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6. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE//BC，∠1=∠2. 求证：△ABC是等腰三角形.
答案
6. 证明:因为 DE//BC,
所以∠1=∠B,∠2=∠C.
因为∠1=∠2,
所以∠B=∠C,
所以AB=AC,
所以△ABC是等腰三角形.
所以∠1=∠B,∠2=∠C.
因为∠1=∠2,
所以∠B=∠C,
所以AB=AC,
所以△ABC是等腰三角形.
解析
【分析】
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定逻辑，只需证明△ABC的两个底角∠B=∠C即可。首先结合已知条件DE//BC，可利用平行线的同位角相等性质，建立∠1与∠B、∠2与∠C的等量关系，再结合题目给出的∠1=∠2的条件，通过等量代换就能得到∠B=∠C，进而推导出△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠1=∠B，∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠B=∠C（等量代换），
∴ AB=AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
证明:因为 DE//BC,
所以∠1=∠B,∠2=∠C.
因为∠1=∠2,
所以∠B=∠C,
所以AB=AC,
所以△ABC是等腰三角形.
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行线的性质完成角的等量转化，再结合等腰三角形的判定定理完成证明，只要理清角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
要证明△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的判定逻辑，只需证明△ABC的两个底角∠B=∠C即可。首先结合已知条件DE//BC，可利用平行线的同位角相等性质，建立∠1与∠B、∠2与∠C的等量关系，再结合题目给出的∠1=∠2的条件，通过等量代换就能得到∠B=∠C，进而推导出△ABC为等腰三角形。
【解析】
证明：
∵ DE//BC，
∴ ∠1=∠B，∠2=∠C（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠1=∠2（已知），
∴ ∠B=∠C（等量代换），
∴ AB=AC（等角对等边），
∴ △ABC是等腰三角形。
【答案】
证明:因为 DE//BC,
所以∠1=∠B,∠2=∠C.
因为∠1=∠2,
所以∠B=∠C,
所以AB=AC,
所以△ABC是等腰三角形.
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题核心是利用平行线的性质完成角的等量转化，再结合等腰三角形的判定定理完成证明，只要理清角之间的数量关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.9
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=40°$，$∠ ABC=80°$，BE平分$∠ ABC$交AC于点E，$ED⊥ AB$于点D，求证：$AD=BD$.
答案
7. 证明:因为 BE平分∠ABC交AC于点E,
所以∠ABE=1/2∠ABC=1/2×80°=40°.
因为∠A=40°,所以∠A=∠ABE,所以△ABE是等腰三角形.
因为 ED⊥AB,所以AD=BD.
所以∠ABE=1/2∠ABC=1/2×80°=40°.
因为∠A=40°,所以∠A=∠ABE,所以△ABE是等腰三角形.
因为 ED⊥AB,所以AD=BD.
解析
【分析】
要证明AD=BD，结合已知条件ED⊥AB，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需先证明△ABE是等腰三角形即可。要判定△ABE为等腰三角形，可通过证明两个内角相等推导：先利用角平分线的定义求出∠ABE的度数，再和已知的∠A的度数对比，即可得到∠A=∠ABE，进而判定△ABE为等腰三角形，最后结合三线合一的性质就能得出结论。
【解析】
证明：
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
∵$∠ A=40°$，
∴$∠ A=∠ ABE$，
∴$△ ABE$是等腰三角形。
∵$ED⊥ AB$，
∴$AD=BD$。
【答案】
证明过程如上所示，可证得$AD=BD$。
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件合理推导等角，判定等腰三角形后利用三线合一的性质证明线段相等，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明AD=BD，结合已知条件ED⊥AB，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需先证明△ABE是等腰三角形即可。要判定△ABE为等腰三角形，可通过证明两个内角相等推导：先利用角平分线的定义求出∠ABE的度数，再和已知的∠A的度数对比，即可得到∠A=∠ABE，进而判定△ABE为等腰三角形，最后结合三线合一的性质就能得出结论。
【解析】
证明：
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴$∠ ABE=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×80°=40°$。
∵$∠ A=40°$，
∴$∠ A=∠ ABE$，
∴$△ ABE$是等腰三角形。
∵$ED⊥ AB$，
∴$AD=BD$。
【答案】
证明过程如上所示，可证得$AD=BD$。
【知识点】
角平分线的定义；等腰三角形的判定；等腰三角形三线合一
【点评】
本题属于基础几何证明题，解题的关键是结合已知条件合理推导等角，判定等腰三角形后利用三线合一的性质证明线段相等，能够有效锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
8. (2025江门期中)如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN经过点O，与AB，AC相交于点M，N，且MN//BC，已知AB=3，AC=4，则△AMN的周长为(
A.6
B.7
C.7.5
D.8.5
B
)A.6
B.7
C.7.5
D.8.5
答案
8. B
解析
【分析】
要求△AMN的周长，直接计算各段边长条件不足，需结合已知条件做线段等量代换。已知同时出现角平分线和平行线，二者结合可推导得出等腰三角形，从而完成线段转化：先利用角平分线定义得到一组相等角，再根据平行线的内错角相等得到另一组相等角，等量代换后可判定等腰三角形，得到相等的线段，最终将△AMN的周长转化为AB与AC的和即可求解。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠MOB=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，根据“等角对等边”得MO=MB，
同理：
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∵MN//BC，
∴∠NOC=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，得NO=NC，
△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN，
将MO=MB、ON=NC代入可得：
周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC，
已知AB=3，AC=4，因此周长=3+4=7。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于“角平分线+平行线”的典型模型考题，通过该模型可快速推导得到等腰三角形，实现线段的等量转化，无需单独计算各边长度即可求出周长，是几何线段转化类的常考题型，熟练掌握该模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
要求△AMN的周长，直接计算各段边长条件不足，需结合已知条件做线段等量代换。已知同时出现角平分线和平行线，二者结合可推导得出等腰三角形，从而完成线段转化：先利用角平分线定义得到一组相等角，再根据平行线的内错角相等得到另一组相等角，等量代换后可判定等腰三角形，得到相等的线段，最终将△AMN的周长转化为AB与AC的和即可求解。
【解析】
解：
∵BO平分∠ABC，
∴∠MBO=∠CBO，
∵MN//BC，根据“两直线平行，内错角相等”可得∠MOB=∠CBO，
∴∠MBO=∠MOB，根据“等角对等边”得MO=MB，
同理：
∵CO平分∠ACB，
∴∠NCO=∠BCO，
∵MN//BC，
∴∠NOC=∠BCO，
∴∠NCO=∠NOC，得NO=NC，
△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+MO+ON+AN，
将MO=MB、ON=NC代入可得：
周长=AM+MB+AN+NC=AB+AC，
已知AB=3，AC=4，因此周长=3+4=7。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于“角平分线+平行线”的典型模型考题，通过该模型可快速推导得到等腰三角形，实现线段的等量转化，无需单独计算各边长度即可求出周长，是几何线段转化类的常考题型，熟练掌握该模型可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
9.如图，长方形ABCD，沿对角线BD折叠，使点C落在点F处，BF交AD于点E，若长方形ABCD的周长为16，则△ABE的周长为
8
.答案
9. 8
解析
【分析】
解题时先明确目标：求△ABE的周长，即求AB+AE+BE的和，我们需要将未知线段和转化为和长方形周长相关的已知量。首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠FBD=∠CBD；再结合长方形对边平行的性质，AD//BC可推出内错角∠ADB=∠CBD，等量代换得∠FBD=∠ADB，根据等角对等边可证BE=DE，此时AE+BE可转化为AE+DE=AD，那么△ABE的周长就简化为AB+AD，最后结合长方形周长公式即可计算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠FBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠ADB，
∴BE=DE（等角对等边）。
△ABE的周长 = AB + AE + BE，
将BE替换为DE，可得：
周长 = AB + AE + DE = AB + AD。
∵长方形ABCD的周长为16，
∴2(AB+AD)=16，
∴AB+AD=8，即△ABE的周长为8。
【答案】
8
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的判定；长方形的性质
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，将所求三角形的周长通过等腰三角形的性质转化为长方形长与宽的和，结合折叠性质和长方形的性质即可快速求解，避免了单独计算各线段长度的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
解题时先明确目标：求△ABE的周长，即求AB+AE+BE的和，我们需要将未知线段和转化为和长方形周长相关的已知量。首先回忆折叠的性质：折叠前后对应角相等，可得∠FBD=∠CBD；再结合长方形对边平行的性质，AD//BC可推出内错角∠ADB=∠CBD，等量代换得∠FBD=∠ADB，根据等角对等边可证BE=DE，此时AE+BE可转化为AE+DE=AD，那么△ABE的周长就简化为AB+AD，最后结合长方形周长公式即可计算出结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是长方形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
由折叠的性质可得：∠FBD=∠CBD，
∴∠FBD=∠ADB，
∴BE=DE（等角对等边）。
△ABE的周长 = AB + AE + BE，
将BE替换为DE，可得：
周长 = AB + AE + DE = AB + AD。
∵长方形ABCD的周长为16，
∴2(AB+AD)=16，
∴AB+AD=8，即△ABE的周长为8。
【答案】
8
【知识点】
折叠的性质；等腰三角形的判定；长方形的性质
【点评】
本题是几何转化思想的典型应用，将所求三角形的周长通过等腰三角形的性质转化为长方形长与宽的和，结合折叠性质和长方形的性质即可快速求解，避免了单独计算各线段长度的复杂步骤。
【难度系数】
0.7
10.如图,在$△ ABC$中,AD平分$∠ BAC$,$BD⊥ AD$,垂足为D,过点D作$DE// AC$,交AB于点E,若$AB=5$,求线段DE的长.
答案
10. 解:因为 AD平分∠BAC,DE//AC,
所以∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,
所以∠EAD=∠EDA,所以DE=AE.
因为 BD⊥AD,所以∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA=90°,
所以∠EBD=∠BDE,所以DE=BE.
又因为 DE=AE,所以 DE=1/2 AB=1/2 ×5=5/2.
所以∠EAD=∠CAD,∠EDA=∠CAD,
所以∠EAD=∠EDA,所以DE=AE.
因为 BD⊥AD,所以∠EBD+∠EAD=∠BDE+∠EDA=90°,
所以∠EBD=∠BDE,所以DE=BE.
又因为 DE=AE,所以 DE=1/2 AB=1/2 ×5=5/2.
解析
【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先利用AD平分∠BAC得到一组等角，再结合DE//AC的平行线性质，可推导得到∠EAD=∠EDA，根据等角对等边得DE=AE；接下来结合BD⊥AD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，通过等角的余角相等推出∠EBD=∠BDE，再次利用等角对等边得DE=BE，由此可推出DE是AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴DE=AE。
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠EAD=90°，∠BDE+∠EDA=90°，
又
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EBD=∠BDE，
∴DE=BE。
∴DE=AE=BE，即DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=5，
∴DE=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题型，核心是通过等角转换结合等腰三角形的判定推导线段的等量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定定理，能锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件逐步推导：首先利用AD平分∠BAC得到一组等角，再结合DE//AC的平行线性质，可推导得到∠EAD=∠EDA，根据等角对等边得DE=AE；接下来结合BD⊥AD的垂直条件，利用直角三角形两锐角互余的性质，通过等角的余角相等推出∠EBD=∠BDE，再次利用等角对等边得DE=BE，由此可推出DE是AB的一半，代入AB的长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵DE//AC，
∴∠EDA=∠CAD，
∴∠EAD=∠EDA，
∴DE=AE。
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=90°，
∴∠EBD+∠EAD=90°，∠BDE+∠EDA=90°，
又
∵∠EAD=∠EDA，
∴∠EBD=∠BDE，
∴DE=BE。
∴DE=AE=BE，即DE=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=5，
∴DE=$\frac{1}{2}$×5=$\frac{5}{2}$。
【答案】
$\frac{5}{2}$
【知识点】
角平分线的定义；平行线的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题型，核心是通过等角转换结合等腰三角形的判定推导线段的等量关系，解题的关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定定理，能锻炼学生的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
11. (2025苏州模拟)如图,在△ABC中,CA=CB,点D在BC的延长线上,连接AD,AE平分∠CAD交CD于点E,过点E作EF⊥AB,垂足为F,与AC相交于点G.
(1)求证:△CGE是等腰三角形;
(2)若∠B=30°,∠CAD=40°,求∠AEF和∠D的度数;
(3)求证:∠D=2∠AEF.
(1)求证:△CGE是等腰三角形;
(2)若∠B=30°,∠CAD=40°,求∠AEF和∠D的度数;
(3)求证:∠D=2∠AEF.
答案
11. (1)证明:因为 CA=CB,所以∠B=∠CAB.
因为 EF⊥AB,所以∠AFE=∠EFB=90°.
所以∠B+∠BEF=90°,∠CAB+∠AGF=90°,
所以∠BEF=∠AGF.
因为∠AGF=∠EGC,
所以∠CEG=∠EGC,
所以△CGE是等腰三角形.
(2)解:因为 AE平分∠CAD,
所以∠EAD=∠EAC=1/2 ∠CAD=1/2 ×40°=20°.
因为 CA=CB,所以∠CAB=∠B=30°.
在△AEF中,∠AEF=180°-∠AFE-∠CAB-∠EAC=40°.
在△ABD中,∠D=180°-∠B-∠CAB-∠CAD=80°.
(3)证明:在△AEF中,
∠AEF = 180° - ∠AFE - ∠CAB - ∠EAC = 90° -(∠CAB+∠EAC).
在△ABD中,
∠D=180°-∠B-∠CAB-∠CAD=180°-2(∠CAB+∠EAC).
所以∠D=2∠AEF.
因为 EF⊥AB,所以∠AFE=∠EFB=90°.
所以∠B+∠BEF=90°,∠CAB+∠AGF=90°,
所以∠BEF=∠AGF.
因为∠AGF=∠EGC,
所以∠CEG=∠EGC,
所以△CGE是等腰三角形.
(2)解:因为 AE平分∠CAD,
所以∠EAD=∠EAC=1/2 ∠CAD=1/2 ×40°=20°.
因为 CA=CB,所以∠CAB=∠B=30°.
在△AEF中,∠AEF=180°-∠AFE-∠CAB-∠EAC=40°.
在△ABD中,∠D=180°-∠B-∠CAB-∠CAD=80°.
(3)证明:在△AEF中,
∠AEF = 180° - ∠AFE - ∠CAB - ∠EAC = 90° -(∠CAB+∠EAC).
在△ABD中,
∠D=180°-∠B-∠CAB-∠CAD=180°-2(∠CAB+∠EAC).
所以∠D=2∠AEF.
解析
【分析】
(1)要证△CGE是等腰三角形，核心是证明两个内角相等：首先利用等腰△CA=CB的性质得到∠B=∠CAB，再结合EF⊥AB的直角三角形两锐角互余，推出∠BEF=∠AGF，最后通过对顶角相等进行等量代换，即可得到∠CEG=∠EGC，完成证明。
(2)求角度时，先由角平分线定义算出∠EAC的度数，再结合等腰△ABC的底角∠CAB=∠B=30°，分别在△AEF、△ABD中利用三角形内角和定理计算对应角度即可。
(3)要证∠D=2∠AEF，可分别将两个角用含∠CAB和∠EAC的代数式表示：先推导∠AEF=90°-(∠CAB+∠EAC)，再结合∠B=∠CAB、∠CAD=2∠EAC推导∠D=180°-2(∠CAB+∠EAC)，对比两个式子即可得到倍数关系。
【解析】
(1)证明：
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB。
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠EFB=90°。
∴∠B+∠BEF=90°，∠CAB+∠AGF=90°，
∴∠BEF=∠AGF。
∵∠AGF=∠EGC，
∴∠CEG=∠EGC，
∴△CGE是等腰三角形。
(2)解：
∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CAD=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=30°。
在△AEF中，∠AEF=180°-∠AFE-∠CAB-∠EAC=180°-90°-30°-20°=40°。
在△ABD中，∠BAD=∠CAB+∠CAD=30°+40°=70°，
∴∠D=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-70°=80°。
(3)证明：在△AEF中，
∠AEF = 180° - ∠AFE - ∠CAB - ∠EAC = 90° -(∠CAB+∠EAC)。
在△ABD中，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAD=2∠EAC，又
∵∠B=∠CAB，
∴∠D=180°-∠B-∠CAB-∠CAD=180°-2∠CAB-2∠EAC=180°-2(∠CAB+∠EAC)。
∴∠D=2∠AEF。
【答案】
(1)△CGE是等腰三角形，证明成立；
(2)∠AEF=40°，∠D=80°；
(3)∠D=2∠AEF，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质与判定，结合垂直性质、角平分线定义和三角形内角和定理进行角度推导计算，侧重逻辑推理能力和角度转化技巧的考查，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
(1)要证△CGE是等腰三角形，核心是证明两个内角相等：首先利用等腰△CA=CB的性质得到∠B=∠CAB，再结合EF⊥AB的直角三角形两锐角互余，推出∠BEF=∠AGF，最后通过对顶角相等进行等量代换，即可得到∠CEG=∠EGC，完成证明。
(2)求角度时，先由角平分线定义算出∠EAC的度数，再结合等腰△ABC的底角∠CAB=∠B=30°，分别在△AEF、△ABD中利用三角形内角和定理计算对应角度即可。
(3)要证∠D=2∠AEF，可分别将两个角用含∠CAB和∠EAC的代数式表示：先推导∠AEF=90°-(∠CAB+∠EAC)，再结合∠B=∠CAB、∠CAD=2∠EAC推导∠D=180°-2(∠CAB+∠EAC)，对比两个式子即可得到倍数关系。
【解析】
(1)证明：
∵CA=CB，
∴∠B=∠CAB。
∵EF⊥AB，
∴∠AFE=∠EFB=90°。
∴∠B+∠BEF=90°，∠CAB+∠AGF=90°，
∴∠BEF=∠AGF。
∵∠AGF=∠EGC，
∴∠CEG=∠EGC，
∴△CGE是等腰三角形。
(2)解：
∵AE平分∠CAD，
∴∠EAD=∠EAC=$\frac{1}{2}$∠CAD=$\frac{1}{2}$×40°=20°。
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=30°。
在△AEF中，∠AEF=180°-∠AFE-∠CAB-∠EAC=180°-90°-30°-20°=40°。
在△ABD中，∠BAD=∠CAB+∠CAD=30°+40°=70°，
∴∠D=180°-∠B-∠BAD=180°-30°-70°=80°。
(3)证明：在△AEF中，
∠AEF = 180° - ∠AFE - ∠CAB - ∠EAC = 90° -(∠CAB+∠EAC)。
在△ABD中，
∵AE平分∠CAD，
∴∠CAD=2∠EAC，又
∵∠B=∠CAB，
∴∠D=180°-∠B-∠CAB-∠CAD=180°-2∠CAB-2∠EAC=180°-2(∠CAB+∠EAC)。
∴∠D=2∠AEF。
【答案】
(1)△CGE是等腰三角形，证明成立；
(2)∠AEF=40°，∠D=80°；
(3)∠D=2∠AEF，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的判定、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查等腰三角形的性质与判定，结合垂直性质、角平分线定义和三角形内角和定理进行角度推导计算，侧重逻辑推理能力和角度转化技巧的考查，属于基础综合题。
【难度系数】
0.7
