1. (2026廊坊月考)方程 $x(x-3)=0$ 的根为（）

A.$x_1=x_2=0$
B.$x_1=x_2=3$
C.$x_1=0,x_2=3$
D.$x_1=0,x_2=-3$

1. C

【分析】
本题考查因式分解法解一元二次方程，解题核心是利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的原理。观察题干可知方程已经是两个一次因式相乘等于0的形式，无需额外因式分解，直接令每个因式分别等于0，解对应的一元一次方程即可得到方程的根，再匹配对应选项即可。
【解析】
已知方程$x(x - 3) = 0$，根据零乘积性质可得：
若两个因式乘积为0，则其中任意一个因式为0等式都成立，因此分两种情况：
1. 令第一个因式为0：$x=0$；
2. 令第二个因式为0：$x-3=0$，解得$x=3$。
因此方程的根为$x_1=0$，$x_2=3$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.因式分解法解一元二次方程 2.零乘积性质
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题关键是正确运用零乘积性质将二次方程转化为两个一次方程求解，计算量小，属于易得分题。
【难度系数】
0.9

2.方程$x(x-1)=x$的解是 （）

A.$x=0$
B.$x=2$
C.$x_1=0,x_2=2$
D.$x_1=0,x_2=1$

2. C

【分析】
本题考查一元二次方程的求解，解题时需注意不能直接在方程两边同时除以x，否则会漏掉x=0的根。正确思路为：先将方程右边的项移到左边，使方程右边为0，再对左边的多项式提取公因式进行因式分解，最后令每个因式等于0，即可求出方程的两个解。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x-1)-x=0$
提取公因式$x$，得：
$x[(x-1)-1]=0$
整理得：
$x(x-2)=0$
令每个因式为0，得：
$x=0$ 或 $x-2=0$
解得$x_1=0$，$x_2=2$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 一元二次方程求解注意事项
【点评】
本题属于基础常考题，易错点是直接约去含未知数的因式导致漏解，求解此类整式方程时，要先将方程整理为一边为0的形式，再用因式分解等方法求解，避免随意除以含未知数的代数式造成漏根。
【难度系数】
0.8

3. (2025岳阳月考)一元二次方程$x^2 + 3x -4=0$的解是 （）

A.$x_1=1,x_2=-4$
B.$x_1=-1,x_2=4$
C.$x_1=-1,x_2=-4$
D.$x_1=1,x_2=4$

3. A

【分析】
本题要求解一元二次方程的根，有两种常见思考方向：一是直接求解方程，优先选择简便的因式分解法，观察方程左边的二次三项式，可通过十字相乘法分解为两个一次式的乘积，再根据“若两个因式乘积为0，则至少一个因式为0”的原理，转化为两个一元一次方程求解；二是将选项中的根代入原方程验证，满足方程左右两边相等的即为正确答案。
【解析】
解法1（因式分解法）：
对$x^2 + 3x -4$进行十字相乘法因式分解：
常数项$-4$可拆为$4×(-1)$，且$4+(-1)=3$，恰好等于一次项系数，因此原方程可变形为：
$(x+4)(x-1)=0$
根据乘法的性质，得$x+4=0$或$x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=-4$，$x_2=1$，对应选项A。
解法2（代入验证法）：
将各选项的根依次代入原方程：
A选项中，$x=1$时，左边$=1^2+3×1-4=0$；$x=-4$时，左边$=(-4)^2+3×(-4)-4=0$，两个根都满足方程，因此A正确。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程求解、因式分解法、十字相乘法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，核心考查一元二次方程解法的灵活运用，选择合适的解法可以快速得出结果，属于对基础知识点的常规考查。
【难度系数】
0.9

4. (2025上海期中)方程$5x^2 -4x=0$的解为。

4. $x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$

【分析】
本题是不含常数项的一元二次方程，优先选择因式分解法求解。解题思路：首先观察方程左边两项都含有公因式x，先提取公因式将方程变形为两个一次因式乘积等于0的形式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式的值为0”的性质，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的解。
【解析】
解：对原方程$5x^2 -4x=0$提取公因式$x$，可得：
$x(5x-4)=0$
根据乘积为0的性质可得：
$x=0$ 或 $5x-4=0$
解一元一次方程$5x-4=0$，移项得$5x=4$，系数化为1得$x=\frac{4}{5}$。
综上，原方程的解为$x_1=0$，$x_2=\frac{4}{5}$。
【答案】
$x_1=0,x_2=\frac{4}{5}$
【知识点】
因式分解法解方程、提公因式因式分解、一元一次方程求解
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，针对无常数项的一元二次方程，选用因式分解法可大幅简化计算过程，熟练掌握不同形式一元二次方程的适用解法是解题的关键。
【难度系数】
0.9

5. 小明同学在解一元二次方程时，他是这样做的：
解:一元二次方程 $x(x-2)=2-x$，
移项,得 $x(x-2)+(x-2)=0$,……第一步
两边都除以$(x-2)$,得 $x+1=0$,……第二步
移项,得 $x=-1$.……第三步
(1)小明的解法从第步开始出现错误;此题的正确结果是.
(2)用因式分解法解方程: $3(x+4)^2 = x(4+x)$.

(1) 二 $x_1=2,x_2=-1$
(2) 解:$3(x+4)^2 = x(4+x)$,$3(x+4)^2 - x(4+x)=0$,$(x+4)[3(x+4)-x]=0$,$(x+4)(2x+12)=0$,解得$x_1=-4,x_2=-6$.

【分析】
(1) 解题先依据等式的性质判断：等式两边同时除以同一个不为0的整式，等式才成立。小明第二步直接除以(x-2)，未考虑x-2=0的情况，会丢失解，因此从第二步开始出错。正确解法是对移项后的式子提取公因式(x-2)，令每个因式为0即可求出全部解。
(2) 第二问用因式分解法解方程，核心思路是先移项使方程右边为0，再提取公因式(x+4)，将二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根。
【解析】
(1) 第一步移项：将右边的2-x变形为-(x-2)，移到左边得$x(x-2)+(x-2)=0$，步骤正确；
第二步：直接两边除以$(x-2)$，默认了$x-2≠0$，忽略了$x-2=0$即$x=2$的情况，除以0无意义，因此第二步错误。
正确解法：对$x(x-2)+(x-2)=0$提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x+1)=0$，
则$x-2=0$或$x+1=0$，解得$x_1=2$，$x_2=-1$。
(2) 解方程$3(x+4)^2 = x(4+x)$：
移项，得$3(x+4)^2 - x(x+4)=0$，
提取公因式$(x+4)$，得$(x+4)[3(x+4)-x]=0$，
化简括号内的式子：$3(x+4)-x=3x+12-x=2x+12$，方程变为$(x+4)(2x+12)=0$，
令两个因式分别为0，得$x+4=0$或$2x+12=0$，
分别解得$x_1=-4$，$x_2=-6$。
【答案】
(1) 二；$x_1=2,x_2=-1$
(2) $x_1=-4,x_2=-6$
【知识点】
1. 因式分解法解一元二次方程
2. 等式的性质
【点评】
本题考查一元二次方程的解法，易错点是求解时随意除以可能为0的整式导致漏解，熟练掌握因式分解法的步骤、明确等式性质的适用条件是解题的关键。
【难度系数】
0.7

6.定义运算：$m\&n=m^2 - mn +5$. 例如$1\&2=1^2 -1×2 +5=4$,则方程$x\&6=0$的根为.

6. $x_1=1,x_2=5$

【分析】
解题时首先要准确理解题目给出的新定义运算规则：$m\&n=m^2 - mn +5$，求解方程$x\&6=0$的第一步是将新运算按照规则转化为我们熟悉的常规整式方程，把运算式中的$m$替换为$x$、$n$替换为$6$，即可得到关于$x$的一元二次方程，再用一元二次方程的解法求解即可。
【解析】
根据新定义的运算规则可得：
$x\&6=x^2 - 6x + 5$
因此原方程可转化为：
$x^2 - 6x + 5 = 0$
对等式左边因式分解得：
$(x-1)(x-5)=0$
则$x-1=0$或$x-5=0$，解得：
$x_1=1$，$x_2=5$
【答案】
$x_1=1,x_2=5$
【知识点】
新定义运算；一元二次方程的解法
【点评】
本题重点考查对新定义运算的理解转化能力，核心是将陌生的新运算转化为已学的常规方程，再结合一元二次方程的解法即可解题，属于基础类题型。
【难度系数】
0.8

7.已知关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -2m +5=0$的一个根为2，求m的值.

7. 解:$\because$关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -2m +5=0$的一个根为2,$\therefore 2^2 -6×2 + m^2 -2m +5=0$,即$m^2 -2m -3=0$,解得$m_1=3,m_2=-1$,$\therefore m$的值为3或-1.

【分析】
解题核心是利用一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的根。已知x=2是方程的根，第一步将x=2代入原方程，即可将原方程转化为关于m的一元二次方程，第二步解这个关于m的一元二次方程，就能得到m的取值。
【解析】
∵关于x的方程$x^2 -6x + m^2 -2m +5=0$的一个根为2，
∴将x=2代入方程得：$2^2 -6×2 + m^2 -2m +5=0$，
化简计算得：$4-12+m^2-2m+5=0$，即$m^2 -2m -3=0$，
因式分解得$(m-3)(m+1)=0$，
解得$m_1=3$，$m_2=-1$。
【答案】
m的值为3或-1
【知识点】
一元二次方程根的定义；解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程根的定义的应用，解题思路直接，只要熟练掌握根的定义代入参数，再正确求解一元二次方程即可得分，是一元二次方程章节的常见基础题。
【难度系数】
0.85

8.阅读下列材料，然后回答问题.
解方程：$x^2 - 3|x| + 2 = 0$.
解：当$x≥0$时，原方程可化为$x^2 - 3x + 2 = 0$，解得$x_1=2,x_2=1$；
当$x＜0$时，原方程可化为$x^2 + 3x + 2 = 0$，解得$x_3=-1,x_4=-2$.
$\therefore$原方程的根是$x_1=2,x_2=1,x_3=-1,x_4=-2$.
请观察上述方程的求解过程，试解方程$x^2 - |x| - 2 = 0$.

8. 解:当$x≥0$时,原方程可化为$x^2 -x -2=0$,解得$x=2$或$x=-1$(不合题意,舍去);
当$x＜0$时,原方程可化为$x^2 +x -2=0$,解得$x=-2$或$x=1$(不合题意,舍去).
$\therefore$ 原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$.

【分析】
这是一道含绝对值的一元二次方程求解问题，解题核心是利用绝对值的性质去掉绝对值符号。我们需要分两种情况讨论：①当x≥0时，|x|=x，将原方程转化为普通一元二次方程求解，解完后要检验是否满足x≥0的前提，不符合的舍去；②当x＜0时，|x|=-x，同样将原方程转化为普通一元二次方程求解，再检验解是否满足x＜0的前提，最后汇总所有符合条件的解即为原方程的根。
【解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当$x≥0$时，$|x|=x$，原方程可化为$x^2 -x -2=0$，
因式分解得$(x-2)(x+1)=0$，解得$x=2$或$x=-1$，
∵此时$x≥0$，
∴$x=-1$不合题意，舍去；
（2）当$x＜0$时，$|x|=-x$，原方程可化为$x^2 +x -2=0$，
因式分解得$(x+2)(x-1)=0$，解得$x=-2$或$x=1$，
∵此时$x＜0$，
∴$x=1$不合题意，舍去。
$\therefore$ 原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$。
【答案】
原方程的根是$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
绝对值的性质，一元二次方程的解法，分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论思想在解方程中的应用，解题关键是根据绝对值的取值规则分情况去绝对值符号，求解后要注意验证解是否符合对应情况的取值范围，避免产生增根。
【难度系数】
0.7