1. 下列方程属于一元二次方程的是()

A.$x^2 - 3x + y = 0$
B.$x^2 + 2x = \frac{1}{x}$
C.$2x^2 = 5x$
D.$x(x^2 - 4x) = 3$

1. C

【分析】
要判断一个方程是否为一元二次方程，首先要明确一元二次方程的三个核心判定条件：1.是整式方程；2.只含有1个未知数；3.未知数的最高次数为2，且二次项系数不为0。解题时我们可以逐一对照这三个条件分析每个选项，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们对每个选项逐一判断：
A选项：方程中含有x、y两个未知数，不符合“只含有一个未知数”的要求，不是一元二次方程；
B选项：方程右侧含有$\frac{1}{x}$，属于分式，该方程是分式方程，不是整式方程，因此不属于一元二次方程；
C选项：整理得$2x^2-5x=0$，仅含有未知数x，x的最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义；
D选项：将左侧展开得$x^3-4x^2=3$，未知数x的最高次数为3，不符合“最高次数为2”的要求，不是一元二次方程。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义
2.整式与分式的区分
3.单项式乘多项式运算
【点评】
本题是一元二次方程判定的基础题，解题的关键是牢记一元二次方程的三个判定要点，注意需要先将方程化简为最简形式后再判断未知数的最高次数，同时要区分整式方程和分式方程，避免被方程的表面形式误导。
【难度系数】
0.8

2. 一元二次方程$x(x-1)=(x-1)$的解是()

A.$x=0$
B.$x=1$
C.$x=-1$
D.$x=0$或$x=1$

2. B

【分析】
解本题首先要注意，不能直接在方程两边同时除以含未知数的式子(x-1)，否则会导致计算错误。正确解题思路是：先将等号右侧的项移到左侧，再提取公因式对左侧式子进行因式分解，最后根据“两个因式的乘积为0，则至少一个因式为0”求解，也可以代入原方程验证解的正确性。
【解析】
对原方程进行移项，得：
$x(x-1) - (x-1) = 0$
提取公因式$(x-1)$，可得：
$(x-1)(x - 1) = 0$，即$(x-1)^2 = 0$
解得$x_1=x_2=1$
代入验证：当$x=1$时，左边$=1×(1-1)=0$，右边$=1-1=0$，左边=右边，成立；当$x=0$时，左边$=0×(0-1)=0$，右边$=0-1=-1$，左右两边不相等，故$x=0$不是方程的解。
因此方程的解为$x=1$。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的解法，因式分解法解方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题，易错点是未移项直接两边除以(x-1)，或提取公因式时计算错误误选D，解题时牢记先移项再因式分解，必要时代入验证可避免错误。
【难度系数】
0.6