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【例1】(北海模拟)如图，已知$△ ABC$是等边三角形，BD是中线，延长BC到点E，使$CE=CD$。
(1)若$AB=10$，求BE的长；
(2)求$∠ E$的度数。
(1)若$AB=10$，求BE的长；
(2)求$∠ E$的度数。
答案
解:(1)因为△ABC是等边三角形,BD是中线,AB=10,
所以 $AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=5$.
因为 $CE=CD$,所以 $CE=5$,所以 $BE=BC+CE=15$.
(2)因为△ABC是等边三角形,所以$∠ACB=60°$.
因为 $CE=CD$,所以$∠CDE=∠E$.
因为$∠ACB=∠CDE+∠E$,
所以$∠E+∠CDE=2∠E=60°$,所以$∠E=30°$.
所以 $AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=5$.
因为 $CE=CD$,所以 $CE=5$,所以 $BE=BC+CE=15$.
(2)因为△ABC是等边三角形,所以$∠ACB=60°$.
因为 $CE=CD$,所以$∠CDE=∠E$.
因为$∠ACB=∠CDE+∠E$,
所以$∠E+∠CDE=2∠E=60°$,所以$∠E=30°$.
解析
【分析】
(1) 求解BE的长度时，首先利用等边三角形三边相等的性质，得到BC和AC的长度都等于AB；再结合BD是中线的条件，得到CD是AC的一半，根据CE=CD求出CE的长度，最后由BE=BC+CE即可算出结果。
(2) 求解∠E的度数时，先由等边三角形的内角性质得到∠ACB的度数；再根据三角形外角的性质，可知∠ACB等于△DCE两个不相邻内角的和；最后结合CE=CD，即△DCE是等腰三角形，两底角相等的性质，即可推出∠E的度数。
【解析】
(1) 因为△ABC是等边三角形，BD是中线，AB=10，
所以 $BC=AC=AB=10$，$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=5$，
又因为 $CE=CD$，所以 $CE=5$，
因此 $BE=BC+CE=10+5=15$。
(2) 因为△ABC是等边三角形，所以$∠ ACB=60°$，
因为 $CE=CD$，所以$∠ CDE=∠ E$，
又因为$∠ ACB$是$△ DCE$的外角，所以$∠ ACB=∠ CDE+∠ E$，
将$∠ CDE=∠ E$代入得：$2∠ E=60°$，解得$∠ E=30°$。
【答案】
(1) $BE=15$；(2) $∠ E=30°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础考察题，解题关键是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的边和角的性质，结合三角形外角定理梳理清楚线段、角度的数量关系，计算难度较低，是巩固特殊三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
(1) 求解BE的长度时，首先利用等边三角形三边相等的性质，得到BC和AC的长度都等于AB；再结合BD是中线的条件，得到CD是AC的一半，根据CE=CD求出CE的长度，最后由BE=BC+CE即可算出结果。
(2) 求解∠E的度数时，先由等边三角形的内角性质得到∠ACB的度数；再根据三角形外角的性质，可知∠ACB等于△DCE两个不相邻内角的和；最后结合CE=CD，即△DCE是等腰三角形，两底角相等的性质，即可推出∠E的度数。
【解析】
(1) 因为△ABC是等边三角形，BD是中线，AB=10，
所以 $BC=AC=AB=10$，$AD=CD=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}AB=5$，
又因为 $CE=CD$，所以 $CE=5$，
因此 $BE=BC+CE=10+5=15$。
(2) 因为△ABC是等边三角形，所以$∠ ACB=60°$，
因为 $CE=CD$，所以$∠ CDE=∠ E$，
又因为$∠ ACB$是$△ DCE$的外角，所以$∠ ACB=∠ CDE+∠ E$，
将$∠ CDE=∠ E$代入得：$2∠ E=60°$，解得$∠ E=30°$。
【答案】
(1) $BE=15$；(2) $∠ E=30°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题属于特殊三角形性质的基础考察题，解题关键是熟练掌握等边三角形、等腰三角形的边和角的性质，结合三角形外角定理梳理清楚线段、角度的数量关系，计算难度较低，是巩固特殊三角形基础性质的典型习题。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025潮州模拟)如图，在等边三角形ABC中，BD⊥AC，BF=BD，则∠CDF的度
数是（
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
数是（
B
）A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
B
解析
【分析】
解题时先从已知的等边三角形性质入手：首先等边三角形三个内角均为60°，且底边上的高同时是顶角的角平分线，因此可以先求出∠DBC的度数；再根据BF=BD可知△BDF是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可求出∠BDF的度数；最后结合BD⊥AC得到∠BDC=90°，用∠BDC减去∠BDF即可得到∠CDF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BFD，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BDF=(180°-∠ DBC)÷2=(180°-30°)÷2=75°$，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴$∠ CDF=∠ BDC-∠ BDF=90°-75°=15°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质、等腰三角形等边对等角的性质，逐步推导所求角的度数，解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的等边三角形性质入手：首先等边三角形三个内角均为60°，且底边上的高同时是顶角的角平分线，因此可以先求出∠DBC的度数；再根据BF=BD可知△BDF是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可求出∠BDF的度数；最后结合BD⊥AC得到∠BDC=90°，用∠BDC减去∠BDF即可得到∠CDF的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD⊥AC，根据等边三角形三线合一的性质，BD平分∠ABC，
∴$∠ DBC=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$，
又
∵BF=BD，
∴△BDF是等腰三角形，∠BDF=∠BFD，
根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BDF=(180°-∠ DBC)÷2=(180°-30°)÷2=75°$，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴$∠ CDF=∠ BDC-∠ BDF=90°-75°=15°$。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是特殊三角形性质的综合应用题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的性质、等腰三角形等边对等角的性质，逐步推导所求角的度数，解题思路清晰，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
【变式2】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD=2，以AD为一边向右作等边三角形ADE.
(1)求△ABC的周长；
(2)判断AC，DE的位置关系，并给出证明.
(1)求△ABC的周长；
(2)判断AC，DE的位置关系，并给出证明.
答案
解:(1)因为在等边三角形ABC中,$AD⊥BC,BD=2$,
所以 $BC=2BD=4$,
所以等边三角形ABC的周长为$AB+BC+CA=3BC=12$.
(2)$AC⊥DE$.证明如下:
因为△ABC和△ADE都是等边三角形,
所以$∠C=60°,∠ADE=60°$.
因为$AD⊥BC$,所以$∠ADC=90°$.
在△CDF中,因为$∠CDF=90°-∠ADE=30°$,
所以$∠CFD=180°-∠C-∠CDF=180°-60°-30°=90°$,
所以$AC⊥DE$.
所以 $BC=2BD=4$,
所以等边三角形ABC的周长为$AB+BC+CA=3BC=12$.
(2)$AC⊥DE$.证明如下:
因为△ABC和△ADE都是等边三角形,
所以$∠C=60°,∠ADE=60°$.
因为$AD⊥BC$,所以$∠ADC=90°$.
在△CDF中,因为$∠CDF=90°-∠ADE=30°$,
所以$∠CFD=180°-∠C-∠CDF=180°-60°-30°=90°$,
所以$AC⊥DE$.
解析
【分析】
(1) 要求等边三角形ABC的周长，需先求出它的边长。已知AD是等边三角形BC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，AD同时是BC的中线，因此BC长度为BD的2倍，得到边长后即可计算周长。
(2) 判断AC和DE的位置关系，可通过计算两线的夹角是否为90°推导。首先利用等边三角形内角均为60°的性质，得到∠C和∠ADE的度数，结合AD⊥BC得到∠ADC=90°，算出∠CDF的度数，再在△CDF中利用三角形内角和求出∠CFD的度数，即可判定位置关系。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BD=2，
根据等边三角形三线合一的性质，AD为BC边上的中线，
∴BC=2BD=2×2=4，
∴等边△ABC的周长=3×BC=3×4=12。
(2) AC⊥DE，证明如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠C=60°，∠ADE=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
在△CDF中，根据三角形内角和为180°，
∠CFD=180°-∠C-∠CDF=180°-60°-30°=90°，
∴AC⊥DE。
【答案】
(1) △ABC的周长为12；
(2) AC⊥DE。
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的判定
【点评】
本题侧重考查等边三角形性质的基础应用，解题关键是熟练运用等边三角形三线合一、内角为60°的特点，通过角度计算推导线段的位置关系，书写证明过程时要注意逻辑清晰、步骤规范。
【难度系数】
0.8
(1) 要求等边三角形ABC的周长，需先求出它的边长。已知AD是等边三角形BC边上的高，根据等边三角形三线合一的性质，AD同时是BC的中线，因此BC长度为BD的2倍，得到边长后即可计算周长。
(2) 判断AC和DE的位置关系，可通过计算两线的夹角是否为90°推导。首先利用等边三角形内角均为60°的性质，得到∠C和∠ADE的度数，结合AD⊥BC得到∠ADC=90°，算出∠CDF的度数，再在△CDF中利用三角形内角和求出∠CFD的度数，即可判定位置关系。
【解析】
(1)
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，BD=2，
根据等边三角形三线合一的性质，AD为BC边上的中线，
∴BC=2BD=2×2=4，
∴等边△ABC的周长=3×BC=3×4=12。
(2) AC⊥DE，证明如下：
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠C=60°，∠ADE=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°，
在△CDF中，根据三角形内角和为180°，
∠CFD=180°-∠C-∠CDF=180°-60°-30°=90°，
∴AC⊥DE。
【答案】
(1) △ABC的周长为12；
(2) AC⊥DE。
【知识点】
等边三角形的性质，三角形内角和定理，垂直的判定
【点评】
本题侧重考查等边三角形性质的基础应用，解题关键是熟练运用等边三角形三线合一、内角为60°的特点，通过角度计算推导线段的位置关系，书写证明过程时要注意逻辑清晰、步骤规范。
【难度系数】
0.8
【例2】如图，AC与BD相交于点O，若$OA=OB$，$∠ A=60°$，且$AB// CD$. 求证：$△ OCD$是等边三角形.
规律总结 判定等边三角形可以从以下几个角度入手:(1)从边入手—— 有三条边相等的三角形是等边三角形;(2)从角入手——三个内角都相等或有两个角等于$60°$的三角形是等边三角形;(3)从边及角入手——有一个角等于$60°$的等腰三角形是等边三角形.
规律总结 判定等边三角形可以从以下几个角度入手:(1)从边入手—— 有三条边相等的三角形是等边三角形;(2)从角入手——三个内角都相等或有两个角等于$60°$的三角形是等边三角形;(3)从边及角入手——有一个角等于$60°$的等腰三角形是等边三角形.
答案
证明:因为$OA=OB$,所以$∠A=∠B=60°$.
又因为$AB//CD$,所以$∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°$,
所以$∠DOC=180°-∠C-∠D=60°$,
所以△OCD是等边三角形.
又因为$AB//CD$,所以$∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°$,
所以$∠DOC=180°-∠C-∠D=60°$,
所以△OCD是等边三角形.
解析
【分析】
要证明△OCD是等边三角形，可通过证明三角形三个内角均为60°来推导。首先根据已知OA=OB，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠A=60°；再结合AB//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到△OCD中∠C、∠D的度数，最后通过三角形内角和算出∠DOC的度数，即可判定△OCD为等边三角形。
【解析】
证明：因为$OA=OB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠A=∠B=60°$。
又因为$AB// CD$，根据平行线内错角相等的性质，可得$∠C=∠A=60°$，$∠D=∠B=60°$。
根据三角形内角和为180°，可得$∠DOC=180°-∠C-∠D=180°-60°-60°=60°$，
即△OCD的三个内角都为60°，因此△OCD是等边三角形。
【答案】
证明:因为$OA=OB$,所以$∠A=∠B=60°$.
又因为$AB// CD$,所以$∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°$,
所以$∠DOC=180°-∠C-∠D=60°$,
所以△OCD是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过等腰三角形性质和平行线的性质完成角的等量转换，得到待证三角形的三个内角均为60°，从而完成等边三角形的判定，解题时要注意逻辑连贯，步骤清晰。
【难度系数】
0.8
要证明△OCD是等边三角形，可通过证明三角形三个内角均为60°来推导。首先根据已知OA=OB，利用等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠A=60°；再结合AB//CD的条件，利用平行线内错角相等的性质，得到△OCD中∠C、∠D的度数，最后通过三角形内角和算出∠DOC的度数，即可判定△OCD为等边三角形。
【解析】
证明：因为$OA=OB$，根据等腰三角形等边对等角的性质，可得$∠A=∠B=60°$。
又因为$AB// CD$，根据平行线内错角相等的性质，可得$∠C=∠A=60°$，$∠D=∠B=60°$。
根据三角形内角和为180°，可得$∠DOC=180°-∠C-∠D=180°-60°-60°=60°$，
即△OCD的三个内角都为60°，因此△OCD是等边三角形。
【答案】
证明:因为$OA=OB$,所以$∠A=∠B=60°$.
又因为$AB// CD$,所以$∠C=∠A=60°,∠D=∠B=60°$,
所以$∠DOC=180°-∠C-∠D=60°$,
所以△OCD是等边三角形.
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是通过等腰三角形性质和平行线的性质完成角的等量转换，得到待证三角形的三个内角均为60°，从而完成等边三角形的判定，解题时要注意逻辑连贯，步骤清晰。
【难度系数】
0.8
