3. 选择合适的方法解下列方程：
(1)$(1-x)^2=1$；
(2)$x(x+5)=24$；
(3)$3(x-5)^2=x^2-25$；
(4)$4x^2-3x-1=0$。

解:(1)$x_1=0,x_2=2$.
(2)$x_1=-8,x_2=3$.
(3)$x_1=5,x_2=10$.
(4)$x_1=1,x_2=-\frac{1}{4}$.

【分析】
这是一组一元二次方程求解的题目，需根据每个方程的结构特征选择最简便的解法：
(1)方程左边是完全平方式，右边为非负常数，优先选用直接开平方法，避免展开计算；
(2)先整理为一元二次方程的一般形式，观察一次项系数和常数项的关系，适合用十字相乘法因式分解求解；
(3)方程右边可利用平方差公式因式分解，左右两侧存在公因式$(x-5)$，移项后提取公因式因式分解求解更简便，无需展开整理为一般式；
(4)观察各项系数满足十字相乘的条件，优先选用因式分解法，也可使用公式法求解。
【解析】
(1) 对$(1-x)^2=1$直接开平方，得：
$1-x=\pm1$
当$1-x=1$时，解得$x=0$；
当$1-x=-1$时，解得$x=2$。
(2) 原方程整理为一般式：
$x^2+5x-24=0$
十字相乘法因式分解得：
$(x+8)(x-3)=0$
则$x+8=0$或$x-3=0$，分别求解即可。
(3) 先将右边利用平方差公式变形：$x^2-25=(x-5)(x+5)$，原方程移项得：
$3(x-5)^2-(x-5)(x+5)=0$
提取公因式$(x-5)$得：
$(x-5)[3(x-5)-(x+5)]=0$
化简括号内的式子得：
$(x-5)(2x-20)=0$
则$x-5=0$或$2x-20=0$，分别求解即可。
(4) 对$4x^2-3x-1=0$用十字相乘法因式分解得：
$(4x+1)(x-1)=0$
则$4x+1=0$或$x-1=0$，分别求解即可。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2$；
(2)$x_1=-8,x_2=3$；
(3)$x_1=5,x_2=10$；
(4)$x_1=1,x_2=-\frac{1}{4}$。
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题考查一元二次方程解法的灵活应用，解题时优先观察方程特征选择简便方法，可有效降低计算量，提升正确率，是一元二次方程求解的基础题型。
【难度系数】
0.8

4. (2026 银川期末)在解一元二次方程 $x^2 -2x -8=0$ 时,小明的解法如下,请按要求完成下列问题.
第一步:$x^2 -2x=8$,
第二步:$x^2 -2x+1=8$,
第三步:$(x-1)^2=8$,
第四步:$x-1=2\sqrt{2}$或 $x-1=-2\sqrt{2}$,
第五步:$x_1=1+2\sqrt{2},x_2=1-2\sqrt{2}$.
(1)小明第三步配方的依据是;
A.完全平方公式 B.平方差公式
C.多项式与多项式乘法法则
(2)上述解题过程中,第步开始出现错误,错误的原因是,此方程正确的解是;
(3)用合适的方法解方程:$2y^2 -9y +5=0$.

(1) A
(2) 二 没有给等号右边加1 $x_1=4,x_2=-2$
(3)解:$2y^2-9y+5=0$,
$\because a=2,b=-9,c=5$,
$\therefore b^2-4ac=(-9)^2-4×2×5=41$,
$\therefore y=\frac{-(-9)\pm\sqrt{41}}{2×2}$,
$\therefore y_1=\frac{9+\sqrt{41}}{4},y_2=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$.

【分析】
（1）配方时将二次三项式$x^2-2x+1$变形为$(x-1)^2$，是完全平方公式的逆用，据此选择即可；
（2）配方法需遵循等式的性质，等式两边要同时加上相同的数才能保证等式成立，观察小明的步骤，第二步仅左边加了1，右边没有加1，违背等式性质，因此从第二步开始出错，按照正确的配方法步骤求解就能得到原方程的正确解；
（3）观察方程$2y^2 -9y +5=0$，不易用因式分解法求解，因此选择公式法：先确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，再代入求根公式计算即可。
【解析】
（1）第三步将$x^2-2x+1$转化为$(x-1)^2$，依据的是完全平方公式，故选A；
（2）配方法要求等式两边同时加相同的数，小明第二步仅在等号左边加1，没有给等号右边加1，因此第二步开始出现错误；
正确求解过程：
$x^2 -2x=8$
$x^2 -2x+1=8+1$
$(x-1)^2=9$
$x-1=\pm3$
即$x-1=3$或$x-1=-3$
解得$x_1=4$，$x_2=-2$；
（3）用公式法解方程$2y^2 -9y +5=0$：
$\because a=2,b=-9,c=5$
$\therefore \Delta =b^2-4ac=(-9)^2-4×2×5=41＞0$，方程有两个不相等的实数根
$\therefore y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-9)\pm\sqrt{41}}{2×2}=\frac{9\pm\sqrt{41}}{4}$
【答案】
(1) A
(2) 二；没有给等号右边加1；$x_1=4,x_2=-2$
(3) $y_1=\frac{9+\sqrt{41}}{4},y_2=\frac{9-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
完全平方公式；配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【点评】
本题围绕一元二次方程的解法设题，重点考查配方法的操作规范和公式法的计算步骤，解题时要注意配方法需保证等式两边变形一致，用公式法时要准确代入系数，避免符号错误。
【难度系数】
0.75

5. (2026淮南月考)【阅读材料】方程$(x^2 -1)^2 -5(x^2 -1)+4=0$是一个一元四次方程，我们可以把$x^2 -1$看成一个整体，设$x^2 -1 = y$，则原方程可化为$y^2 -5y +4=0$. ①
解方程①可得$y_1=1, y_2=4$.
当$y=1$时，$x^2 -1=1$，即$x^2=2$，$\therefore x=\pm\sqrt{2}$；
当$y=4$时，$x^2 -1=4$，即$x^2=5$，$\therefore x=\pm\sqrt{5}$.
$\therefore$原方程的解为$x_1=\sqrt{2}, x_2=-\sqrt{2}, x_3=\sqrt{5}, x_4=-\sqrt{5}$.
【解决问题】
(1)方程$x^4 -16=0$的解为；
(2)已知$(x^2 + y^2 +1)(x^2 + y^2 +3)=8$，求$x^2 + y^2$的值；
(3)请仿照材料中的方法，解方程：$(x^2 -3x)^2 -6(x^2 -3x)=0$.

(1) $x_1=2,x_2=-2$
(2)解:设$m=x^2+y^2$,则原方程可化为$(m+1)(m+3)=8$,
整理,得$m^2+4m-5=0$,
解得$m_1=-5,m_2=1$,
又$\because x^2+y^2\ge0$,
$\therefore x^2+y^2=1$.
(3)解:设$x^2-3x=y$,则原方程可化为$y^2-6y=0$,
解得$y_1=0,y_2=6$,
当$y=0$时,$x^2-3x=0$,解得$x_1=0,x_2=3$,
当$y=6$时,$x^2-3x=6$,解得$x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$,
$\therefore$原方程的解为$x_1=0,x_2=3,x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$.

【分析】
这三道题均考查换元法的应用，核心是通过整体换元将高次或结构复杂的方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题思路如下：
(1) 四次方程$x^4 -16=0$可将$x^2$看作整体，降次为一元二次方程求解，注意实数范围内平方数非负，舍去无意义的根；
(2) 式中$x^2+y^2$重复出现，将其设为新元$m$，先解关于$m$的一元二次方程，再结合$x^2$、$y^2$的非负性舍去不符合题意的负根；
(3) 将重复出现的$x^2-3x$设为新元$y$，先解关于$y$的一元二次方程，再将$y$的取值代回$x^2-3x=y$，分别解关于$x$的一元二次方程即可得原方程所有解。
【解析】
(1) 解：将$x^4-16=0$变形为$(x^2)^2 - 16=0$，因式分解得$(x^2-4)(x^2+4)=0$，
$\because$实数范围内$x^2+4＞0$恒成立，$\therefore x^2-4=0$，即$x^2=4$，解得$x_1=2,x_2=-2$。
(2) 解：设$m=x^2+y^2$，由平方的非负性可知$m≥0$，
原方程化为$(m+1)(m+3)=8$，展开整理得$m^2+4m-5=0$，
因式分解得$(m+5)(m-1)=0$，解得$m_1=-5,m_2=1$，
$\because m≥0$，$\therefore m=-5$不符合题意舍去，故$x^2+y^2=1$。
(3) 解：设$x^2-3x=y$，原方程化为$y^2-6y=0$，
因式分解得$y(y-6)=0$，解得$y_1=0,y_2=6$，
当$y=0$时，$x^2-3x=0$，即$x(x-3)=0$，解得$x_1=0,x_2=3$；
当$y=6$时，$x^2-3x=6$，整理得$x^2-3x-6=0$，由求根公式得$x=\frac{3\pm\sqrt{(-3)^2-4×1×(-6)}}{2}=\frac{3\pm\sqrt{33}}{2}$，即$x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$。
综上，原方程的解为$x_1=0,x_2=3,x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$。
【答案】
(1) $x_1=2,x_2=-2$
(2) $x^2+y^2=1$
(3) $x_1=0,x_2=3,x_3=\frac{3-\sqrt{33}}{2},x_4=\frac{3+\sqrt{33}}{2}$
【知识点】
换元法降次，一元二次方程求解，平方的非负性
【点评】
本题是换元法应用的典型题型，通过整体换元可大幅降低方程的求解难度，解题时要注意挖掘题目隐含条件，及时舍去不符合要求的根，避免出现增解。
【难度系数】
0.7