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一、选择题
1.下面四幅作品是体育运动的简笔画，其中是轴对称图形的是()
1.下面四幅作品是体育运动的简笔画，其中是轴对称图形的是()
答案
A
解析
【分析】
要判断哪个图形是轴对称图形，首先需明确轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需要对每个选项逐一验证，看是否存在这样的一条直线，使图形沿直线折叠后两侧完全重合即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
选项A：沿过图案中心的竖直直线折叠，直线左右两侧的吊环、人物部分都能完全重合，属于轴对称图形；
选项B：骑行人物的头部朝向、肢体姿态沿任意直线折叠后，两侧都无法完全重合，不属于轴对称图形；
选项C：图案左下角有足球，且人物的手臂、腿部姿态不对称，沿任意直线折叠后两侧无法重合，不属于轴对称图形；
选项D：人物手持接力棒，肢体姿态不对称，沿任意直线折叠后两侧无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的判断
【点评】
本题属于基础题，结合生活中常见的体育运动标识考查轴对称图形的相关知识，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，准确找到对称轴验证图形是否重合。
【难度系数】
0.9
要判断哪个图形是轴对称图形，首先需明确轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形就是轴对称图形。解题时我们只需要对每个选项逐一验证，看是否存在这样的一条直线，使图形沿直线折叠后两侧完全重合即可。
【解析】
根据轴对称图形的定义逐一判断：
选项A：沿过图案中心的竖直直线折叠，直线左右两侧的吊环、人物部分都能完全重合，属于轴对称图形；
选项B：骑行人物的头部朝向、肢体姿态沿任意直线折叠后，两侧都无法完全重合，不属于轴对称图形；
选项C：图案左下角有足球，且人物的手臂、腿部姿态不对称，沿任意直线折叠后两侧无法重合，不属于轴对称图形；
选项D：人物手持接力棒，肢体姿态不对称，沿任意直线折叠后两侧无法重合，不属于轴对称图形。
综上，符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
轴对称图形的判断
【点评】
本题属于基础题，结合生活中常见的体育运动标识考查轴对称图形的相关知识，解题的关键是掌握轴对称图形的定义，准确找到对称轴验证图形是否重合。
【难度系数】
0.9
2.如图,点C,E和点B,D,F分别在∠GAH的两边上,AB=BC=CD=DE=EF.若∠A=18°,则∠GEF的度数是()
A.108°
B.100°
C.90°
D.80°
A.108°
B.100°
C.90°
D.80°
答案
C
解析
【分析】
题目中给出多条相等的线段，可得到多个等腰三角形，我们可以利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，从已知的∠A=18°出发，逐步向外推导每个等腰三角形的底角度数，最终求出∠GEF的度数。
【解析】
解：
∵AB=BC，∠A=18°，
∴∠ACB=∠A=18°，
根据三角形外角性质，∠CBD=∠A+∠ACB=18°+18°=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
同理，∠DCE=∠A+∠CDB=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∠EDF=∠A+∠CED=18°+54°=72°，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°，
∴∠GEF=∠A+∠EFD=18°+72°=90°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的典型题型，需要多次运用等腰三角形性质和三角形外角性质逐步推导，解题时注意理清角之间的数量关系，按顺序计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
题目中给出多条相等的线段，可得到多个等腰三角形，我们可以利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和的性质，从已知的∠A=18°出发，逐步向外推导每个等腰三角形的底角度数，最终求出∠GEF的度数。
【解析】
解：
∵AB=BC，∠A=18°，
∴∠ACB=∠A=18°，
根据三角形外角性质，∠CBD=∠A+∠ACB=18°+18°=36°，
∵BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD=36°，
同理，∠DCE=∠A+∠CDB=18°+36°=54°，
∵CD=DE，
∴∠CED=∠DCE=54°，
∠EDF=∠A+∠CED=18°+54°=72°，
∵DE=EF，
∴∠EFD=∠EDF=72°，
∴∠GEF=∠A+∠EFD=18°+72°=90°。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是角度计算的典型题型，需要多次运用等腰三角形性质和三角形外角性质逐步推导，解题时注意理清角之间的数量关系，按顺序计算即可避免出错。
【难度系数】
0.7
二、填空题
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ B=30°$，且$AD=1$，那么$BD=$。
3. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD ⊥ AB$于点$D$，$∠ B=30°$，且$AD=1$，那么$BD=$。
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
【分析】
解题时先观察图形特征，图中有多个直角三角形且已知30°角，我们可以利用直角三角形的性质逐步推导：首先根据直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再结合CD⊥AB的条件求出∠ACD的度数，利用含30°角的直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，先求出AC的长度，再在大直角三角形ABC中用同样的性质求出AB的长度，最后用AB减去AD即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=60°
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°
∴∠ACD=90°-∠A=30°
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，AD=1
∴AC=2AD=2×1=2
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2
∴AB=2AC=2×2=4
∴BD=AB-AD=4-1=3
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是抓住图形中30°角与直角边、斜边的对应关系，逐步推导所求线段长度，掌握直角三角形的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题时先观察图形特征，图中有多个直角三角形且已知30°角，我们可以利用直角三角形的性质逐步推导：首先根据直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再结合CD⊥AB的条件求出∠ACD的度数，利用含30°角的直角三角形中30°角对的直角边是斜边的一半，先求出AC的长度，再在大直角三角形ABC中用同样的性质求出AB的长度，最后用AB减去AD即可得到BD的长度。
【解析】
解：
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°
∴∠A=90°-∠B=60°
∵CD⊥AB，
∴∠ADC=90°
∴∠ACD=90°-∠A=30°
在Rt△ADC中，∠ACD=30°，AD=1
∴AC=2AD=2×1=2
在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=2
∴AB=2AC=2×2=4
∴BD=AB-AD=4-1=3
【答案】
$\boldsymbol{3}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是直角三角形性质的基础应用题型，解题核心是抓住图形中30°角与直角边、斜边的对应关系，逐步推导所求线段长度，掌握直角三角形的相关性质就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
4.如图,在$△ ABC$中,DE是AC的垂直平分线,$AE=3$ cm.若$△ ABD$的周长为13 cm,则$△ ABC$的周长为 cm.
答案
19
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质，第一步根据DE是AC的垂直平分线，可得到两个关键结论：①线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即AD=CD；②垂直平分线平分对应线段，即AC=2AE。第二步观察△ABD的周长组成，将周长中的AD用等量CD替换，即可推导出AB+BC的长度。最后△ABC的周长为AB+BC+AC，代入已得的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE，
∵AE=3 cm，
∴AC=2×3=6 cm，
∵△ABD的周长为13 cm，
∴AB+BD+AD=13 cm，
将AD替换为等量CD，可得：AB+BD+CD=13 cm，
又
∵BD+CD=BC，
∴AB+BC=13 cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19 cm。
【答案】
19
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过线段等量代换建立已知周长和待求周长之间的联系，熟练掌握垂直平分线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质，第一步根据DE是AC的垂直平分线，可得到两个关键结论：①线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，即AD=CD；②垂直平分线平分对应线段，即AC=2AE。第二步观察△ABD的周长组成，将周长中的AD用等量CD替换，即可推导出AB+BC的长度。最后△ABC的周长为AB+BC+AC，代入已得的数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AC=2AE，
∵AE=3 cm，
∴AC=2×3=6 cm，
∵△ABD的周长为13 cm，
∴AB+BD+AD=13 cm，
将AD替换为等量CD，可得：AB+BD+CD=13 cm，
又
∵BD+CD=BC，
∴AB+BC=13 cm，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19 cm。
【答案】
19
【知识点】
线段垂直平分线的性质、三角形周长计算
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心考查线段垂直平分线性质的应用，解题的关键是通过线段等量代换建立已知周长和待求周长之间的联系，熟练掌握垂直平分线的性质就能快速求解。
【难度系数】
0.7
5.如图，$△ ABC$是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点.当$PC+PE$的和最小时，$∠ CPE$的度数是.
答案
$\boldsymbol{60°}$
解析
【分析】
本题考查最短路径（将军饮马）模型结合等边三角形性质的应用。解题思路如下：①首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，可得PC=PB，将PC+PE转化为PB+PE；②根据两点之间线段最短，可知当B、P、E三点共线时，PB+PE的和最小，即此时PC+PE最小；③最后结合等边三角形的三线合一、三角形内角和等性质计算∠CPE的度数即可。
【解析】
解：
1. 已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，由等边三角形三线合一的性质可得，AD垂直平分BC，因此点C与点B关于AD对称，故PC=PB。
2. 因此PC+PE=PB+PE，根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，即此时PC+PE的和最小。
3. 又E是AC的中点，由等边三角形三线合一的性质可得，BE是AC边上的高，即BE⊥AC，且BE平分∠ABC，因此∠CEP=90°，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
4. 因为PC=PB，所以∠PCB=∠PBC=30°，则∠PCE=∠ACB-∠PCB=60°-30°=30°。
5. 在△PEC中，根据三角形内角和为180°，可得∠CPE=180°-∠CEP-∠PCE=180°-90°-30°=60°。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何常见综合小题，解题核心是利用对称将两条动线段的和转化为两点之间的最短距离，再结合等边三角形的特殊性质计算角度，掌握将军饮马模型和等边三角形三线合一性质是解题关键。
【难度系数】
0.6
本题考查最短路径（将军饮马）模型结合等边三角形性质的应用。解题思路如下：①首先利用等边三角形三线合一的性质，可知AD是BC的垂直平分线，因此点C关于AD的对称点为点B，可得PC=PB，将PC+PE转化为PB+PE；②根据两点之间线段最短，可知当B、P、E三点共线时，PB+PE的和最小，即此时PC+PE最小；③最后结合等边三角形的三线合一、三角形内角和等性质计算∠CPE的度数即可。
【解析】
解：
1. 已知△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，由等边三角形三线合一的性质可得，AD垂直平分BC，因此点C与点B关于AD对称，故PC=PB。
2. 因此PC+PE=PB+PE，根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PB+PE取得最小值，即此时PC+PE的和最小。
3. 又E是AC的中点，由等边三角形三线合一的性质可得，BE是AC边上的高，即BE⊥AC，且BE平分∠ABC，因此∠CEP=90°，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$×60°=30°。
4. 因为PC=PB，所以∠PCB=∠PBC=30°，则∠PCE=∠ACB-∠PCB=60°-30°=30°。
5. 在△PEC中，根据三角形内角和为180°，可得∠CPE=180°-∠CEP-∠PCE=180°-90°-30°=60°。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是几何常见综合小题，解题核心是利用对称将两条动线段的和转化为两点之间的最短距离，再结合等边三角形的特殊性质计算角度，掌握将军饮马模型和等边三角形三线合一性质是解题关键。
【难度系数】
0.6
三、解答题
6. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(2,3)$.
(1)在图中画出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出点$C_1$的坐标；
(2)在图中，若点$B_2(-4,2)$与点$B$关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是,此时点$C$关于这条直线的对称点$C_2$的坐标为；
(3)求$△ A_1B_1C_1$的面积.
6. 如图，在平面直角坐标系中，$△ ABC$的三个顶点坐标分别为$A(1,1),B(4,2),C(2,3)$.
(1)在图中画出$△ ABC$关于$x$轴对称的图形$△ A_1B_1C_1$,并写出点$C_1$的坐标；
(2)在图中，若点$B_2(-4,2)$与点$B$关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是,此时点$C$关于这条直线的对称点$C_2$的坐标为；
(3)求$△ A_1B_1C_1$的面积.
答案
解：
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1(1,-1)$、$B_1(4,-2)$、$C_1(2,-3)$，顺次连接三点即得到$△ A_1B_1C_1$。
点$C_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$。
(2) 点$B(4,2)$与$B_2(-4,2)$纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此这条对称轴是$\boldsymbol{y轴（或直线x=0）}$；
点$C$关于这条直线的对称点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$。
(3) 由轴对称的性质可知，$△ A_1B_1C_1$的面积与$△ ABC$的面积相等，用割补法计算：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=3×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×3\\&=6-1-1-1.5\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
即$△ A_1B_1C_1$的面积为$\frac{5}{2}$。
(1) 分别作出点A、B、C关于x轴的对称点$A_1(1,-1)$、$B_1(4,-2)$、$C_1(2,-3)$，顺次连接三点即得到$△ A_1B_1C_1$。
点$C_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$。
(2) 点$B(4,2)$与$B_2(-4,2)$纵坐标相同，横坐标互为相反数，因此这条对称轴是$\boldsymbol{y轴（或直线x=0）}$；
点$C$关于这条直线的对称点$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(-2,3)}$。
(3) 由轴对称的性质可知，$△ A_1B_1C_1$的面积与$△ ABC$的面积相等，用割补法计算：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=3×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×3\\&=6-1-1-1.5\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
即$△ A_1B_1C_1$的面积为$\frac{5}{2}$。
解析
【分析】
(1) 作关于x轴对称的图形，首先依据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先找到A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，直接得出C₁的坐标。
(2) 观察点B(4,2)和B₂(-4,2)的坐标，两点纵坐标相同、横坐标互为相反数，符合关于y轴对称的点的特征，即可确定对称轴；再根据关于y轴对称的点的坐标规律，求出C的对称点C₂的坐标。
(3) 由轴对称性质可知，轴对称前后的图形全等、面积相等，因此△A₁B₁C₁的面积和△ABC的面积相等，用割补法：将三角形放入矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可算出结果。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得A的对称点A₁(1,-1)，B的对称点B₁(4,-2)，C的对称点C₁(2,-3)，在坐标系中描出三个对称点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 点B(4,2)与B₂(-4,2)纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此两点关于y轴（直线x=0）对称，即所求对称轴为y轴（或直线x=0）；
根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的规律，点C(2,3)关于该直线的对称点C₂的坐标为(-2,3)。
(3) 由轴对称的性质可得△A₁B₁C₁和△ABC全等，因此二者面积相等。
用割补法计算面积：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=3×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×3\\&=6-1-1-1.5\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 画图略，点$C_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$；
(2) $\boldsymbol{y轴（或直线x=0）}$，$\boldsymbol{(-2,3)}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
轴对称的坐标规律，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换与网格中图形面积的计算，解题核心是熟练掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.8
(1) 作关于x轴对称的图形，首先依据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，先找到A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可得到△A₁B₁C₁，直接得出C₁的坐标。
(2) 观察点B(4,2)和B₂(-4,2)的坐标，两点纵坐标相同、横坐标互为相反数，符合关于y轴对称的点的特征，即可确定对称轴；再根据关于y轴对称的点的坐标规律，求出C的对称点C₂的坐标。
(3) 由轴对称性质可知，轴对称前后的图形全等、面积相等，因此△A₁B₁C₁的面积和△ABC的面积相等，用割补法：将三角形放入矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可算出结果。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征，可得A的对称点A₁(1,-1)，B的对称点B₁(4,-2)，C的对称点C₁(2,-3)，在坐标系中描出三个对称点后顺次连接，即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 点B(4,2)与B₂(-4,2)纵坐标相等，横坐标互为相反数，因此两点关于y轴（直线x=0）对称，即所求对称轴为y轴（或直线x=0）；
根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数、纵坐标不变的规律，点C(2,3)关于该直线的对称点C₂的坐标为(-2,3)。
(3) 由轴对称的性质可得△A₁B₁C₁和△ABC全等，因此二者面积相等。
用割补法计算面积：
$\begin{aligned}S_{△ A_1B_1C_1}&=3×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×2 - \frac{1}{2}×1×3\\&=6-1-1-1.5\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) 画图略，点$C_1$的坐标为$\boldsymbol{(2,-3)}$；
(2) $\boldsymbol{y轴（或直线x=0）}$，$\boldsymbol{(-2,3)}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{5}{2}}$
【知识点】
轴对称的坐标规律，轴对称的性质，割补法求面积
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的轴对称变换与网格中图形面积的计算，解题核心是熟练掌握坐标轴对称的点的坐标变化规律，灵活运用割补法计算不规则图形的面积。
【难度系数】
0.8
