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1.如图,直线$ l $是一条河,点$ P,Q $分别代表两个村庄.现欲在$ l $上的某处修建一个水泵站,向$ P,Q $两地供水,有以下四种铺设方案(图中实线表示铺设的管道),所需管道最短的是()
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确核心需求：在直线$ l $上找一点$ M $，使得$ PM+QM $的总长度最小，这是典型的“将军饮马”类最短路径问题。解题思路如下：①因为$ P、Q $在直线$ l $的同侧，直接求$ PM+QM $的最小值不好判断，我们可以利用轴对称的性质，把其中一个点转化到直线另一侧：作点$ P $（或$ Q $）关于直线$ l $的对称点；②根据轴对称性质，对称点到$ M $的距离等于原点点到$ M $的距离，此时距离和就转化为对称点到另一个点的线段长度，结合“两点之间线段最短”，当对称点、$ M $、另一个点三点共线时，总长度最短；③对照四个选项的作图，选出符合该逻辑的选项即可。
【解析】
我们的目标是找到直线$ l $上的点$ M $，使$ PM+QM $最小：
1. 依据轴对称的性质，作点$ P $关于直线$ l $的对称点$ P' $，此时对任意$ l $上的点$ M $，都有$ PM=P'M $，因此$ PM+QM=P'M+QM $。
2. 根据“两点之间线段最短”，当$ P'、M、Q $三点共线时，$ P'M+QM $的长度最小，等于线段$ P'Q $的长度，即连接$ P'Q $，与直线$ l $的交点就是所求的点$ M $。
3. 逐一对比选项：
A选项：$ M $是$ P $向$ l $作垂线的垂足，仅$ PM $最短，总长度$ PM+QM $不是最小值；
B选项：$ M $在$ PQ $的垂直平分线上，仅满足$ PM=QM $，总长度不是最小值；
C选项：作图符合上述“作对称点→连线找交点”的步骤，总长度最短；
D选项：$ M $是$ Q $向$ l $作垂线的垂足，仅$ QM $最短，总长度不是最小值。
【答案】
C
【知识点】
最短路径模型，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，核心是利用轴对称将同侧两点的路径和转化为两点间的线段长度，熟练掌握“将军饮马”模型的作图原理和方法，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先明确核心需求：在直线$ l $上找一点$ M $，使得$ PM+QM $的总长度最小，这是典型的“将军饮马”类最短路径问题。解题思路如下：①因为$ P、Q $在直线$ l $的同侧，直接求$ PM+QM $的最小值不好判断，我们可以利用轴对称的性质，把其中一个点转化到直线另一侧：作点$ P $（或$ Q $）关于直线$ l $的对称点；②根据轴对称性质，对称点到$ M $的距离等于原点点到$ M $的距离，此时距离和就转化为对称点到另一个点的线段长度，结合“两点之间线段最短”，当对称点、$ M $、另一个点三点共线时，总长度最短；③对照四个选项的作图，选出符合该逻辑的选项即可。
【解析】
我们的目标是找到直线$ l $上的点$ M $，使$ PM+QM $最小：
1. 依据轴对称的性质，作点$ P $关于直线$ l $的对称点$ P' $，此时对任意$ l $上的点$ M $，都有$ PM=P'M $，因此$ PM+QM=P'M+QM $。
2. 根据“两点之间线段最短”，当$ P'、M、Q $三点共线时，$ P'M+QM $的长度最小，等于线段$ P'Q $的长度，即连接$ P'Q $，与直线$ l $的交点就是所求的点$ M $。
3. 逐一对比选项：
A选项：$ M $是$ P $向$ l $作垂线的垂足，仅$ PM $最短，总长度$ PM+QM $不是最小值；
B选项：$ M $在$ PQ $的垂直平分线上，仅满足$ PM=QM $，总长度不是最小值；
C选项：作图符合上述“作对称点→连线找交点”的步骤，总长度最短；
D选项：$ M $是$ Q $向$ l $作垂线的垂足，仅$ QM $最短，总长度不是最小值。
【答案】
C
【知识点】
最短路径模型，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题是最短路径的典型实际应用题，核心是利用轴对称将同侧两点的路径和转化为两点间的线段长度，熟练掌握“将军饮马”模型的作图原理和方法，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.8
2.如图,在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,E为AC边上一动点,P为AD上一动点.若AD=10,则PC+PE的最小值为.
答案
$\boldsymbol{10}$
解析
【分析】
本题属于最短路径类问题，解题思路如下：1. 首先观察图形特征：等边△ABC中AD是BC边上的高，可知AD是BC的垂直平分线，点C和点B关于AD对称，因此可以将PC转化为等长的PB；2. 此时PC+PE转化为PB+PE，根据“两点之间线段最短”，当B、P、E三点共线时，PB+PE的和最小，等于线段BE的长度；3. 因为E是AC上的动点，根据“垂线段最短”，当BE垂直于AC时BE的长度最小，此时BE是等边三角形AC边上的高，结合等边三角形三条高长度相等的性质，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称
连接PB，由对称性质可得：$\boldsymbol{PC = PB}$
∴$PC + PE = PB + PE$
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，$PB + PE$取得最小值，最小值为BE的长度
又
∵E为AC边上的动点，根据垂线段最短，当$BE⊥ AC$时，BE的长度最小，此时BE是等边△ABC中AC边上的高
∵等边三角形的三条高长度相等，已知$AD=10$
∴$BE = AD = 10$
即$PC + PE$的最小值为10。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是将军饮马模型在等边三角形中的典型应用，解题的核心是利用轴对称性将待求的两条线段和转化为共线时的线段长度，再结合垂线段最短和等边三角形的性质求解，熟练掌握轴对称最短路径模型是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于最短路径类问题，解题思路如下：1. 首先观察图形特征：等边△ABC中AD是BC边上的高，可知AD是BC的垂直平分线，点C和点B关于AD对称，因此可以将PC转化为等长的PB；2. 此时PC+PE转化为PB+PE，根据“两点之间线段最短”，当B、P、E三点共线时，PB+PE的和最小，等于线段BE的长度；3. 因为E是AC上的动点，根据“垂线段最短”，当BE垂直于AC时BE的长度最小，此时BE是等边三角形AC边上的高，结合等边三角形三条高长度相等的性质，即可求出最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高
∴AD垂直平分BC，点B与点C关于AD对称
连接PB，由对称性质可得：$\boldsymbol{PC = PB}$
∴$PC + PE = PB + PE$
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，$PB + PE$取得最小值，最小值为BE的长度
又
∵E为AC边上的动点，根据垂线段最短，当$BE⊥ AC$时，BE的长度最小，此时BE是等边△ABC中AC边上的高
∵等边三角形的三条高长度相等，已知$AD=10$
∴$BE = AD = 10$
即$PC + PE$的最小值为10。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，垂直平分线的性质
【点评】
本题是将军饮马模型在等边三角形中的典型应用，解题的核心是利用轴对称性将待求的两条线段和转化为共线时的线段长度，再结合垂线段最短和等边三角形的性质求解，熟练掌握轴对称最短路径模型是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
3.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,P为AD上的动点.若∠BAC=40°,当PE+PC的值最小时,∠BCP的度数为.
答案
$\boldsymbol{20°}$
解析
【分析】
这是一道结合最短路径与等腰三角形性质的几何题，解题思路如下：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，确定AD是BC的垂直平分线，可得点C关于AD的对称点为点B，因此PC=PB，将PE+PC转化为PE+PB，根据两点之间线段最短，可知当B、P、E三点共线时，PE+PC的值最小，即此时P为BE与AD的交点；②再结合三角形内角和、等腰三角形等边对等角的性质计算∠BCP的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∴点C关于AD的对称点为点B，故PC=PB，
∴PE+PC=PE+PB，根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PE+PC取得最小值，此时P为BE与AD的交点。
∵∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
∵BE⊥AC，
∴在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-40°=50°，
∴∠CBE=∠ABC - ∠ABE=70°-50°=20°，
又
∵PB=PC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠BCP=∠CBE=20°。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
最短路径问题；等腰三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了最短路径的构造和等腰三角形的相关性质，解题的关键是利用对称将两条线段的和转化为共线时的最短情况，再结合角度关系计算，是典型的几何综合小题。
【难度系数】
0.6
这是一道结合最短路径与等腰三角形性质的几何题，解题思路如下：①首先利用等腰三角形三线合一的性质，确定AD是BC的垂直平分线，可得点C关于AD的对称点为点B，因此PC=PB，将PE+PC转化为PE+PB，根据两点之间线段最短，可知当B、P、E三点共线时，PE+PC的值最小，即此时P为BE与AD的交点；②再结合三角形内角和、等腰三角形等边对等角的性质计算∠BCP的度数即可。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，∠ABC=∠ACB，
∴点C关于AD的对称点为点B，故PC=PB，
∴PE+PC=PE+PB，根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，PE+PC取得最小值，此时P为BE与AD的交点。
∵∠BAC=40°，
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)÷2=(180°-40°)÷2=70°，
∵BE⊥AC，
∴在Rt△ABE中，∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAC=90°-40°=50°，
∴∠CBE=∠ABC - ∠ABE=70°-50°=20°，
又
∵PB=PC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠BCP=∠CBE=20°。
【答案】
$\boldsymbol{20°}$
【知识点】
最短路径问题；等腰三角形的性质；垂直平分线的性质
【点评】
本题综合考查了最短路径的构造和等腰三角形的相关性质，解题的关键是利用对称将两条线段的和转化为共线时的最短情况，再结合角度关系计算，是典型的几何综合小题。
【难度系数】
0.6
4.如图,已知AC是四边形ABCD的对称轴,∠CAB=30°,E,F分别是对角线AC、边AB上的点.若BE=2,AF=3,则△BEF的周长的最小值为.
答案
$\boldsymbol{5}$
解析
【分析】
要解决本题，首先明确△BEF的周长为$BE + EF + BF$，已知$BE=2$为定值，因此求周长最小值只需找到$EF+BF$的最小值即可。由于AC是四边形ABCD的对称轴，根据轴对称的性质，点B关于AC的对称点为点D，对AC上任意点E，都有$BE=DE$，因此可将$BE+EF$转化为$DE+EF$。根据两点之间线段最短，当D、E、F三点共线时，$DE+EF$取得最小值，结合已知$AF=3$的条件，即可求出周长的最小值。
【解析】
∵AC是四边形ABCD的对称轴，
∴点B与点D关于AC对称，$∠ DAC=∠ CAB=30°$，且$AD=AB$。
连接DF，交AC于点E，由轴对称性质得$BE=DE$，此时$BE+EF=DE+EF=DF$，为$BE+EF$的最小值（两点之间线段最短）。
结合$AF=3$的条件，可得$BE+EF+BF$的最小值为$2+3=5$，即△BEF周长的最小值为5。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，线段的性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心解题思路是利用轴对称的性质转化相等线段，结合两点之间线段最短的原理确定最值位置，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先明确△BEF的周长为$BE + EF + BF$，已知$BE=2$为定值，因此求周长最小值只需找到$EF+BF$的最小值即可。由于AC是四边形ABCD的对称轴，根据轴对称的性质，点B关于AC的对称点为点D，对AC上任意点E，都有$BE=DE$，因此可将$BE+EF$转化为$DE+EF$。根据两点之间线段最短，当D、E、F三点共线时，$DE+EF$取得最小值，结合已知$AF=3$的条件，即可求出周长的最小值。
【解析】
∵AC是四边形ABCD的对称轴，
∴点B与点D关于AC对称，$∠ DAC=∠ CAB=30°$，且$AD=AB$。
连接DF，交AC于点E，由轴对称性质得$BE=DE$，此时$BE+EF=DE+EF=DF$，为$BE+EF$的最小值（两点之间线段最短）。
结合$AF=3$的条件，可得$BE+EF+BF$的最小值为$2+3=5$，即△BEF周长的最小值为5。
【答案】
$\boldsymbol{5}$
【知识点】
轴对称的性质，最短路径问题，线段的性质
【点评】
本题是轴对称应用的典型题型，核心解题思路是利用轴对称的性质转化相等线段，结合两点之间线段最短的原理确定最值位置，侧重考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
5. 提升题 如图，点P在∠AOB内，M，N分别是点P关于AO，BO的对称点，MN分别交OA，OB于点E，F.
(1)若∠AOB=α，则∠MON=，∠EPF=.(用含α的代数式表示)
(2)①若△PEF的周长是10 cm，求MN的长；
②若∠O=30°,OP=12 cm，则△PEF的周长的最小值为cm.
(1)若∠AOB=α，则∠MON=，∠EPF=.(用含α的代数式表示)
(2)①若△PEF的周长是10 cm，求MN的长；
②若∠O=30°,OP=12 cm，则△PEF的周长的最小值为cm.
答案
(1) $\boldsymbol{2α}$，$\boldsymbol{180°-2α}$
(2) ① $MN=10\ \mathrm{cm}$；② $\boldsymbol{12}$
(2) ① $MN=10\ \mathrm{cm}$；② $\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
解题时首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，对称轴垂直平分两点的连线，对应线段相等，对应角相等。
(1) 求∠MON：连接OP，利用对称性质可得OA平分∠MOP，OB平分∠NOP，将∠MON拆分为∠MOA+∠AOB+∠BON，替换为相等的角即可得到与α的关系；求∠EPF时，利用等边对等角得到相等的角，结合三角形内角和定理进行角度转化即可。
(2) ① 求MN的长：根据轴对称性质，EP=EM，FP=FN，将MN拆分为ME+EF+FN，替换为△PEF的三边即可得到MN与△PEF周长的关系。
② 求△PEF周长的最小值：首先明确△PEF周长等于MN的长，再由对称得OM=ON=OP，结合∠AOB=30°可得∠MON=60°，判断△MON为等边三角形，即可得到MN的最小值。
【解析】
(1) 连接OP，
∵M是点P关于AO的对称点，
∴OA垂直平分MP，∠MOA=∠AOP，OM=OP；
同理，N是点P关于BO的对称点，
∴OB垂直平分PN，∠NOB=∠BOP，ON=OP；
∴∠MON=∠MOA + ∠AOB + ∠BON = ∠AOP + α + ∠BOP = α + (∠AOP+∠BOP) = 2α；
根据轴对称性质，EM=EP，FP=FN，
∴∠M=∠MPE，∠N=∠NPF，
在△MON中，∠M + ∠N = 180° - ∠MON = 180° - 2α，结合角度关系推导可得∠EPF=180° - 2α；
(2) ① 由轴对称性质可知：EP=EM，FP=FN，
∴MN = ME + EF + FN = EP + EF + FP，
∵△PEF的周长为10cm，即EP+EF+FP=10cm，
∴MN=10cm；
② 由①可知△PEF的周长=MN，由对称性质得OM=ON=OP=12cm，
∵∠O=30°，
∴∠MON=2∠O=60°，
∴△MON是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴MN=OM=12cm，即△PEF的周长的最小值为12cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2α}$，$\boldsymbol{180°-2α}$
(2) ① $MN=10\ \mathrm{cm}$；② $\boldsymbol{12}$
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称性质的综合应用题型，解题的核心是利用轴对称的性质实现线段和角度的转化，将未知的边长、角度问题转化为已知条件相关的问题，最短路径的求解用到了两点之间线段最短的原理，是轴对称应用的典型考法。
【难度系数】
0.6
解题时首先回忆轴对称的性质：关于某条直线对称的两个点，对称轴垂直平分两点的连线，对应线段相等，对应角相等。
(1) 求∠MON：连接OP，利用对称性质可得OA平分∠MOP，OB平分∠NOP，将∠MON拆分为∠MOA+∠AOB+∠BON，替换为相等的角即可得到与α的关系；求∠EPF时，利用等边对等角得到相等的角，结合三角形内角和定理进行角度转化即可。
(2) ① 求MN的长：根据轴对称性质，EP=EM，FP=FN，将MN拆分为ME+EF+FN，替换为△PEF的三边即可得到MN与△PEF周长的关系。
② 求△PEF周长的最小值：首先明确△PEF周长等于MN的长，再由对称得OM=ON=OP，结合∠AOB=30°可得∠MON=60°，判断△MON为等边三角形，即可得到MN的最小值。
【解析】
(1) 连接OP，
∵M是点P关于AO的对称点，
∴OA垂直平分MP，∠MOA=∠AOP，OM=OP；
同理，N是点P关于BO的对称点，
∴OB垂直平分PN，∠NOB=∠BOP，ON=OP；
∴∠MON=∠MOA + ∠AOB + ∠BON = ∠AOP + α + ∠BOP = α + (∠AOP+∠BOP) = 2α；
根据轴对称性质，EM=EP，FP=FN，
∴∠M=∠MPE，∠N=∠NPF，
在△MON中，∠M + ∠N = 180° - ∠MON = 180° - 2α，结合角度关系推导可得∠EPF=180° - 2α；
(2) ① 由轴对称性质可知：EP=EM，FP=FN，
∴MN = ME + EF + FN = EP + EF + FP，
∵△PEF的周长为10cm，即EP+EF+FP=10cm，
∴MN=10cm；
② 由①可知△PEF的周长=MN，由对称性质得OM=ON=OP=12cm，
∵∠O=30°，
∴∠MON=2∠O=60°，
∴△MON是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），
∴MN=OM=12cm，即△PEF的周长的最小值为12cm。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2α}$，$\boldsymbol{180°-2α}$
(2) ① $MN=10\ \mathrm{cm}$；② $\boldsymbol{12}$
【知识点】
轴对称的性质，等边三角形的判定，最短路径问题
【点评】
本题是轴对称性质的综合应用题型，解题的核心是利用轴对称的性质实现线段和角度的转化，将未知的边长、角度问题转化为已知条件相关的问题，最短路径的求解用到了两点之间线段最短的原理，是轴对称应用的典型考法。
【难度系数】
0.6
