7. 已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE//BC.
（1）如图①，求证：△CDE是等腰三角形.
（2）如图②，DE平分∠ADC，交AC于点E，∠ABC=30°.在BC边上取点F，使BF=DF.若BC=12，求DF的长.

(1) 证明：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD = ∠ECD。
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD。
∴ ∠EDC = ∠ECD。
∴ EC = ED，即△CDE是等腰三角形。
---
(2) 解：
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠ABC = 30°，∠EDC = ∠DCB。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠EDC = 30°，
∴ ∠DCB = ∠EDC = 30°。
∵ BF = DF，
∴ ∠BDF = ∠ABC = 30°，
∴ ∠DFC = ∠BDF + ∠ABC = 60°。
在△DFC中，
∠FDC = 180° - ∠DFC - ∠DCB = 180° - 60° - 30° = 90°，
即△DFC为直角三角形，且∠FCD = 30°，
∴ FC = 2DF。
设DF = x，则BF = x，FC = 2x，
∵ BC = BF + FC = 12，
∴ x + 2x = 12，
解得x = 4。
答：DF的长为4。

【分析】
（1）要证明△CDE是等腰三角形，依据等腰三角形“等角对等边”的判定思路，只需证明该三角形有两个内角相等即可。结合已知条件，CD是∠ACB的平分线可得到一组等角，DE//BC可利用平行线的内错角相等得到另一组等角，通过等量代换就能推出∠EDC=∠ECD，完成证明。
（2）求DF的长度时，先利用平行线的性质得到∠ADE=∠ABC=30°，结合DE平分∠ADC可推导出∠DCB=30°；再由BF=DF，根据等边对等角得∠BDF=∠B=30°，进一步计算可得△DFC是含30°角的直角三角形，满足FC=2DF的边的关系，最后结合BC=BF+FC=12，设未知数列方程即可求出DF的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠BCD = ∠ECD。
∵ DE//BC，
∴ ∠EDC = ∠BCD。
∴ ∠EDC = ∠ECD。
∴ EC = ED，即△CDE是等腰三角形。
(2) 解：
∵ DE//BC，
∴ ∠ADE = ∠ABC = 30°，∠EDC = ∠DCB。
∵ DE平分∠ADC，
∴ ∠ADE = ∠EDC = 30°，
∴ ∠DCB = ∠EDC = 30°。
∵ BF = DF，
∴ ∠BDF = ∠ABC = 30°，
∴ ∠DFC = ∠BDF + ∠ABC = 60°。
在△DFC中，
∠FDC = 180° - ∠DFC - ∠DCB = 180° - 60° - 30° = 90°，
即△DFC为直角三角形，且∠FCD = 30°，
∴ FC = 2DF。
设DF = x，则BF = x，FC = 2x，
∵ BC = BF + FC = 12，
∴ x + 2x = 12，
解得x = 4。
【答案】
(1) 已证△CDE是等腰三角形；(2) 4
【知识点】
平行线的性质、等腰三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，融合了角平分线、平行线、等腰三角形和特殊直角三角形的性质考点，解题核心是通过角的等量代换推导边的数量关系，第二问用方程思想求解边长，能很好地考查学生对基础几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

8. 提升题 如图，O是等边三角形ABC内一点，D是△ABC外一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，△BOC≌△ADC，∠OCD=60°，连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形；
(2)当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
(3)探究:当α为多少度时，△AOD是等腰三角形.

(1) 证明：
∵ $△ BOC ≌ △ ADC$，
∴ $OC = DC$，
又∵ $∠ OCD = 60°$，
∴ 有一个内角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，
∴ $△ OCD$是等边三角形。
---
(2) 解：$△ AOD$是直角三角形，理由如下：
∵ $△ BOC ≌ △ ADC$，
∴ $∠ ADC = ∠ BOC = α = 150°$，
由(1)知$△ OCD$是等边三角形，
∴ $∠ ODC = 60°$，
∴ $∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = 150° - 60° = 90°$，
∴ $△ AOD$是直角三角形。
---
(3) 解：
先表示$△ AOD$的三个内角：
$∠ AOD = 360° - ∠ AOB - ∠ BOC - ∠ COD = 360° - 110° - α - 60° = 190° - α$，
$∠ ADO = ∠ ADC - ∠ ODC = α - 60°$，
$∠ OAD = 180° - ∠ AOD - ∠ ADO = 50°$。
分三种情况讨论：
1. 当$AO = AD$时，$∠ AOD = ∠ ADO$，
即$190° - α = α - 60°$，解得$α = 125°$；
2. 当$AO = OD$时，$∠ ADO = ∠ OAD$，
即$α - 60° = 50°$，解得$α = 110°$；
3. 当$AD = OD$时，$∠ AOD = ∠ OAD$，
即$190° - α = 50°$，解得$α = 140°$。
综上，当$α$为$110°$、$125°$或$140°$时，$△ AOD$是等腰三角形。

【分析】
(1) 要证△OCD是等边三角形，可结合判定定理：有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形推导。先由△BOC≌△ADC得到OC=DC，确定△OCD是等腰三角形，再结合已知∠OCD=60°即可得证。
(2) 判断△AOD的形状，先利用全等性质得到∠ADC=∠BOC=150°，再结合(1)中等边三角形的结论得∠ODC=60°，计算∠ADO的度数即可判断。
(3) 探究△AOD为等腰三角形时α的度数，首先用含α的式子表示出△AOD的三个内角：利用周角360°求∠AOD，结合全等和等边三角形性质求∠ADO，利用三角形内角和求出固定值∠OAD，再分三种等腰三角形的情况，根据等边对等角列方程求解即可。
【解析】
(1) 证明：
∵$△ BOC ≌ △ ADC$，
∴$OC = DC$，
又
∵$∠OCD = 60°$，
∴有一个内角为$60°$的等腰三角形是等边三角形，
∴$△ OCD$是等边三角形。
(2) 解：$△ AOD$是直角三角形，理由如下：
∵$△ BOC ≌ △ ADC$，
∴$∠ADC = ∠BOC = α = 150°$，
由(1)知$△ OCD$是等边三角形，
∴$∠ODC = 60°$，
∴$∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 150° - 60° = 90°$，
∴$△ AOD$是直角三角形。
(3) 解：
先表示$△ AOD$的三个内角：
$∠AOD = 360° - ∠AOB - ∠BOC - ∠COD = 360° - 110° - α - 60° = 190° - α$，
$∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = α - 60°$，
$∠OAD = 180° - ∠AOD - ∠ADO = 180°-(190°-α)-(α-60°)= 50°$。
分三种情况讨论：
1. 当$AO = AD$时，$∠AOD = ∠ADO$，
即$190° - α = α - 60°$，解得$α = 125°$；
2. 当$AO = OD$时，$∠ADO = ∠OAD$，
即$α - 60° = 50°$，解得$α = 110°$；
3. 当$AD = OD$时，$∠AOD = ∠OAD$，
即$190° - α = 50°$，解得$α = 140°$。
综上，当$α$为$110°$、$125°$或$140°$时，$△ AOD$是等腰三角形。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $△ AOD$是直角三角形；
(3) $α$的度数为$110°$、$125°$或$140°$。
【知识点】
全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题综合考查了三角形全等、等边三角形、等腰三角形的相关知识，核心是通过全等实现角的等量转化，第三问需要对等腰三角形的腰的情况分类讨论，避免漏解，可有效锻炼逻辑推理的严谨性。
【难度系数】
0.6