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3. 用配方法解方程$x^2 - 2x - 1 = 0$时，配方结果正确的是(
A.$(x-1)^2=2$
B.$(x-1)^2=1$
C.$(x+1)^2=1$
D.$(x+1)^2=2$
A
)A.$(x-1)^2=2$
B.$(x-1)^2=1$
C.$(x+1)^2=1$
D.$(x+1)^2=2$
答案
3. A
解析
【分析】
要解决用配方法配方的问题，首先回忆配方法的操作步骤：①先移项，把方程中的常数项移到等号的右边，只保留含未知数的项在左边；②配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方的形式，最后对照选项判断即可。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将常数项-1移到等号右侧，注意移项要变号，得：
$x^2 - 2x = 1$
接下来配方，一次项系数是-2，它的一半是-1，平方为$(-1)^2=1$，给方程左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 1 + 1$
左边根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可化为$(x-1)^2$，右边计算得2，即：
$(x-1)^2 = 2$
因此配方结果正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法的操作步骤，要特别注意移项时符号的变化，以及配方时等式两边需要同时加上相同的常数，避免只给左边加而漏加右边的情况。
【难度系数】
0.8
要解决用配方法配方的问题，首先回忆配方法的操作步骤：①先移项，把方程中的常数项移到等号的右边，只保留含未知数的项在左边；②配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，把左边凑成完全平方的形式，最后对照选项判断即可。
【解析】
解：首先对原方程进行移项，将常数项-1移到等号右侧，注意移项要变号，得：
$x^2 - 2x = 1$
接下来配方，一次项系数是-2，它的一半是-1，平方为$(-1)^2=1$，给方程左右两边同时加1，得：
$x^2 - 2x + 1 = 1 + 1$
左边根据完全平方公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，可化为$(x-1)^2$，右边计算得2，即：
$(x-1)^2 = 2$
因此配方结果正确的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
配方法解一元二次方程、完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，核心是掌握配方法的操作步骤，要特别注意移项时符号的变化，以及配方时等式两边需要同时加上相同的常数，避免只给左边加而漏加右边的情况。
【难度系数】
0.8
4. 写出一个一元二次方程,使它的二次项系数为1,其中一个根为2,另一个为－3,这个一元二次方程是
$x^2+x-6=0$
.答案
4. $x^2+x-6=0$
解析
【分析】
要构造满足条件的一元二次方程，首先明确已知条件：二次项系数为1，两个根分别为2和-3。我们可以利用一元二次方程的根与因式的对应关系来思考：如果一个一元二次方程的根是$x_1$和$x_2$，且二次项系数为1，那么这个方程可以写成$(x - x_1)(x - x_2) = 0$的形式，代入根后展开整理就能得到所求方程。
【解析】
已知方程二次项系数为1，两根分别为$x_1=2$，$x_2=-3$，根据根对应的因式形式，可先写出方程的因式分解形式：
$(x - 2)(x - (-3)) = 0$
化简得：
$(x - 2)(x + 3) = 0$
用多项式乘法展开左边：
$x^2 + 3x - 2x - 6 = 0$
合并同类项得：
$x^2 + x - 6 = 0$
【答案】
$x^2+x-6=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的根的意义
2. 多项式乘法运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心是利用方程的根构造对应因式，再通过展开得到标准形式，解题时要注意根与因式中常数项的符号对应，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
要构造满足条件的一元二次方程，首先明确已知条件：二次项系数为1，两个根分别为2和-3。我们可以利用一元二次方程的根与因式的对应关系来思考：如果一个一元二次方程的根是$x_1$和$x_2$，且二次项系数为1，那么这个方程可以写成$(x - x_1)(x - x_2) = 0$的形式，代入根后展开整理就能得到所求方程。
【解析】
已知方程二次项系数为1，两根分别为$x_1=2$，$x_2=-3$，根据根对应的因式形式，可先写出方程的因式分解形式：
$(x - 2)(x - (-3)) = 0$
化简得：
$(x - 2)(x + 3) = 0$
用多项式乘法展开左边：
$x^2 + 3x - 2x - 6 = 0$
合并同类项得：
$x^2 + x - 6 = 0$
【答案】
$x^2+x-6=0$
【知识点】
1. 一元二次方程的根的意义
2. 多项式乘法运算
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心是利用方程的根构造对应因式，再通过展开得到标准形式，解题时要注意根与因式中常数项的符号对应，避免符号出错。
【难度系数】
0.8
5. 已知关于x的一元二次方程$x^2+ax+b=0$有一个非零根$-b$,则$a-b$的值为
1
.答案
5. 1
解析
【分析】
解题思路可按以下步骤走：第一步，回忆一元二次方程根的定义：如果一个数是方程的根，将其代入方程后等式左右两边相等；第二步，把已知的非零根$-b$代入原方程，得到关于$a$、$b$的等式；第三步，利用“根是非零数”的条件，即$-b≠0$也就是$b≠0$，对得到的等式进行化简；第四步，从化简后的式子整理得出$a-b$的数值。
【解析】
$\because x=-b$是一元二次方程$x^2+ax+b=0$的非零根
$\therefore$将$x=-b$代入方程得：
$(-b)^2+a·(-b)+b=0$
整理得：$b^2-ab+b=0$
$\because$根$-b$是非零数，$\therefore b≠0$，等式两边同时除以$b$得：
$b - a + 1 = 0$
移项可得：$a - b = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心是掌握方程根的定义，解题时要注意利用题干给出的“非零根”条件，避免出现漏用条件无法化简的问题。
【难度系数】
0.8
解题思路可按以下步骤走：第一步，回忆一元二次方程根的定义：如果一个数是方程的根，将其代入方程后等式左右两边相等；第二步，把已知的非零根$-b$代入原方程，得到关于$a$、$b$的等式；第三步，利用“根是非零数”的条件，即$-b≠0$也就是$b≠0$，对得到的等式进行化简；第四步，从化简后的式子整理得出$a-b$的数值。
【解析】
$\because x=-b$是一元二次方程$x^2+ax+b=0$的非零根
$\therefore$将$x=-b$代入方程得：
$(-b)^2+a·(-b)+b=0$
整理得：$b^2-ab+b=0$
$\because$根$-b$是非零数，$\therefore b≠0$，等式两边同时除以$b$得：
$b - a + 1 = 0$
移项可得：$a - b = 1$
【答案】
1
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 等式的基本性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心是掌握方程根的定义，解题时要注意利用题干给出的“非零根”条件，避免出现漏用条件无法化简的问题。
【难度系数】
0.8
6. 用合适的方法解下列方程：
（1）$x^2 + 4x = 0.$
（2）$4x^2 - 9 = 0.$
（1）$x^2 + 4x = 0.$
（2）$4x^2 - 9 = 0.$
答案
（1）$x_1=0,x_2=-4$ （2）$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{3}{2}$
解析
【分析】
这两道一元二次方程均可采用因式分解法简化求解，无需使用配方法或公式法：
（1）方程无常数项，左侧可提取公因式x，分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解；
（2）方程无一次项，左侧符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式分解因式后，同理转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
（1）解：对$x^2 + 4x = 0$左侧提取公因式，得
$x(x + 4) = 0$
则$x = 0$或$x + 4 = 0$
解得$x_1=0$，$x_2=-4$
（2）解：将$4x^2 - 9 = 0$变形为平方差形式，得
$(2x)^2 - 3^2 = 0$
利用平方差公式分解因式，得
$(2x + 3)(2x - 3) = 0$
则$2x + 3 = 0$或$2x - 3 = 0$
分别解得$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{3}{2}$
【答案】
（1）$x_1=0,x_2=-4$ （2）$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题的关键是观察方程的结构特征，选择最简便的解法，熟练掌握常见的因式分解方法能大幅提升这类题的解题速度和正确率。
【难度系数】
0.9
这两道一元二次方程均可采用因式分解法简化求解，无需使用配方法或公式法：
（1）方程无常数项，左侧可提取公因式x，分解为两个一次因式的乘积，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”转化为两个一元一次方程求解；
（2）方程无一次项，左侧符合平方差公式的结构特征，利用平方差公式分解因式后，同理转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
（1）解：对$x^2 + 4x = 0$左侧提取公因式，得
$x(x + 4) = 0$
则$x = 0$或$x + 4 = 0$
解得$x_1=0$，$x_2=-4$
（2）解：将$4x^2 - 9 = 0$变形为平方差形式，得
$(2x)^2 - 3^2 = 0$
利用平方差公式分解因式，得
$(2x + 3)(2x - 3) = 0$
则$2x + 3 = 0$或$2x - 3 = 0$
分别解得$x_1=-\frac{3}{2}$，$x_2=\frac{3}{2}$
【答案】
（1）$x_1=0,x_2=-4$ （2）$x_1=-\frac{3}{2},x_2=\frac{3}{2}$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法因式分解，平方差公式
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题型，解题的关键是观察方程的结构特征，选择最简便的解法，熟练掌握常见的因式分解方法能大幅提升这类题的解题速度和正确率。
【难度系数】
0.9
7. 已知关于x的一元二次方程$(m-2)x^2+mx+m^2-4=0$有一个根是0,则m的值为
$-2$
.答案
7. $-2$
解析
【分析】
解题时要抓住题目给出的两个关键条件：①方程是一元二次方程，因此要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；②方程有一个根是0，说明x=0代入方程等式成立。解题步骤为先根据根的定义代入x=0求出m的可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的条件对m的取值进行取舍，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2+mx+m^2-4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$
又
∵ $x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程得：
$(m-2)×0^2 + m×0 + m^2 - 4 = 0$
化简得$m^2 - 4 = 0$
解得$m=2$或$m=-2$
结合$m≠2$的限制条件，可得$m=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础易错题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免未对求解出的m值进行取舍导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时要抓住题目给出的两个关键条件：①方程是一元二次方程，因此要满足一元二次方程的定义，即二次项系数不为0；②方程有一个根是0，说明x=0代入方程等式成立。解题步骤为先根据根的定义代入x=0求出m的可能取值，再结合一元二次方程二次项系数不为0的条件对m的取值进行取舍，就能得到正确结果。
【解析】
解：
∵ 方程$(m-2)x^2+mx+m^2-4=0$是一元二次方程
∴ 二次项系数不为0，即$m-2≠0$，解得$m≠2$
又
∵ $x=0$是方程的根，将$x=0$代入原方程得：
$(m-2)×0^2 + m×0 + m^2 - 4 = 0$
化简得$m^2 - 4 = 0$
解得$m=2$或$m=-2$
结合$m≠2$的限制条件，可得$m=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根的定义
【点评】
本题是一元二次方程的基础易错题，解题的关键是不要忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，避免未对求解出的m值进行取舍导致错误。
【难度系数】
0.7
8. 若$a^2 - 3a + 1 = 0$，则$a^2 + \dfrac{1}{a^2}$的值为
7
.答案
8. 7
解析
【分析】
首先观察已知等式和所求代数式的特征，先判断a的取值：若a=0，代入已知等式左边得1≠0，因此a≠0，可对已知等式两边同时除以a，得到a + 1/a的数值。再结合完全平方公式的变形：$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = (a + \dfrac{1}{a})^2 - 2$，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a^2 - 3a + 1 = 0$，
若$a=0$，则左边$=0 - 0 + 1 = 1≠0$，故$a≠0$，
将等式两边同时除以$a$，得：$a - 3 + \dfrac{1}{a} = 0$，
整理得：$a + \dfrac{1}{a} = 3$，
将等式两边同时平方，得：$(a + \dfrac{1}{a})^2 = 3^2$，
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 9$，
化简得：$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 9$，
移项计算得：$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、等式的性质、代数式求值
【点评】
本题的解题核心是挖掘已知等式的隐含条件$a≠0$，先通过等式变形得到a与$\dfrac{1}{a}$的和，再利用完全平方公式的变形间接求解所求代数式的值，不需要直接解出a的数值，体现了整体代入的思想。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式和所求代数式的特征，先判断a的取值：若a=0，代入已知等式左边得1≠0，因此a≠0，可对已知等式两边同时除以a，得到a + 1/a的数值。再结合完全平方公式的变形：$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = (a + \dfrac{1}{a})^2 - 2$，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a^2 - 3a + 1 = 0$，
若$a=0$，则左边$=0 - 0 + 1 = 1≠0$，故$a≠0$，
将等式两边同时除以$a$，得：$a - 3 + \dfrac{1}{a} = 0$，
整理得：$a + \dfrac{1}{a} = 3$，
将等式两边同时平方，得：$(a + \dfrac{1}{a})^2 = 3^2$，
根据完全平方公式展开左边：$a^2 + 2· a· \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{a^2} = 9$，
化简得：$a^2 + 2 + \dfrac{1}{a^2} = 9$，
移项计算得：$a^2 + \dfrac{1}{a^2} = 9 - 2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
完全平方公式、等式的性质、代数式求值
【点评】
本题的解题核心是挖掘已知等式的隐含条件$a≠0$，先通过等式变形得到a与$\dfrac{1}{a}$的和，再利用完全平方公式的变形间接求解所求代数式的值，不需要直接解出a的数值，体现了整体代入的思想。
【难度系数】
0.7
