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一、平方根的意义法
1. 解方程：$\frac{1}{2}x^2=2$.
2. 解方程：$9-(x-1)^2=0$.
3. 解方程：$(x-2)^2=(2x+3)^2$.
1. 解方程：$\frac{1}{2}x^2=2$.
2. 解方程：$9-(x-1)^2=0$.
3. 解方程：$(x-2)^2=(2x+3)^2$.
答案
1. 两边同时乘以2,得$x^2=4$,
根据平方根的意义,得$x=\pm2$,即$x_1=2$,$x_2=-2$.
2. 移项得$(x-1)^2=9$,
开平方得$x-1=\pm3$,
当$x-1=3$时,$x=4$;当$x-1=-3$时,$x=-2$;
故方程的解为$x_1=4$,$x_2=-2$.
3. $\because (x-2)^2=(2x+3)^2$,
$\therefore x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$,
解得$x_1=-5$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
根据平方根的意义,得$x=\pm2$,即$x_1=2$,$x_2=-2$.
2. 移项得$(x-1)^2=9$,
开平方得$x-1=\pm3$,
当$x-1=3$时,$x=4$;当$x-1=-3$时,$x=-2$;
故方程的解为$x_1=4$,$x_2=-2$.
3. $\because (x-2)^2=(2x+3)^2$,
$\therefore x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$,
解得$x_1=-5$,$x_2=-\frac{1}{3}$.
解析
【分析】
这三道题均采用平方根的意义（直接开平方法）求解一元二次方程，解题核心思路为：先将方程整理为两类形式，一类是含未知数的完全平方式等于非负常数，另一类是两个含未知数的完全平方式相等；根据平方根的性质，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，借此将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，注意不要漏解。
【解析】
1. 解方程$\frac{1}{2}x^2=2$：
两边同时乘以2消去二次项系数，得$x^2=4$，根据平方根的意义，得$x=\pm2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
2. 解方程$9-(x-1)^2=0$：
移项得$(x-1)^2=9$，开平方得$x-1=\pm3$；当$x-1=3$时，$x=4$；当$x-1=-3$时，$x=-2$。
3. 解方程$(x-2)^2=(2x+3)^2$：
根据平方相等的两个数相等或互为相反数，可得$x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$；
解$x-2=2x+3$得$x=-5$，解$x-2=-(2x+3)$得$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
1. $x_1=2$，$x_2=-2$
2. $x_1=4$，$x_2=-2$
3. $x_1=-5$，$x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本组题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对平方根意义的应用，解题时要准确将方程变形为可开平方的形式，降次为一次方程后即可快速求解，注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.85
这三道题均采用平方根的意义（直接开平方法）求解一元二次方程，解题核心思路为：先将方程整理为两类形式，一类是含未知数的完全平方式等于非负常数，另一类是两个含未知数的完全平方式相等；根据平方根的性质，若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，若$a^2=b^2$，则$a=b$或$a=-b$，借此将二次方程降次转化为两个一元一次方程求解，注意不要漏解。
【解析】
1. 解方程$\frac{1}{2}x^2=2$：
两边同时乘以2消去二次项系数，得$x^2=4$，根据平方根的意义，得$x=\pm2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$。
2. 解方程$9-(x-1)^2=0$：
移项得$(x-1)^2=9$，开平方得$x-1=\pm3$；当$x-1=3$时，$x=4$；当$x-1=-3$时，$x=-2$。
3. 解方程$(x-2)^2=(2x+3)^2$：
根据平方相等的两个数相等或互为相反数，可得$x-2=2x+3$ 或 $x-2=-(2x+3)$；
解$x-2=2x+3$得$x=-5$，解$x-2=-(2x+3)$得$x=-\frac{1}{3}$。
【答案】
1. $x_1=2$，$x_2=-2$
2. $x_1=4$，$x_2=-2$
3. $x_1=-5$，$x_2=-\frac{1}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本组题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对平方根意义的应用，解题时要准确将方程变形为可开平方的形式，降次为一次方程后即可快速求解，注意不要遗漏负根。
【难度系数】
0.85
二、配方法
4.解方程:$2x^2 -4x -1=0.$
4.解方程:$2x^2 -4x -1=0.$
答案
4. 将二次项系数化为1,得$x^2-2x-\frac{1}{2}=0$,
配方,得$x^2-2x+1-1-\frac{1}{2}=0$,
$\therefore x^2-2x+1=\frac{3}{2}$,
即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$,
$\therefore x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$,
解得$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$,$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$.
配方,得$x^2-2x+1-1-\frac{1}{2}=0$,
$\therefore x^2-2x+1=\frac{3}{2}$,
即$(x-1)^2=\frac{3}{2}$,
$\therefore x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$,
解得$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$,$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$.
解析
【分析】
本题要求用配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的标准步骤，第一步先将二次项系数化为1，方便后续凑完全平方形式；接着对含x的项进行配方，即给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边转化为完全平方式，右边合并为常数；再根据平方根的定义对等式两边开平方，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解；最后移项计算得到方程的两个根即可。
【解析】
首先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2-2x-\frac{1}{2}=0$
配方，在方程左边加上一次项系数-2一半的平方1，同时减去1保持等式成立，得：
$x^2-2x+1-1-\frac{1}{2}=0$
移项合并常数项，得：
$x^2-2x+1=\frac{3}{2}$
即完全平方形式：
$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
对等式两边开平方，化简得：
$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
移项求解得：
$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题，核心是掌握配方法的操作流程，开平方时要注意正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
本题要求用配方法解一元二次方程，解题思路如下：首先回忆配方法的标准步骤，第一步先将二次项系数化为1，方便后续凑完全平方形式；接着对含x的项进行配方，即给方程两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边转化为完全平方式，右边合并为常数；再根据平方根的定义对等式两边开平方，注意正数有两个互为相反数的平方根，不要漏解；最后移项计算得到方程的两个根即可。
【解析】
首先将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2-2x-\frac{1}{2}=0$
配方，在方程左边加上一次项系数-2一半的平方1，同时减去1保持等式成立，得：
$x^2-2x+1-1-\frac{1}{2}=0$
移项合并常数项，得：
$x^2-2x+1=\frac{3}{2}$
即完全平方形式：
$(x-1)^2=\frac{3}{2}$
对等式两边开平方，化简得：
$x-1=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}$
移项求解得：
$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【答案】
$x_1=1+\frac{\sqrt{6}}{2}$，$x_2=1-\frac{\sqrt{6}}{2}$
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式、平方根的性质
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题，核心是掌握配方法的操作流程，开平方时要注意正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.8
5. 解方程：$\dfrac{2}{3}x^2 + \dfrac{1}{3}x - 2 = 0.$
答案
5. 去分母,得$2x^2+x-6=0$.
将二次项系数化为1,得$x^2+\frac{1}{2}x-3=0$.
配方,得$x^2+\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2-3=0$.
即$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$.
$\therefore x+\frac{1}{4}=\pm\frac{7}{4}$.
解得$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=-2$.
将二次项系数化为1,得$x^2+\frac{1}{2}x-3=0$.
配方,得$x^2+\frac{1}{2}x+(\frac{1}{4})^2-(\frac{1}{4})^2-3=0$.
即$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$.
$\therefore x+\frac{1}{4}=\pm\frac{7}{4}$.
解得$x_1=\frac{3}{2}$,$x_2=-2$.
解析
【分析】
这是一道带分数系数的一元二次方程求解问题，解题思路如下：首先观察方程系数为分数，可先利用等式的性质去分母，将方程转化为整数系数的一元二次方程，简化后续计算；若选用配方法求解，接下来先将二次项系数化为1，再通过加上并减去一次项系数一半的平方完成配方，把方程变形为“完全平方式等于非负常数”的形式，最后直接开平方即可求出方程的解。
【解析】
解：去分母，方程两边同时乘3，得：
$2x^2 + x - 6 = 0$
将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
配方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{1}{4})^2$，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 - 3 = 0$
整理得：$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$
两边开平方，得：$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{7}{4}$
分别求解得：
当$x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$时，$x_1=\frac{3}{2}$；
当$x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$时，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的性质；一元二次方程解法
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，主要考察配方法的解题步骤和分数系数方程的化简能力，熟练掌握配方的操作技巧是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
这是一道带分数系数的一元二次方程求解问题，解题思路如下：首先观察方程系数为分数，可先利用等式的性质去分母，将方程转化为整数系数的一元二次方程，简化后续计算；若选用配方法求解，接下来先将二次项系数化为1，再通过加上并减去一次项系数一半的平方完成配方，把方程变形为“完全平方式等于非负常数”的形式，最后直接开平方即可求出方程的解。
【解析】
解：去分母，方程两边同时乘3，得：
$2x^2 + x - 6 = 0$
将二次项系数化为1，方程两边同时除以2，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - 3 = 0$
配方，加上并减去一次项系数一半的平方$(\frac{1}{4})^2$，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x + (\frac{1}{4})^2 - (\frac{1}{4})^2 - 3 = 0$
整理得：$(x+\frac{1}{4})^2=\frac{49}{16}$
两边开平方，得：$x+\frac{1}{4}=\pm\frac{7}{4}$
分别求解得：
当$x+\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$时，$x_1=\frac{3}{2}$；
当$x+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$时，$x_2=-2$。
【答案】
$x_1=\frac{3}{2},x_2=-2$
【知识点】
配方法解一元二次方程；等式的性质；一元二次方程解法
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，主要考察配方法的解题步骤和分数系数方程的化简能力，熟练掌握配方的操作技巧是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8
三、公式法
6. (2025厦门月考)解方程：$x^2 + x - 3 = 0.$
6. (2025厦门月考)解方程：$x^2 + x - 3 = 0.$
答案
6. $x^2+x-3=0$,
$a=1$,$b=1$,$c=-3$,
$b^2-4ac=1^2-4×1×(-3)=13$,
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$,
$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$.
$a=1$,$b=1$,$c=-3$,
$b^2-4ac=1^2-4×1×(-3)=13$,
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$,
$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$,$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$.
解析
【分析】
本题要求用公式法解一元二次方程，解题思路如下：第一步先确认方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），本题已符合一般形式，可直接确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意常数项的符号不要出错；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据判别式的正负判断方程实根的情况，本题判别式为正，存在两个不相等的实数根；第三步将系数和判别式代入一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到两个根即可。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 + x - 3 = 0$是一元二次方程的一般形式，
∴ $a=1$，$b=1$，$c=-3$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-3) = 13$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对公式法解题步骤的掌握情况，解题时需注意准确识别系数$a、b、c$的符号，避免判别式计算出错。
【难度系数】
0.8
本题要求用公式法解一元二次方程，解题思路如下：第一步先确认方程是否为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），本题已符合一般形式，可直接确定系数$a$、$b$、$c$的取值，注意常数项的符号不要出错；第二步计算根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据判别式的正负判断方程实根的情况，本题判别式为正，存在两个不相等的实数根；第三步将系数和判别式代入一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，计算得到两个根即可。
【解析】
解：
∵ 方程$x^2 + x - 3 = 0$是一元二次方程的一般形式，
∴ $a=1$，$b=1$，$c=-3$，
计算根的判别式：$\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4×1×(-3) = 13$，
代入求根公式得：
$x=\frac{-1\pm\sqrt{13}}{2}$，
即$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$。
【答案】
$x_1=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}$，$x_2=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}$
【知识点】
公式法解一元二次方程；根的判别式；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，重点考查对公式法解题步骤的掌握情况，解题时需注意准确识别系数$a、b、c$的符号，避免判别式计算出错。
【难度系数】
0.8
7. 解方程:$(2x-1)^2=4x$.
答案
7. 方程化为一般形式为$4x^2-8x+1=0$.
$\because a=4$,$b=-8$,$c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=48＞0$,
$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$,
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$,$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
$\because a=4$,$b=-8$,$c=1$,
$\therefore b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=48＞0$,
$\therefore x=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$,
解得$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$,$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$.
解析
【分析】
本题是含完全平方形式的一元二次方程，解题思路如下：首先需将方程转化为一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开左边的$(2x-1)^2$，再通过移项、合并同类项得到$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式；观察得到的一般式系数无明显因式分解特征，因此选择公式法求解更简便；接下来先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程根的情况，若$\Delta≥0$则代入求根公式计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
首先展开完全平方项，原方程可化为：
$4x^2-4x+1=4x$
移项、合并同类项得到一般形式：
$4x^2-8x+1=0$
其中$a=4$，$b=-8$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=64-16=48＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
完全平方公式，公式法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查完全平方展开、公式法解方程的步骤掌握，解题时要注意移项需变号，代入求根公式时不要弄错系数的符号，最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
本题是含完全平方形式的一元二次方程，解题思路如下：首先需将方程转化为一元二次方程的一般形式，先利用完全平方公式展开左边的$(2x-1)^2$，再通过移项、合并同类项得到$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的形式；观察得到的一般式系数无明显因式分解特征，因此选择公式法求解更简便；接下来先计算判别式$\Delta=b^2-4ac$判断方程根的情况，若$\Delta≥0$则代入求根公式计算，最后将结果化简为最简形式即可。
【解析】
首先展开完全平方项，原方程可化为：
$4x^2-4x+1=4x$
移项、合并同类项得到一般形式：
$4x^2-8x+1=0$
其中$a=4$，$b=-8$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta=b^2-4ac=(-8)^2-4×4×1=64-16=48＞0$，
因此方程有两个不相等的实数根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$得：
$x=\frac{8\pm\sqrt{48}}{2×4}=\frac{8\pm4\sqrt{3}}{8}=\frac{2\pm\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$x_1=\frac{2+\sqrt{3}}{2}$，$x_2=\frac{2-\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
完全平方公式，公式法解一元二次方程，二次根式化简
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，重点考查完全平方展开、公式法解方程的步骤掌握，解题时要注意移项需变号，代入求根公式时不要弄错系数的符号，最终结果要化简为最简形式。
【难度系数】
0.7
四、因式分解法
8. (2026 沈阳月考)解方程：$x(x-2)=x-2$.
8. (2026 沈阳月考)解方程：$x(x-2)=x-2$.
答案
8. $x(x-2)=x-2$,
$x(x-2)-(x-2)=0$,
$(x-2)(x-1)=0$,
$x-2=0$ 或 $x-1=0$,
$x_1=2$,$x_2=1$.
$x(x-2)-(x-2)=0$,
$(x-2)(x-1)=0$,
$x-2=0$ 或 $x-1=0$,
$x_1=2$,$x_2=1$.
解析
【分析】
这道题适合用因式分解法求解，首先要注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确的解题思路是：先移项将方程右侧的$(x-2)$移到左侧，使方程右边为0，再观察左侧式子，两项都含有公因式$(x-2)$，提取公因式后将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：$x(x-2)=x-2$
移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x-1)=0$
所以$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题时需注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
这道题适合用因式分解法求解，首先要注意不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确的解题思路是：先移项将方程右侧的$(x-2)$移到左侧，使方程右边为0，再观察左侧式子，两项都含有公因式$(x-2)$，提取公因式后将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，最后根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，转化为两个一元一次方程求解即可。
【解析】
解：$x(x-2)=x-2$
移项，得$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得$(x-2)(x-1)=0$
所以$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=2$，$x_2=1$。
【答案】
$x_1=2$，$x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题时需注意不要直接两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的情况，熟练掌握移项、提取公因式的操作即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 解方程: $2(x-3)^2=x^2-9$
答案
9. $\because 2(x-3)^2=x^2-9$,
$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,
则$(x-3)(x-9)=0$,
$\therefore x-3=0$ 或 $x-9=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=9$.
$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,
则$(x-3)(x-9)=0$,
$\therefore x-3=0$ 或 $x-9=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=9$.
解析
【分析】
观察方程结构，右侧的$x^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(x+3)(x-3)$，左右两边都含有公因式$(x-3)$，因此选择因式分解法求解：先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-3)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个根。
【解析】
解：$\because 2(x-3)^2=x^2-9$,
$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$,
化简括号内的式子得：$(x-3)(x-9)=0$,
$\therefore x-3=0$ 或 $x-9=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=9$.
【答案】
$x_1=3$,$x_2=9$
【知识点】
平方差公式，因式分解法解一元二次方程，提取公因式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，选择因式分解法可大幅简化计算过程，解题时需注意不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.7
观察方程结构，右侧的$x^2-9$符合平方差公式的形式，可分解为$(x+3)(x-3)$，左右两边都含有公因式$(x-3)$，因此选择因式分解法求解：先移项将所有项移到等号左侧，再提取公因式$(x-3)$，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解，注意不能直接在方程两边同时除以$(x-3)$，否则会漏掉$x=3$这个根。
【解析】
解：$\because 2(x-3)^2=x^2-9$,
$\therefore 2(x-3)^2-(x+3)(x-3)=0$,
提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0$,
化简括号内的式子得：$(x-3)(x-9)=0$,
$\therefore x-3=0$ 或 $x-9=0$,
解得$x_1=3$,$x_2=9$.
【答案】
$x_1=3$,$x_2=9$
【知识点】
平方差公式，因式分解法解一元二次方程，提取公因式
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，选择因式分解法可大幅简化计算过程，解题时需注意不要随意在方程两边除以含未知数的整式，避免出现漏根的错误。
【难度系数】
0.7
10.解方程:$(x-1)(x+3)=12.$
答案
10. 原方程可化为$x^2+2x-15=0$,
$\therefore (x+5)(x-3)=0$,
$\therefore x+5=0$ 或 $x-3=0$,
解得$x_1=-5$,$x_2=3$.
$\therefore (x+5)(x-3)=0$,
$\therefore x+5=0$ 或 $x-3=0$,
解得$x_1=-5$,$x_2=3$.
解析
【分析】
要解这个方程，首先注意到方程左边是两个一次式的乘积，但右边不为0，不能直接令两个因式分别等于0。第一步需要先利用整式乘法展开左边，再通过移项将方程整理为一元二次方程的一般形式，观察整理后的方程，可尝试用因式分解法求解，将二次三项式分解为两个一次式的乘积，令每个一次式为0即可得到方程的解。
【解析】
首先展开方程左边：
$x^2 + 3x - x - 3 = 12$
合并同类项并移项，将右边的12移到左边，使方程右边为0：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
对左边的二次三项式因式分解，找到两个数乘积为-15、和为2，即5和-3，可得：
$(x + 5)(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=-5$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-5$，$x_2=3$
【知识点】
整式乘法运算、因式分解、一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题的易错点是直接令左边两个因式分别等于12求解，切记用因式分解法解方程时必须先将方程整理为右边为0的形式，再进行分解求解，熟练掌握因式分解的技巧能大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.8
要解这个方程，首先注意到方程左边是两个一次式的乘积，但右边不为0，不能直接令两个因式分别等于0。第一步需要先利用整式乘法展开左边，再通过移项将方程整理为一元二次方程的一般形式，观察整理后的方程，可尝试用因式分解法求解，将二次三项式分解为两个一次式的乘积，令每个一次式为0即可得到方程的解。
【解析】
首先展开方程左边：
$x^2 + 3x - x - 3 = 12$
合并同类项并移项，将右边的12移到左边，使方程右边为0：
$x^2 + 2x - 15 = 0$
对左边的二次三项式因式分解，找到两个数乘积为-15、和为2，即5和-3，可得：
$(x + 5)(x - 3) = 0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x + 5 = 0$ 或 $x - 3 = 0$
分别解两个一元一次方程，得$x_1=-5$，$x_2=3$。
【答案】
$x_1=-5$，$x_2=3$
【知识点】
整式乘法运算、因式分解、一元二次方程的解法
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题的易错点是直接令左边两个因式分别等于12求解，切记用因式分解法解方程时必须先将方程整理为右边为0的形式，再进行分解求解，熟练掌握因式分解的技巧能大幅提升解方程的效率。
【难度系数】
0.8
