1.某汽车的标志图案是一个轴对称图形，如图所示，在平面直角坐标系中，y轴是其对称轴.若点A的坐标是(-3，4)，则点C的坐标为.

$\boldsymbol{(3,4)}$

【分析】
首先明确题干给出的两个关键条件：①该标志是轴对称图形，y轴为对称轴；②点A的坐标为(-3,4)。解题时首先根据轴对称图形的性质，确定点A和点C是关于y轴对称的一组对应点；再运用平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征，即可计算得出点C的坐标。
【解析】
解：
∵该汽车标志图案是轴对称图形，且y轴是它的对称轴，
∴点A与点C关于y轴对称。
根据关于y轴对称的点的坐标规律：关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数。
已知点A的坐标为(-3,4)，
∴点C的横坐标为-(-3)=3，纵坐标与点A相同为4，即点C的坐标为(3,4)。
【答案】
(3,4)
【知识点】
轴对称图形的性质；关于y轴对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础类题型，主要考查轴对称图形的性质和坐标系中对称点的坐标规律，熟练掌握不同对称关系下的坐标变化特点是解题的关键。
【难度系数】
0.8

2.由于木质的衣架没有柔韧性，在挂置衣服的时候不太方便操作，小敏便设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，套进衣服后松开即可.如图①，衣架杆OA=OB=15 cm，若衣架收拢时，∠AOB=60°，如图②，则此时A，B两点间的距离是cm.

15

【分析】
首先从题目已知条件入手，已知OA=OB=15cm，可先判断△AOB是等腰三角形，再结合收拢时∠AOB=60°的条件，联想到等边三角形的判定定理：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，因此△AOB为等边三角形，根据等边三角形三边相等的性质，即可直接求出A、B两点的距离。
【解析】
解：已知OA=OB=15cm，因此△AOB是等腰三角形。
又
∵收拢时∠AOB=60°，
根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，可得△AOB是等边三角形。
根据等边三角形三边相等的性质，可知AB=OA=15cm。
【答案】
15
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题的关键是根据已知边角条件判断出三角形为等边三角形，属于基础应用类题目，容易得分。
【难度系数】
0.8

3.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助“三等分角仪”能三等分任意角，如图①.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动，其示意图如图②所示.若∠BDE=63°，则∠CDE的度数是.

$\boldsymbol{96°}$

【分析】
解题时首先根据已知OC=CD=DE，可得到两个等腰三角形△OCD和△CDE，利用等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形外角等于不相邻两内角和的性质，将相关角用同一个未知数表示，再根据平角为180°的性质列方程求解，即可算出∠CDE的度数。
【解析】
解：
∵ OC=CD=DE，
∴ ∠O=∠CDO，∠DCE=∠DEC。
设∠O=∠CDO=x，
∵ ∠DCE是△OCD的外角，
∴ ∠DCE=∠O + ∠CDO = 2x，
∴ ∠DEC=∠DCE=2x。
在△CDE中，由三角形内角和为180°，得：
∠CDE=180° - ∠DCE - ∠DEC = 180° - 4x。
∵ ∠ODC + ∠CDE + ∠BDE = 180°（平角的定义），且∠BDE=63°，
∴ x + 180° - 4x + 63° = 180°，
解得x=21°，
∴ ∠CDE=180° - 4×21° = 96°。
【答案】
$\boldsymbol{96°}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题以“三等分角仪”为背景，考查三角形相关角的计算，解题的关键是利用边相等的条件得到角的等量关系，通过设未知数建立方程求解，体现了方程思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$∠ AOE = ∠ BOE = 15°$，$EF // OB$，$EC ⊥ OB$. 若 $EC = 2$，则 $EF =$ .

$\boldsymbol{4}$

【分析】
解题思路如下：1. 首先观察到OE是∠AOB的角平分线，且EC⊥OB，根据角平分线的性质，我们可以过E作OA的垂线EG，得到EG=EC=2；2. 结合EF//OB的条件，利用平行线内错角相等的性质，可推出∠OEF=∠BOE=15°，再根据三角形外角的性质得到∠EFG=30°；3. 最后在Rt△EGF中，利用30°角所对直角边等于斜边一半的性质，即可求出EF的长度。
【解析】
过点E作EG⊥OA于点G。
∵ ∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，
∴ OE平分∠AOB，根据角平分线的性质可得：EG=EC=2。
∵ EF//OB，
∴ ∠OEF=∠BOE=15°，
∴ ∠EFG=∠AOE + ∠OEF = 15°+15°=30°。
在Rt△EGF中，∠EGF=90°，∠EFG=30°，
∴ EF=2EG=2×2=4。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
角平分线的性质；平行线的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，解题的关键是合理添加辅助线构造特殊直角三角形，将已知条件和待求线段建立联系，能够很好地考查学生对基础几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

5.如图，在$△ ABC$中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON相交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D，E。已知$△ ADE$的周长为15 cm，分别连接OA，OB，OC，若$△ OBC$的周长为31 cm，则OA的长为cm。

$\boldsymbol{8}$

【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。第一步，利用该性质将△ADE的周长中的AD、AE分别替换为BD、CE，即可得到BC的长度；第二步，再利用垂直平分线性质得到OB=OA、OC=OA，结合△OBC的周长建立关于OA的等式，代入BC的长度即可计算出OA的长。
【解析】
∵ OM是AB的垂直平分线，点D、O在OM上
∴ AD=BD，OB=OA（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
∵ ON是AC的垂直平分线，点E、O在ON上
∴ AE=CE，OC=OA
已知△ADE的周长为15 cm，即：
$AD + DE + AE = 15\ \mathrm{cm}$
将AD替换为BD，AE替换为CE，得：
$BD + DE + CE = 15\ \mathrm{cm}$，即 $BC = 15\ \mathrm{cm}$
又已知△OBC的周长为31 cm，即：
$OB + OC + BC = 31\ \mathrm{cm}$
将OB=OA、OC=OA、BC=15 cm代入上式：
$OA + OA + 15 = 31$
解得 $2OA = 16$，即 $OA = 8\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
1.线段垂直平分线的性质
2.三角形周长计算
3.等量代换
【点评】
本题是线段垂直平分线性质的典型应用题，解题核心是利用垂直平分线的性质完成未知线段与已知线段的转化，通过周长的等量关系建立方程求解，能很好地考查学生对性质的掌握程度和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.7

6.如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点D在边AB上，$AC=AD$，过点D作AB的垂线，交BC于点E.求证$CE=DE$.

证明：
连接AE。
∵ ∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴ ∠ADE = ∠ACB = 90°，
∴ △ACE 和 △ADE 都是直角三角形。
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\AE = AE\end{array} $
∴ Rt△ACE ≌ Rt△ADE（HL），
∴ CE = DE。

【分析】
要证明CE=DE，通常可以通过证明两条线段所在的三角形全等实现。观察图形可知，CE属于△ACE，DE属于△ADE，已知∠ACB和∠ADE都是直角，且给出了AC=AD的条件，两个三角形还有公共边AE，因此首先连接AE构造两个直角三角形，再利用直角三角形全等的HL判定定理证明两个三角形全等，即可通过全等三角形对应边相等的性质得到CE=DE。
【解析】
证明：
连接AE。
∵ ∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴ ∠ADE = ∠ACB = 90°，
∴ △ACE 和 △ADE 都是直角三角形。
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AC = AD \\AE = AE\end{array} $
∴ Rt△ACE ≌ Rt△ADE（HL），
∴ CE = DE。
【答案】
CE=DE
【知识点】
HL定理，全等三角形性质
【点评】
本题是基础的几何证明题，解题核心是合理添加辅助线构造全等三角形，结合已知条件选择对应的全等判定方法即可完成求证，能够很好地巩固全等三角形相关的基础应用。
【难度系数】
0.8