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1.如图，A和B分别是河的两岸上的点，现要在河上造一座桥MN(假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直)，要使从点A到B的路径A－M－N－B最短.在下列两种设计方案中，符合要求的是.
答案
解：∵河的两岸a//b，MN⊥a，
∴MN的长度为定值，等于河的宽度。
要使路径A-M-N-B最短，只需AM+NB最短。
将点A沿垂直于河岸的方向向河岸b平移，平移距离等于河宽，得到点A'，由平移性质可得AM=A'N，且AM//A'N。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB最短，此时AM//BN，对应方案二。
∴符合要求的是方案二。
∴MN的长度为定值，等于河的宽度。
要使路径A-M-N-B最短，只需AM+NB最短。
将点A沿垂直于河岸的方向向河岸b平移，平移距离等于河宽，得到点A'，由平移性质可得AM=A'N，且AM//A'N。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB最短，此时AM//BN，对应方案二。
∴符合要求的是方案二。
解析
【分析】
首先明确桥MN必须与河岸垂直，因此MN的长度是固定值，等于河的宽度，所以要让路径A-M-N-B最短，只需保证AM与NB的长度之和最小即可。我们可以通过平移的方法转化线段：将点A沿垂直河岸的方向平移等于河宽的距离，把AM转化为等长的线段，就可以将求AM+NB最短的问题，转化为两点之间线段最短的问题，当转化后的两条线段共线时总长度最短，对应正确的设计方案。
【解析】
∵河的两岸a//b，MN⊥a，
∴MN的长度为定值，等于河的宽度。
路径总长度为AM+MN+NB，MN长度固定，因此要使路径最短，只需AM+NB的和最小。
将点A沿垂直于河岸的方向向河岸b平移，平移距离等于河宽，得到点A'，由平移的性质可得AM=A'N，且AM//A'N。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，此时AM//BN，对应题目中的方案二。
【答案】
方案二
【知识点】
1.平移的性质
2.两点之间线段最短
3.最短路径问题
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，解题核心是通过平移将固定长度的桥长从总路径中分离，把分散的待求线段转化到同一路径上，利用基础几何公理求解，能很好地考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先明确桥MN必须与河岸垂直，因此MN的长度是固定值，等于河的宽度，所以要让路径A-M-N-B最短，只需保证AM与NB的长度之和最小即可。我们可以通过平移的方法转化线段：将点A沿垂直河岸的方向平移等于河宽的距离，把AM转化为等长的线段，就可以将求AM+NB最短的问题，转化为两点之间线段最短的问题，当转化后的两条线段共线时总长度最短，对应正确的设计方案。
【解析】
∵河的两岸a//b，MN⊥a，
∴MN的长度为定值，等于河的宽度。
路径总长度为AM+MN+NB，MN长度固定，因此要使路径最短，只需AM+NB的和最小。
将点A沿垂直于河岸的方向向河岸b平移，平移距离等于河宽，得到点A'，由平移的性质可得AM=A'N，且AM//A'N。
根据两点之间线段最短，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB的和最小，此时AM//BN，对应题目中的方案二。
【答案】
方案二
【知识点】
1.平移的性质
2.两点之间线段最短
3.最短路径问题
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，解题核心是通过平移将固定长度的桥长从总路径中分离，把分散的待求线段转化到同一路径上，利用基础几何公理求解，能很好地考查转化思想的应用。
【难度系数】
0.6
2.如图,在长方形ABCD中,AB=4,BC=8,E为CD的中点,P,Q为BC边上两个动点,且PQ=2.当四边形APQE的周长最小时,BP的长为.
答案
解：
在长方形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=8，∠B=∠C=90°。
∵E为CD中点，∴CE=DE=2。
四边形APQE的周长为$AP + PQ + QE + AE$，其中PQ=2，AE为定值，因此要使四边形APQE的周长最小，只需$AP + QE$最小。
将点E沿CB方向向左平移2个单位，得到点E'，则$EE'// PQ$且$EE'=PQ=2$，四边形PQEE'是平行四边形，故$QE=PE'$，因此$AP + QE = AP + PE'$。
作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'E'，交BC于点P，根据轴对称性质和两点之间线段最短，此时$AP + PE' = A'P + PE' = A'E'$，取得最小值，即$AP+QE$最小。
由轴对称性质得$A'B=AB=4$，$A'B⊥ BC$，过E'作$E'F⊥ BC$于F，则$E'F=CE=2$，$BF=BC - EE' - CE=8-2-2=6$。
∵$A'B// E'F$，易得$△ A'BP$和$△ E'FP$中，对应角相等，水平方向从A'到E'总长度为6，竖直方向总高度差为$4+2=6$，直线A'E'的斜率为1，因此当y=0时，$BP=4$。
最终可得BP的长为$\boldsymbol{4}$。
在长方形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=8，∠B=∠C=90°。
∵E为CD中点，∴CE=DE=2。
四边形APQE的周长为$AP + PQ + QE + AE$，其中PQ=2，AE为定值，因此要使四边形APQE的周长最小，只需$AP + QE$最小。
将点E沿CB方向向左平移2个单位，得到点E'，则$EE'// PQ$且$EE'=PQ=2$，四边形PQEE'是平行四边形，故$QE=PE'$，因此$AP + QE = AP + PE'$。
作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'E'，交BC于点P，根据轴对称性质和两点之间线段最短，此时$AP + PE' = A'P + PE' = A'E'$，取得最小值，即$AP+QE$最小。
由轴对称性质得$A'B=AB=4$，$A'B⊥ BC$，过E'作$E'F⊥ BC$于F，则$E'F=CE=2$，$BF=BC - EE' - CE=8-2-2=6$。
∵$A'B// E'F$，易得$△ A'BP$和$△ E'FP$中，对应角相等，水平方向从A'到E'总长度为6，竖直方向总高度差为$4+2=6$，直线A'E'的斜率为1，因此当y=0时，$BP=4$。
最终可得BP的长为$\boldsymbol{4}$。
解析
【分析】
要解决四边形周长最小的问题，首先拆分周长组成：四边形APQE的周长=AP+PQ+QE+AE，其中PQ=2是定值，A、E是定点，故AE长度也为定值，因此只需让AP+QE的和最小即可。接下来处理P、Q为动点且PQ=2的条件：利用平移将点E沿CB方向向左平移2个单位得到点E'，由平行四边形性质可得QE=PE'，则AP+QE转化为AP+PE'，此时问题变为在BC上找一点P使AP+PE'最小，属于典型的将军饮马模型，作A关于BC的对称点A'，根据两点之间线段最短，A'E'与BC的交点即为所求P点，最后通过几何关系计算BP长度即可。
【解析】
在长方形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=8，∠B=∠C=90°。
∵E为CD中点，
∴CE=DE=2。
四边形APQE的周长为$AP + PQ + QE + AE$，其中PQ=2，AE为定点连线长度固定，因此要使周长最小，只需$AP + QE$最小。
将点E沿CB方向向左平移2个单位得到点E'，则$EE'// PQ$且$EE'=PQ=2$，四边形PQEE'是平行四边形，故$QE=PE'$，因此$AP + QE = AP + PE'$。
作点A关于直线BC的对称点A'，由轴对称性质得$A'B=AB=4$，且A'、B、A三点共线，连接A'E'，交BC于点P，此时$AP + PE' = A'P + PE' = A'E'$，根据两点之间线段最短，此时$AP+QE$取得最小值，对应四边形APQE周长最小。
过E'作$E'F⊥AB$，交AB所在直线于点F，可得$E'F=BC-EE'=8-2=6$，$A'F=A'B + CE=4+2=6$，因此$△ A'FE'$是等腰直角三角形，$∠ BA'P=45°$。
在$Rt△ A'BP$中，$∠ A'BP=90°$，$∠ BA'P=45°$，故$∠ A'PB=45°$，因此$BP=A'B=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，平移的性质
【点评】
本题是最短路径的典型变形题，将双动点定距问题通过平移转化为熟悉的将军饮马模型，再利用轴对称性质和两点之间线段最短求解，重点考查几何转化思想和作图分析能力，解题关键是正确对线段进行等效转化，找到最优动点位置。
【难度系数】
0.6
要解决四边形周长最小的问题，首先拆分周长组成：四边形APQE的周长=AP+PQ+QE+AE，其中PQ=2是定值，A、E是定点，故AE长度也为定值，因此只需让AP+QE的和最小即可。接下来处理P、Q为动点且PQ=2的条件：利用平移将点E沿CB方向向左平移2个单位得到点E'，由平行四边形性质可得QE=PE'，则AP+QE转化为AP+PE'，此时问题变为在BC上找一点P使AP+PE'最小，属于典型的将军饮马模型，作A关于BC的对称点A'，根据两点之间线段最短，A'E'与BC的交点即为所求P点，最后通过几何关系计算BP长度即可。
【解析】
在长方形ABCD中，AB=CD=4，BC=AD=8，∠B=∠C=90°。
∵E为CD中点，
∴CE=DE=2。
四边形APQE的周长为$AP + PQ + QE + AE$，其中PQ=2，AE为定点连线长度固定，因此要使周长最小，只需$AP + QE$最小。
将点E沿CB方向向左平移2个单位得到点E'，则$EE'// PQ$且$EE'=PQ=2$，四边形PQEE'是平行四边形，故$QE=PE'$，因此$AP + QE = AP + PE'$。
作点A关于直线BC的对称点A'，由轴对称性质得$A'B=AB=4$，且A'、B、A三点共线，连接A'E'，交BC于点P，此时$AP + PE' = A'P + PE' = A'E'$，根据两点之间线段最短，此时$AP+QE$取得最小值，对应四边形APQE周长最小。
过E'作$E'F⊥AB$，交AB所在直线于点F，可得$E'F=BC-EE'=8-2=6$，$A'F=A'B + CE=4+2=6$，因此$△ A'FE'$是等腰直角三角形，$∠ BA'P=45°$。
在$Rt△ A'BP$中，$∠ A'BP=90°$，$∠ BA'P=45°$，故$∠ A'PB=45°$，因此$BP=A'B=4$。
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，平移的性质
【点评】
本题是最短路径的典型变形题，将双动点定距问题通过平移转化为熟悉的将军饮马模型，再利用轴对称性质和两点之间线段最短求解，重点考查几何转化思想和作图分析能力，解题关键是正确对线段进行等效转化，找到最优动点位置。
【难度系数】
0.6
3.(1)如图①，A，B两村之间有一条两岸互相平行的河，河宽为a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使A，B之间的路程最短.我们可以这样解决:如图①，把点A向下平移a个单位长度到点$A'$，连接$A'B$交$l_2$于点C；过点C作$CD⊥l_1$于点D，则CD就是造桥的位置.
(2)如图②，A，B两村之间有两条互相平行的河.一条河宽a，另一条河宽b，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使A，B之间的路程最短，试画出造桥的位置.
(2)如图②，A，B两村之间有两条互相平行的河.一条河宽a，另一条河宽b，现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直)，使A，B之间的路程最短，试画出造桥的位置.
答案
解：
造桥的作图步骤如下：
① 把点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
② 把点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
③ 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点C，交河岸$l_3$于点E；
④ 过点C作$CD ⊥ l_1$，垂足为D，线段CD就是第一条河上所造桥的位置；
⑤ 过点E作$EF ⊥ l_4$，垂足为F，线段EF就是第二条河上所造桥的位置；
⑥ 连接AD、FB，路径$AD \to DC \to EF \to FB$即为A、B之间的最短路程。
造桥的作图步骤如下：
① 把点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
② 把点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
③ 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点C，交河岸$l_3$于点E；
④ 过点C作$CD ⊥ l_1$，垂足为D，线段CD就是第一条河上所造桥的位置；
⑤ 过点E作$EF ⊥ l_4$，垂足为F，线段EF就是第二条河上所造桥的位置；
⑥ 连接AD、FB，路径$AD \to DC \to EF \to FB$即为A、B之间的最短路程。
解析
【分析】
单条河造桥选最短路径的核心思路是通过平移，把固定长度的桥长转化为点的平移距离，从而将折线最短问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。本题有两条河，两座桥的长度a、b均为固定值，因此总路程的长度由桥长和桥上、下的连接路径长度决定，要让总路程最短，只需让连接路径最短即可。
类比单条河的解法：①将点A沿垂直$l_1$的方向向下平移a个单位（等于第一条河宽），此时第一条桥CD的长度与AA'相等，AD的长度等于A'C的长度，就剥离了第一条桥的固定长度；②将点B沿垂直$l_4$的方向向上平移b个单位（等于第二条河宽），同理第二条桥EF的长度与BB'相等，FB的长度等于EB'的长度，剥离了第二条桥的固定长度。此时剩余的连接路径为A'到B'的线段时最短，对应作出桥的位置即可得到最短路径。
【解析】
按照平移转化的思路作图，步骤如下：
1. 将点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点C，交河岸$l_3$于点E；
4. 过点C作$CD ⊥ l_1$，垂足为D，CD即为第一条河上的桥的位置；
5. 过点E作$EF ⊥ l_4$，垂足为F，EF即为第二条河上的桥的位置；
总路程中AD=A'C、FB=EB'，总长度为$a+b+A'B'$，根据两点之间线段最短，此时总路程最短。
【答案】
造桥的作图步骤如下：
① 把点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
② 把点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
③ 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点C，交河岸$l_3$于点E；
④ 过点C作$CD ⊥ l_1$，垂足为D，线段CD就是第一条河上所造桥的位置；
⑤ 过点E作$EF ⊥ l_4$，垂足为F，线段EF就是第二条河上所造桥的位置；
⑥ 连接AD、FB，路径$AD \to DC \to CE \to EF \to FB$即为A、B之间的最短路程。
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；垂线的性质
【点评】
本题是最短路径中的经典造桥选址拓展问题，解题核心是利用平移将固定的桥长进行转化，把含有多段垂直河岸路径的折线最短问题，转化为更简单的两点之间线段最短的问题，掌握这种转化思想就能轻松解决同类的多河造桥选址问题。
【难度系数】
0.6
单条河造桥选最短路径的核心思路是通过平移，把固定长度的桥长转化为点的平移距离，从而将折线最短问题转化为“两点之间，线段最短”的问题。本题有两条河，两座桥的长度a、b均为固定值，因此总路程的长度由桥长和桥上、下的连接路径长度决定，要让总路程最短，只需让连接路径最短即可。
类比单条河的解法：①将点A沿垂直$l_1$的方向向下平移a个单位（等于第一条河宽），此时第一条桥CD的长度与AA'相等，AD的长度等于A'C的长度，就剥离了第一条桥的固定长度；②将点B沿垂直$l_4$的方向向上平移b个单位（等于第二条河宽），同理第二条桥EF的长度与BB'相等，FB的长度等于EB'的长度，剥离了第二条桥的固定长度。此时剩余的连接路径为A'到B'的线段时最短，对应作出桥的位置即可得到最短路径。
【解析】
按照平移转化的思路作图，步骤如下：
1. 将点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
2. 将点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
3. 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点C，交河岸$l_3$于点E；
4. 过点C作$CD ⊥ l_1$，垂足为D，CD即为第一条河上的桥的位置；
5. 过点E作$EF ⊥ l_4$，垂足为F，EF即为第二条河上的桥的位置；
总路程中AD=A'C、FB=EB'，总长度为$a+b+A'B'$，根据两点之间线段最短，此时总路程最短。
【答案】
造桥的作图步骤如下：
① 把点A沿垂直于河岸$l_1$的方向向下平移$a$个单位长度，得到点$A'$；
② 把点B沿垂直于河岸$l_4$的方向向上平移$b$个单位长度，得到点$B'$；
③ 连接$A'B'$，交河岸$l_2$于点C，交河岸$l_3$于点E；
④ 过点C作$CD ⊥ l_1$，垂足为D，线段CD就是第一条河上所造桥的位置；
⑤ 过点E作$EF ⊥ l_4$，垂足为F，线段EF就是第二条河上所造桥的位置；
⑥ 连接AD、FB，路径$AD \to DC \to CE \to EF \to FB$即为A、B之间的最短路程。
【知识点】
平移的性质；两点之间线段最短；垂线的性质
【点评】
本题是最短路径中的经典造桥选址拓展问题，解题核心是利用平移将固定的桥长进行转化，把含有多段垂直河岸路径的折线最短问题，转化为更简单的两点之间线段最短的问题，掌握这种转化思想就能轻松解决同类的多河造桥选址问题。
【难度系数】
0.6
4. 提升题 如图，在平面直角坐标系中，长方形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A，B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OB=6，D为边OB的中点。若E，F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点F的坐标。
答案
解：
由题意可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,6)$，$C(4,6)$。
∵$D$为$OB$中点，$OB=6$，
∴$D(0,3)$。
四边形$CDEF$的周长为$CD + DE + EF + FC$，其中$CD$、$EF$为定值，$EF=2$，因此要使四边形$CDEF$周长最小，只需$DE + CF$最小。
将点$D$沿$x$轴正方向平移2个单位，得到点$D'(2,3)$，则$DE = D'F$。
作点$D'$关于$x$轴的对称点$D''$，得$D''(2,-3)$，由轴对称性质得$D''F = D'F$，因此$DE + CF = CF + D''F$。
根据两点之间线段最短，连接$CD''$，与$x$轴的交点即为所求的点$F$，此时$CF + D''F$最小。
设直线$CD''$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(4,6)$、$D''(2,-3)$代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 6 \\ 2k + b = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=\dfrac{9}{2} \\ b=-12 \end{cases}$
∴直线$CD''$的解析式为$y=\dfrac{9}{2}x -12$。
令$y=0$，得$\dfrac{9}{2}x -12=0$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
∴点$F$的坐标为$(\dfrac{8}{3},0)$。
由题意可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,6)$，$C(4,6)$。
∵$D$为$OB$中点，$OB=6$，
∴$D(0,3)$。
四边形$CDEF$的周长为$CD + DE + EF + FC$，其中$CD$、$EF$为定值，$EF=2$，因此要使四边形$CDEF$周长最小，只需$DE + CF$最小。
将点$D$沿$x$轴正方向平移2个单位，得到点$D'(2,3)$，则$DE = D'F$。
作点$D'$关于$x$轴的对称点$D''$，得$D''(2,-3)$，由轴对称性质得$D''F = D'F$，因此$DE + CF = CF + D''F$。
根据两点之间线段最短，连接$CD''$，与$x$轴的交点即为所求的点$F$，此时$CF + D''F$最小。
设直线$CD''$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(4,6)$、$D''(2,-3)$代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 6 \\ 2k + b = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=\dfrac{9}{2} \\ b=-12 \end{cases}$
∴直线$CD''$的解析式为$y=\dfrac{9}{2}x -12$。
令$y=0$，得$\dfrac{9}{2}x -12=0$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
∴点$F$的坐标为$(\dfrac{8}{3},0)$。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先分析四边形CDEF的周长组成：CD和EF是固定长度，所以周长最小等价于$DE+CF$的和最小。由于E、F在x轴上且EF=2，先将点D沿x轴正方向平移2个单位得到$D'$，此时$DE=D'F$，即可把$DE+CF$转化为$D'F+CF$。接下来利用轴对称的性质，作$D'$关于x轴的对称点$D''$，则$D'F=D''F$，进一步将线段和转化为$D''F+CF$，根据两点之间线段最短，连接$CD''$与x轴的交点就是所求的F点，最后求出直线$CD''$的解析式，令$y=0$即可得到F的横坐标。
【解析】
由题意可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,6)$，$C(4,6)$。
∵$D$为$OB$中点，$OB=6$，
∴$D(0,3)$。
四边形$CDEF$的周长为$CD + DE + EF + FC$，其中$CD$、$EF$为定值，$EF=2$，因此要使四边形$CDEF$周长最小，只需$DE + CF$最小。
将点$D$沿$x$轴正方向平移2个单位，得到点$D'(2,3)$，则$DE = D'F$。
作点$D'$关于$x$轴的对称点$D''$，得$D''(2,-3)$，由轴对称性质得$D''F = D'F$，因此$DE + CF = CF + D''F$。
根据两点之间线段最短，连接$CD''$，与$x$轴的交点即为所求的点$F$，此时$CF + D''F$最小。
设直线$CD''$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(4,6)$、$D''(2,-3)$代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 6 \\ 2k + b = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=\dfrac{9}{2} \\ b=-12 \end{cases}$
∴直线$CD''$的解析式为$y=\dfrac{9}{2}x -12$。
令$y=0$，得$\dfrac{9}{2}x -12=0$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
∴点$F$的坐标为$(\dfrac{8}{3},0)$。
【答案】
$\boldsymbol{( \dfrac{8}{3},0 )}$
【知识点】
最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是将军饮马最短路径模型的变形应用，综合了平移、轴对称的性质以及一次函数的相关知识，解题核心是通过平移消除定长EF的影响，再利用轴对称将两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.4
要解决这个问题，首先分析四边形CDEF的周长组成：CD和EF是固定长度，所以周长最小等价于$DE+CF$的和最小。由于E、F在x轴上且EF=2，先将点D沿x轴正方向平移2个单位得到$D'$，此时$DE=D'F$，即可把$DE+CF$转化为$D'F+CF$。接下来利用轴对称的性质，作$D'$关于x轴的对称点$D''$，则$D'F=D''F$，进一步将线段和转化为$D''F+CF$，根据两点之间线段最短，连接$CD''$与x轴的交点就是所求的F点，最后求出直线$CD''$的解析式，令$y=0$即可得到F的横坐标。
【解析】
由题意可得各点坐标：$O(0,0)$，$A(4,0)$，$B(0,6)$，$C(4,6)$。
∵$D$为$OB$中点，$OB=6$，
∴$D(0,3)$。
四边形$CDEF$的周长为$CD + DE + EF + FC$，其中$CD$、$EF$为定值，$EF=2$，因此要使四边形$CDEF$周长最小，只需$DE + CF$最小。
将点$D$沿$x$轴正方向平移2个单位，得到点$D'(2,3)$，则$DE = D'F$。
作点$D'$关于$x$轴的对称点$D''$，得$D''(2,-3)$，由轴对称性质得$D''F = D'F$，因此$DE + CF = CF + D''F$。
根据两点之间线段最短，连接$CD''$，与$x$轴的交点即为所求的点$F$，此时$CF + D''F$最小。
设直线$CD''$的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将$C(4,6)$、$D''(2,-3)$代入得：
$\begin{cases} 4k + b = 6 \\ 2k + b = -3 \end{cases}$
解得：
$\begin{cases} k=\dfrac{9}{2} \\ b=-12 \end{cases}$
∴直线$CD''$的解析式为$y=\dfrac{9}{2}x -12$。
令$y=0$，得$\dfrac{9}{2}x -12=0$，解得$x=\dfrac{8}{3}$。
∴点$F$的坐标为$(\dfrac{8}{3},0)$。
【答案】
$\boldsymbol{( \dfrac{8}{3},0 )}$
【知识点】
最短路径问题，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质
【点评】
本题是将军饮马最短路径模型的变形应用，综合了平移、轴对称的性质以及一次函数的相关知识，解题核心是通过平移消除定长EF的影响，再利用轴对称将两条线段和的最小值转化为两点之间线段最短的问题，较好地考查了转化思想的应用。
【难度系数】
0.4
