边的二次多项式分解为两个一次因式的乘积，进而降次为两个一元一次方程求解。因此三个空对应填写这三种方法即可。
【答案】
(1) 配方法、公式法、因式分解法
【知识点】
一元二次方程的解法
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对一元二次方程基本求解方法的记忆掌握情况，是后续根据方程特点灵活选择解法解方程的必备基础。
【难度系数】
0.9

【例】选择合适的方法解下列方程：
(1)$(x+3)^2 - 36 = 0$；
(2)$2x^2 - 7x - 2 = 0$；
(3)$(x+2)^2 = 3(x+2)$；
(4)$x^2 - 2x - 3 = 0$。

解:(1)移项,得$(x+3)^2=36$,
$\therefore x+3=6$ 或 $x+3=-6$,
$\therefore x_1=3,x_2=-9$.
(2)$\because a=2,b=-7,c=-2$,
$\therefore b^2-4ac=(-7)^2-4×2×(-2)=65＞0$,
$\therefore x=\frac{7\pm\sqrt{65}}{2×2}=\frac{7\pm\sqrt{65}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$.
(3)移项,得$(x+2)^2-3(x+2)=0$.
提公因式,得$(x+2)(x+2-3)=0$,
即$(x+2)(x-1)=0$.
$\therefore x+2=0$ 或 $x-1=0$,
$\therefore x_1=-2,x_2=1$.
(4)因式分解,得$(x+1)(x-3)=0$,
$\therefore x+1=0$ 或 $x-3=0$,
$\therefore x_1=-1,x_2=3$.

【分析】
解一元二次方程需先观察方程特征，选择最简便的解法：①若方程形如$(ax+b)^2=c(c≥0)$，优先选用直接开平方法；②若方程可整理为两个一次式乘积等于0的形式，优先选用因式分解法；③若不满足上述特征，可选用公式法或配方法。
本题中：(1)移项后为完全平方式等于正数的形式，适合直接开平方法；(2)无明显因式分解特征，适合用公式法；(3)两边含公因式$(x+2)$，移项提公因式后可用因式分解法；(4)可直接十字相乘因式分解，适合用因式分解法。
【解析】
(1)移项,得$(x+3)^2=36$,
$\therefore x+3=6$ 或 $x+3=-6$,
$\therefore x_1=3,x_2=-9$.
(2)$\because a=2,b=-7,c=-2$,
$\therefore b^2-4ac=(-7)^2-4×2×(-2)=65＞0$,
$\therefore x=\frac{7\pm\sqrt{65}}{2×2}=\frac{7\pm\sqrt{65}}{4}$,
$\therefore x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$.
(3)移项,得$(x+2)^2-3(x+2)=0$.
提公因式,得$(x+2)(x+2-3)=0$,
即$(x+2)(x-1)=0$.
$\therefore x+2=0$ 或 $x-1=0$,
$\therefore x_1=-2,x_2=1$.
(4)因式分解,得$(x+1)(x-3)=0$,
$\therefore x+1=0$ 或 $x-3=0$,
$\therefore x_1=-1,x_2=3$.
【答案】
(1)$x_1=3,x_2=-9$；(2)$x_1=\frac{7+\sqrt{65}}{4},x_2=\frac{7-\sqrt{65}}{4}$；(3)$x_1=-2,x_2=1$；(4)$x_1=-1,x_2=3$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，根据方程特征选择简便解法，可有效提升解题效率、降低计算错误率。
【难度系数】
0.8

【变式1】(2026岳阳期中)解方程$(3x+2)^2=2(3x+2)$的适当方法是（）

A.平方根的意义法
B.配方法
C.公式法
D.因式分解法

D

【分析】
首先观察方程的结构特征：方程左右两边都含有相同的整式$(3x+2)$，解题时不能直接两边除以$(3x+2)$，否则会漏掉$3x+2=0$的解，可先将右侧的项移到左侧，提取公因式$(3x+2)$，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式求解，这种方法就是因式分解法，对比四种解法，因式分解法是最简便的适当方法。
【解析】
观察方程$(3x+2)^2=2(3x+2)$，两边均含有公因式$3x+2$，按如下思路求解：
1. 移项，得$(3x+2)^2 - 2(3x+2) = 0$
2. 提取公因式$3x+2$，得$(3x+2)(3x+2 - 2) = 0$，整理为$3x(3x+2)=0$
3. 令每个因式为0即可快速求出方程的解，整个过程无需开平方、配方或代入求根公式，运算量最小且不易漏解，因此最适当的方法是因式分解法。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活选择，解题核心是先观察方程的结构特征，优先选择运算量小、不易出错的解法，当方程中存在公共因式时，因式分解法是首选的简便方法。
【难度系数】
0.9

【变式2】(2026长沙期中)选择合适的方法解下列方程：
(1)$y^2 + 2026y = 0$；
(2)$2x^2 - 3x - 4 = 0$；
(3)$x^2 - 4x = 3$；
(4)$(x - 2)^2 + x(x - 2) = 0$。

解:(1)$y^2+2026y=0$,
提公因式,得$y(y+2026)=0$,
$\therefore y=0$ 或 $y+2026=0$,
故 $y_1=0,y_2=-2026$.
(2)$2x^2-3x-4=0$,
$a=2,b=-3,c=-4$,
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-4)=41＞0$,
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$,
故 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$.
(3)$x^2-4x=3$,
$x^2-4x+4=3+4$,即$(x-2)^2=7$,
$\therefore x-2=\pm\sqrt{7}$,
$\therefore x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$.
(4)$(x-2)^2+x(x-2)=0$,
$(x-2)(x-2+x)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $2x-2=0$,
$\therefore x_1=2,x_2=1$.

【分析】
解一元二次方程时需先观察方程特征选择最优解法：①若方程可分解为两个一次因式乘积，优先选因式分解法，计算量最小；②若一次项系数为偶数，可优先考虑配方法；③无明显简便特征的选用通用的公式法。各小题对应思路：(1)左边含公因式y，用因式分解法；(2)无明显因式分解特征，用公式法；(3)左边x²-4x凑完全平方很简便，用配方法；(4)左边含公因式(x-2)，用因式分解法。
【解析】
(1) $y^2+2026y=0$,
提公因式,得$y(y+2026)=0$,
$\therefore y=0$ 或 $y+2026=0$,
故 $y_1=0,y_2=-2026$.
(2)$2x^2-3x-4=0$,
$a=2,b=-3,c=-4$,
$b^2-4ac=(-3)^2-4×2×(-4)=41＞0$,
$\therefore x=\frac{3\pm\sqrt{41}}{4}$,
故 $x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$.
(3)$x^2-4x=3$,
$x^2-4x+4=3+4$,即$(x-2)^2=7$,
$\therefore x-2=\pm\sqrt{7}$,
$\therefore x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$.
(4)$(x-2)^2+x(x-2)=0$,
提公因式得$(x-2)(x-2+x)=0$,
$\therefore x-2=0$ 或 $2x-2=0$,
$\therefore x_1=2,x_2=1$.
【答案】
(1)$y_1=0,y_2=-2026$；
(2)$x_1=\frac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\frac{3-\sqrt{41}}{4}$；
(3)$x_1=2+\sqrt{7},x_2=2-\sqrt{7}$；
(4)$x_1=2,x_2=1$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 公式法解一元二次方程
3. 配方法解一元二次方程
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活运用，不同形式的方程对应最优解法不同，优先选择简便方法可减少计算失误、提升解题速度，需熟练掌握各类解法的适用条件和操作步骤。
【难度系数】
0.8

1. 方程$x^2 +5x=0$的适当解法是（）

A.平方根的意义法
B.配方法
C.因式分解法
D.公式法

1. C

【分析】
解题时先回忆一元二次方程四种常见解法的适用特征，再结合本题方程的结构判断最优解法：首先观察方程$x^2+5x=0$，右边为0，左边两项含有公因式$x$，优先考虑是否能用因式分解法求解，再逐一对比其他解法的适用条件，排除不合适的选项即可。
【解析】
逐一分析各选项对应的解法适用情况：
1. 选项A（平方根的意义法）：仅适用于无一次项的一元二次方程，如$x^2=a(a≥0)$类方程，本题含一次项$5x$，不适用；
2. 选项B（配方法）：需经过移项、配方、开方等步骤，本题有更简便的解法，不是最优选择；
3. 选项C（因式分解法）：方程右边为0，左边可提取公因式$x$，分解为$x(x+5)=0$，直接得到$x=0$或$x+5=0$，快速求解，步骤最简便，适用；
4. 选项D（公式法）：为一元二次方程的通用解法，但需要先确定二次项、一次项、常数项系数，代入求根公式计算，步骤繁琐，不是最优选择。
因此最适当的解法是因式分解法。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程解法选择；因式分解法解一元二次方程；提公因式法因式分解
【点评】
本题考查一元二次方程的解法选择，解题时需结合方程的结构特征选取最简便的解法，能有效提升解题效率与正确率。
【难度系数】
0.9

2. 下列解方程的过程,正确的是 ()

A.$x^2 = x$. 两边同除以 $x$,得 $x=1$
B.$x^2 +4=0$. 根据平方根的意义,得 $x=\pm2$
C.$(x-2)(x+1)=3×2$. ∵ $x-2=3, x+1=2, \therefore x_1=5, x_2=1$
D.$(2-3x)+(2-3x)^2=0$. 整理,得 $(2-3x)(1+2-3x)=0, \therefore x_1=\frac{2}{3}, x_2=1$

2. D

【分析】
这道题考查一元二次方程的正确求解规则，需要我们逐个排查每个选项的解方程步骤是否符合数学要求，规避解方程的常见误区：一是等式两边同除以含未知数的式子时，要先确认该式不为0；二是实数的平方具有非负性；三是用因式分解法解方程时，要先把方程整理为右边为0的形式，再分解因式。我们依次验证四个选项的求解过程即可选出正确答案。
【解析】
我们对四个选项逐一分析：
选项A：解方程$x^2=x$时，不能直接两边除以$x$，$x$有可能为0，该操作漏了$x=0$的根。正确解法是移项得$x^2-x=0$，因式分解为$x(x-1)=0$，解得$x_1=0,x_2=1$，因此A错误。
选项B：方程$x^2+4=0$移项得$x^2=-4$，任意实数的平方都是非负数，因此该方程没有实数根，不可能得到$x=\pm2$，因此B错误。
选项C：因式分解法解方程的前提是方程右边为0，该选项没有先将右边的6移到左边整理，直接令两个因式分别等于3和2，求解逻辑错误，因此C错误。
选项D：方程$(2-3x)+(2-3x)^2=0$，提取公因式$(2-3x)$，可得$(2-3x)(1+2-3x)=0$，即$(2-3x)(3-3x)=0$；分别令两个因式为0：$2-3x=0$解得$x=\frac{2}{3}$，$3-3x=0$解得$x=1$，即$x_1=\frac{2}{3},x_2=1$，求解过程完全正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法，等式的性质
【点评】
本题聚焦解方程的常见易错点，同学们在解方程时要严格遵守运算规则，不要出现随意除以含未知数的式子、忽略平方非负性、因式分解法未先将方程右边化为0等错误。
【难度系数】
0.7