7.如图,已知在$△ ABC$中,边$AC$的垂直平分线分别交边$AB$,$AC$于点$E$,$D$,且$∠ BEC=120°$.
(1)求证:$△ AEC$是等边三角形.
(2)点$F$在射线$ED$上,连接$AF$.当$△ AEF$为等腰三角形时,$∠ EAF$的度数是.

(1) 证明：
∵ ED是AC的垂直平分线，
∴ EA = EC，即△AEC是等腰三角形。
∵ ∠BEC = 120°，
∴ ∠AEC = 180° - ∠BEC = 60°，
∴ 有一个内角为60°的等腰△AEC是等边三角形。
(2) 解：
由(1)知△AEC是等边三角形，ED⊥AC，根据等腰三角形三线合一，
得∠AED = $\frac{1}{2}$∠AEC = 30°，即∠AEF = 30°。
分三种情况讨论：
① 当$AF = EF$时，$∠ EAF = ∠ AEF = 30°$；
② 当$AE = EF$时，$∠ EAF = ∠ EFA = \frac{180° - ∠ AEF}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$；
③ 当$AE = AF$时，$∠ AFE = ∠ AEF = 30°$，
$\therefore ∠ EAF = 180° - 30° - 30° = 120°$。
综上，$∠ EAF$的度数是$\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{120°}$。

【分析】
(1) 要证明△AEC是等边三角形，可利用“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”的判定定理推导：首先根据线段垂直平分线的性质得到EA=EC，确定△AEC是等腰三角形，再结合∠BEC=120°求出∠AEC的度数，即可完成证明。
(2) 先利用等边三角形三线合一的性质求出∠AEF=30°，由于△AEF为等腰三角形时未明确腰的对应关系，因此需要分AF=EF、AE=EF、AE=AF三种情况，结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和定理分别计算∠EAF的度数即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ ED是AC的垂直平分线，
∴ EA = EC，即△AEC是等腰三角形。
∵ ∠BEC = 120°，
∴ ∠AEC = 180° - ∠BEC = 60°，
∴ 有一个内角为60°的等腰△AEC是等边三角形。
(2) 解：
由(1)知△AEC是等边三角形，ED⊥AC，根据等腰三角形三线合一的性质，
得∠AED = $\frac{1}{2}$∠AEC = 30°，即∠AEF = 30°。
分三种情况讨论：
① 当$AF = EF$时，根据等边对等角得$∠ EAF = ∠ AEF = 30°$；
② 当$AE = EF$时，$∠ EAF = ∠ EFA = \frac{180° - ∠ AEF}{2} = \frac{180° - 30°}{2} = 75°$；
③ 当$AE = AF$时，$∠ AFE = ∠ AEF = 30°$，
$\therefore ∠ EAF = 180° - 30° - 30° = 120°$。
综上，$∠ EAF$的度数是30°或75°或120°。
【答案】
(1) 证明见解析；
(2) $\boldsymbol{30°}$或$\boldsymbol{75°}$或$\boldsymbol{120°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，第一问侧重对基础定理的应用考查，难度较低；第二问的易错点是等腰三角形未明确腰时，容易遗漏分类讨论的情况，解题时要注意考虑全面，避免漏解。
【难度系数】
0.6

8. 提升题 如图，将长方形纸片ABCD沿MN和PQ折叠得到一个轴对称的“帽子”，折痕角$∠ AMN=∠ DPQ$. 点A,D的对应点分别为点G,H，折叠后点B,C的对应点恰好都为E.
(1)若折痕角$∠ AMN=110°$，求“帽子”的顶角$∠ NEQ$的度数.
(2)设$∠ GMD=x$，$∠ NEQ=y$.
①请用含$x$的代数式表示$y$，则$y=$；
②当$∠ MNE=2∠ GMD$时，“帽子”比较美观，求此时$y$的值.

① $\boldsymbol{180° - 2x}$
② 此时$y$的值为$108°$。

【分析】
这道题属于长方形折叠与角度计算结合的题型，解题核心是利用折叠前后对应角相等的性质，结合长方形对边平行得到的角度关系，推导各角之间的数量关系。(1)先根据平行线性质求出∠MNB，再由折叠性质求出∠ENQ，最后用三角形内角和计算∠NEQ；(2)①先通过平角关系结合折叠性质用x表示出∠AMN，再推导∠ENQ的度数，最后用三角形内角和得到y与x的关系；②根据∠MNE和∠GMD的等量关系列方程求出x，再代入①的关系式求出y即可。
【解析】
(1)
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD// BC$
∴ $∠ AMN + ∠ MNB = 180°$（两直线平行，同旁内角互补）
∵ $∠ AMN=110°$，
∴ $∠ MNB=180°-110°=70°$
由折叠性质得：$∠ MNE=∠ MNB=70°$
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ AMN=∠ MNQ=110°$（两直线平行，内错角相等）
∴ $∠ ENQ=∠ MNQ - ∠ MNE=110°-70°=40°$
同理可得$∠ EQN=40°$
在$△ NEQ$中，$∠ NEQ=180°-∠ ENQ-∠ EQN=180°-40°-40°=100°$
(2) ① 由折叠性质得$∠ AMN=∠ GMN$
∵ $∠ GMN=∠ GMD + ∠ NMD$，且$∠ AMN + ∠ NMD=180°$（平角定义）
∴ $∠ AMN = x + (180° - ∠ AMN)$
整理得 $2∠ AMN=180°+x$，即$∠ AMN=\frac{180°+x}{2}$
∵ $AD// BC$，
∴ $∠ MNQ=∠ AMN$，$∠ MNB=180°-∠ AMN$
由折叠得$∠ MNE=∠ MNB=180°-∠ AMN$
∴ $∠ ENQ=∠ MNQ - ∠ MNE=∠ AMN - (180°-∠ AMN)=2∠ AMN - 180°$
代入$∠ AMN=\frac{180°+x}{2}$得：$∠ ENQ=x$，同理$∠ EQN=x$
∴ $y=∠ NEQ=180°-x -x=180°-2x$
② 由题意得$∠ MNE=2∠ GMD=2x$
又$∠ MNE=180°-∠ AMN=180° - \frac{180°+x}{2}=\frac{180°-x}{2}$
∴ $\frac{180°-x}{2}=2x$
解得 $5x=180°$，$x=36°$
代入$y=180°-2x$得 $y=180°-2×36°=108°$
【答案】
(1) $∠ NEQ$的度数为$100°$；
(2) ① $\boldsymbol{180° - 2x}$；② $\boldsymbol{108°}$
【知识点】
折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了折叠变换、平行线的性质和三角形内角和的应用，解题的关键是准确找到折叠前后相等的角，结合平行线的角度关系建立已知角和未知角的联系，是几何部分的常考综合题型。
【难度系数】
0.6