【变式1】有下列说法：
①有一个外角是$120°$的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形.
其中正确的说法有（）

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

C

【分析】
本题考查等边三角形的判定，解题时需结合等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系，对4个说法逐一分析判断：首先明确等边三角形的判定条件：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，三个角都相等的三角形是等边三角形；再结合等腰三角形“三线合一”的性质，区分普通等腰三角形和等边三角形的性质差异，逐一验证每个说法是否正确。
【解析】
我们逐个分析4个说法：
① 三角形的一个外角是$120°$，则与其相邻的内角为$180° - 120° = 60°$。根据等边三角形的判定：有一个角是$60°$的等腰三角形是等边三角形，可知该说法正确。
② 等腰三角形的两个底角相等，因此两个底角的外角也一定相等，即任意等腰三角形都满足“有两个外角相等”，不一定是等边三角形，该说法错误。
③ 普通等腰三角形底边上的高同时也是底边上的中线，这是等腰三角形“三线合一”的性质，因此该描述不能判定是等边三角形，说法错误。
④ 三角形的三个外角都相等，因为每个外角与相邻内角互补，所以三个内角也都相等，三个内角相等的三角形是等边三角形，该说法正确。
综上，正确的说法是①④，共2个。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的判定；等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题易错点是混淆普通等腰三角形和等边三角形的性质，解题时要注意普通等腰三角形具备的性质（如两个底角外角相等、底边上三线合一）不能作为等边三角形的判定依据，需牢记等边三角形的判定条件。
【难度系数】
0.7

【变式2】(2025厦门模拟)如图，在$△ ABC$中，D为AC边上一点，ED的延长线交BC的延长线于点F，$EF ⊥ AB$，$CD = CF$且$∠ F = 30°$.求证：$△ ABC$是等边三角形.

证明:因为$CD=CF$,所以$∠CDF=∠F=30°$,
所以$∠ACB=∠CDF+∠F=60°$.
因为$EF⊥AB$,所以$∠F+∠B=90°$,所以$∠B=60°$,
所以△ABC是等边三角形.

【分析】
要证明$△ ABC$是等边三角形，可通过证明其有两个内角为$60°$推导。首先从已知$CD=CF$入手，利用等腰三角形两底角相等的性质，可得$∠ CDF=∠ F=30°$，再结合三角形外角的性质，即可求出$∠ ACB$的度数；其次根据$EF⊥ AB$可知$△ BEF$是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余的性质可求出$∠ B$的度数，最后结合等边三角形的判定定理即可得证。
【解析】
证明：
$\because CD=CF$，
$\therefore ∠ CDF=∠ F=30°$，
$\therefore ∠ ACB=∠ CDF+∠ F=60°$。
$\because EF⊥ AB$，
$\therefore ∠ F+∠ B=90°$，
$\therefore ∠ B=90°-30°=60°$，
$\therefore △ ABC$中$∠ B=∠ ACB=60°$，$△ ABC$是等边三角形。
【答案】
$△ ABC$是等边三角形，证明过程如上。
【知识点】
等腰三角形的性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定
【点评】
本题属于基础证明题，解题核心是结合已知条件推导$△ ABC$的两个内角为$60°$，需要灵活运用特殊三角形的性质，逻辑链条清晰，容易找到解题突破口。
【难度系数】
0.75

1.以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（）

A.2,2,3
B.2,3,3
C.2,4,5
D.4,4,4

1. D

【分析】
解题思路如下：首先回忆等边三角形的判定依据：三条边长度全部相等的三角形是等边三角形。本题只需逐一核对四个选项中给出的三组边长是否全部相等，即可判断是否为等边三角形。
【解析】
根据等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，对各选项逐一分析：
A. 三边长为2，2，3，仅两条边相等，属于等腰三角形，不符合等边三角形要求，排除；
B. 三边长为2，3，3，仅两条边相等，属于等腰三角形，不符合等边三角形要求，排除；
C. 三边长为2，4，5，三条边长度均不相等，属于不等边三角形，不符合要求，排除；
D. 三边长为4，4，4，三条边长度全部相等，符合等边三角形的定义。
【答案】
D
【知识点】
等边三角形的判定；三角形按边分类
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查等边三角形的定义，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2. 如图，已知等边三角形ABC，且$AD// BC$，则$∠ 1$的度数为（）


A.$25°$
B.$30°$
C.$60°$
D.$75°$

2. C

【分析】
解题时先从已知条件入手：首先等边三角形的三个内角均为60°，可先得到∠ACB的度数；再结合AD平行于BC的条件，观察∠1和∠ACB的位置，二者是平行线AD、BC被AC所截形成的内错角，根据平行线的性质即可推出∠1的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C = 60°，
∵AD//BC，
∴∠1 = ∠C = 60°（两直线平行，内错角相等）。
故选：C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质
【点评】
本题是基础几何题，将等边三角形的内角性质和平行线的性质结合考察，解题的关键是准确识别内错角的位置关系，熟练掌握相关基础性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9

3. 如图，直线$l_1 // l_2$，$△ ABC$是等边三角形，若$∠ 1=50°$，则$∠ 2$的度数为（）


A.$60°$
B.$80°$
C.$70°$
D.$100°$

3. C

【分析】
拿到本题首先梳理已知条件：直线$l_1 // l_2$，$△ ABC$是等边三角形，已知$∠ 1=50°$，要求$∠ 2$的度数。首先回忆相关性质：等边三角形三个内角均为$60°$，平行线的同位角、内错角相等，同旁内角互补，三角形内角和为$180°$。解题思路为：先利用等边三角形的性质得到$∠ A$的度数，再在$∠ 1$所在的小三角形中，用三角形内角和求出AC边上的内角，接着求出该角的邻补角，最后根据平行线同旁内角互补的性质计算$∠ 2$的度数。
【解析】
设直线$l_2$与AB交于点D，与AC交于点E。
1. 因为$△ ABC$是等边三角形，所以$∠ A=60°$。
2. 在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ AED = 180° - ∠ A - ∠ 1 = 180° - 60° - 50° = 70°$
3. 由邻补角的定义，可得：
$∠ DEC = 180° - ∠ AED = 180° - 70° = 110°$
4. 因为$l_1 // l_2$，AC为两直线的截线，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
$∠ 2 + ∠ DEC = 180°$
因此$∠ 2 = 180° - 110° = 70°$
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何综合题，将等边三角形、平行线、三角形内角和的知识点结合考查，解题时只要理清角与角之间的位置关系，结合对应性质逐步推导即可，有助于学生巩固基础几何性质的应用。
【难度系数】
0.7

4.如图,在等边三角形ABC中,AB=10,D是BC边上一点,且∠BAD=30°,则CD的长为 ()


A.4
B.5
C.5.5
D.6

4. B

【分析】
解题时先从已知条件入手，首先回忆等边三角形的核心性质：三边相等，三个内角均为60°，且顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。结合已知∠BAD=30°，可先推导AD是∠BAC的角平分线，再根据三线合一的性质判断AD也是BC边上的中线，即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=10，∠BAC=60°，
又
∵∠BAD=30°，
∴∠CAD=∠BAC - ∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠BAD=∠CAD，即AD平分∠BAC，
根据等边三角形三线合一的性质，AD是BC边上的中线，
∴D为BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$×10=5。
【答案】
B
【知识点】
等边三角形的性质；三线合一
【点评】
本题属于基础题，主要考查等边三角形性质的应用，解题的关键是通过角度关系判断出AD为角平分线，再结合三线合一得到D是BC的中点，熟练掌握等边三角形的相关性质即可快速求解。
【难度系数】
0.8

5.如图，若$AB=AC=BC=DB$，则$∠ D$的度数为。

5. $30°$

【分析】
解题可按以下思路推进：第一步，先由已知AB=AC=BC，根据等边三角形的判定可知△ABC是等边三角形，可得到其内角∠ABC的度数；第二步，由AB=DB可知△ABD是等腰三角形，得到∠D和∠BAD相等的关系；第三步，观察到∠ABC是△ABD的外角，根据三角形外角的性质，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合前面的等量关系即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°。
∵AB=DB，
∴∠D=∠BAD。
又
∵∠ABC是△ABD的外角，
∴∠ABC=∠D+∠BAD=2∠D，
∴$∠ D=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
等边三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础几何计算类题目，解题的关键是先识别等边三角形得到定角，再结合等腰三角形和外角的性质建立角的等量关系，整体逻辑链条清晰，难度不高。
【难度系数】
0.7

6.(南平模拟)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=100°$,以$AC$为边,在$△ ABC$的外部作等边三角形$ACD$,$E$是$AC$的中点,连接$DE$并延长交$BC$于点$F$.求$∠ DFC$的度数.

解:因为$AB=AC$,$∠BAC=100°$,
所以$∠ABC=∠ACB=\frac{180°-100°}{2}=40°$.
因为△ACD是等边三角形,E是AC的中点,
所以$DE⊥AC$,所以$∠CEF=90°$,所以$∠DFC+∠ACB=90°$,
所以$∠DFC=90°-40°=50°$.

【分析】
解题时先从等腰△ABC的已知条件切入，根据等腰三角形等边对等角的性质，结合已知顶角∠BAC的度数，先计算出底角∠ACB的度数；再根据等边三角形的性质，结合E是AC中点的条件，利用三线合一可推出DE垂直AC，得到∠CEF=90°；最后在△CEF中利用直角三角形两锐角互余的性质，即可求出∠DFC的度数。
【解析】
解：
∵$AB=AC$，$∠BAC=100°$，
∴$∠ABC=∠ACB=\frac{180°-∠BAC}{2}=\frac{180°-100°}{2}=40°$。
∵△ACD是等边三角形，E是AC的中点，
∴$DE⊥AC$（等边三角形三线合一），即$∠CEF=90°$，
在△CEF中，$∠CEF+∠ACB+∠DFC=180°$，
∴$∠DFC=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
$50°$
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，重点考查特殊三角形性质的综合应用，解题关键是利用等边三角形三线合一的性质得到垂直关系，再结合角度运算即可求解，能较好地检验学生对特殊三角形性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8