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9. 已知$(x^2+y^2)(x^2+y^2-1)=12$，则$x^2+y^2$的值是
4
。答案
9. 4
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，发现两个括号中都含有相同的代数式$x^2+y^2$，直接展开计算复杂度高，因此考虑用换元法简化运算。首先将$x^2+y^2$设为新变量$t$，再根据平方的非负性确定$t$的取值范围是$t≥0$，代入原式后可转化为关于$t$的一元二次方程，求解后舍去不符合取值范围的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设$t = x^2 + y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，
将其代入原等式得：$t(t-1)=12$，
整理为一元二次方程的一般形式：$t^2 - t - 12 = 0$，
因式分解得：$(t-4)(t+3)=0$，
解得$t_1=4$，$t_2=-3$，
因为$t≥0$，所以$t=-3$不符合要求，舍去，
因此$x^2+y^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解法、平方的非负性
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题核心是识别式子中重复出现的整体，通过换元将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，同时要注意结合代数式本身的隐含取值范围剔除增根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
首先观察已知等式的结构，发现两个括号中都含有相同的代数式$x^2+y^2$，直接展开计算复杂度高，因此考虑用换元法简化运算。首先将$x^2+y^2$设为新变量$t$，再根据平方的非负性确定$t$的取值范围是$t≥0$，代入原式后可转化为关于$t$的一元二次方程，求解后舍去不符合取值范围的根，即可得到最终结果。
【解析】
解：设$t = x^2 + y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，
将其代入原等式得：$t(t-1)=12$，
整理为一元二次方程的一般形式：$t^2 - t - 12 = 0$，
因式分解得：$(t-4)(t+3)=0$，
解得$t_1=4$，$t_2=-3$，
因为$t≥0$，所以$t=-3$不符合要求，舍去，
因此$x^2+y^2=4$。
【答案】
4
【知识点】
换元法解方程、一元二次方程的解法、平方的非负性
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，解题核心是识别式子中重复出现的整体，通过换元将复杂方程转化为熟悉的一元二次方程求解，同时要注意结合代数式本身的隐含取值范围剔除增根，避免出现多解错误。
【难度系数】
0.6
10. 由多项式乘法$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:$x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)$.如分解因式:$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)$.
(1) 分解因式:$x^2+6x+8=\_\_\_\_\_\_$.
(2) 请用上述方法解下列方程:
①$x^2-5x-6=0$.
②$2x^2-x-3=0$.
(1) 分解因式:$x^2+6x+8=\_\_\_\_\_\_$.
(2) 请用上述方法解下列方程:
①$x^2-5x-6=0$.
②$2x^2-x-3=0$.
答案
(1) $(x+2)(x+4)$ (2) ① $x_1=6,x_2=-1$ ② $x_1=\frac{3}{2},x_2=-1$
解析
【分析】
本题考查十字相乘法因式分解及因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：
(1) 对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$，只需找到两个数$a、b$，满足$a+b=p$，$ab=q$，即可直接套用公式分解为$(x+a)(x+b)$。本题中$p=6$，$q=8$，找和为6、积为8的两个数即可分解。
(2) 解一元二次方程时，先将方程左边用十字相乘法分解为两个一次式的乘积，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。其中第②小题二次项系数不为1，需将二次项系数拆为两个正整数的乘积，常数项拆为两个整数的乘积，交叉相乘求和恰好等于一次项系数即可完成拆分。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$，找到两个数2和4，满足$2+4=6$，$2×4=8$，因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
(2) ① 解方程$x^2-5x-6=0$：
首先对左边因式分解，找到两个数-6和1，满足$-6+1=-5$，$-6×1=-6$，因此：
$(x-6)(x+1)=0$
可得$x-6=0$或$x+1=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-1$
② 解方程$2x^2-x-3=0$：
将二次项系数2拆为$2×1$，常数项-3拆为$-3×1$，交叉相乘：$2×1 + 1×(-3)=-1$，恰好等于一次项系数，因此左边分解为：
$(2x-3)(x+1)=0$
可得$2x-3=0$或$x+1=0$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $(x+2)(x+4)$
(2) ① $x_1=6,x_2=-1$；② $x_1=\frac{3}{2},x_2=-1$
【知识点】
1. 十字相乘法因式分解
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，核心是掌握十字相乘的拆分技巧，二次项系数为1时重点匹配常数项的因数和与一次项系数，二次项系数不为1时需兼顾二次项、常数项的拆分，交叉验证一次项系数即可。该方法是解一元二次方程的简便方法，熟练掌握可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.75
本题考查十字相乘法因式分解及因式分解法解一元二次方程，解题思路如下：
(1) 对于二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$，只需找到两个数$a、b$，满足$a+b=p$，$ab=q$，即可直接套用公式分解为$(x+a)(x+b)$。本题中$p=6$，$q=8$，找和为6、积为8的两个数即可分解。
(2) 解一元二次方程时，先将方程左边用十字相乘法分解为两个一次式的乘积，根据“若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到原方程的根。其中第②小题二次项系数不为1，需将二次项系数拆为两个正整数的乘积，常数项拆为两个整数的乘积，交叉相乘求和恰好等于一次项系数即可完成拆分。
【解析】
(1) 对$x^2+6x+8$，找到两个数2和4，满足$2+4=6$，$2×4=8$，因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
(2) ① 解方程$x^2-5x-6=0$：
首先对左边因式分解，找到两个数-6和1，满足$-6+1=-5$，$-6×1=-6$，因此：
$(x-6)(x+1)=0$
可得$x-6=0$或$x+1=0$
解得$x_1=6$，$x_2=-1$
② 解方程$2x^2-x-3=0$：
将二次项系数2拆为$2×1$，常数项-3拆为$-3×1$，交叉相乘：$2×1 + 1×(-3)=-1$，恰好等于一次项系数，因此左边分解为：
$(2x-3)(x+1)=0$
可得$2x-3=0$或$x+1=0$
解得$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=-1$
【答案】
(1) $(x+2)(x+4)$
(2) ① $x_1=6,x_2=-1$；② $x_1=\frac{3}{2},x_2=-1$
【知识点】
1. 十字相乘法因式分解
2. 因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是十字相乘法的基础应用题型，核心是掌握十字相乘的拆分技巧，二次项系数为1时重点匹配常数项的因数和与一次项系数，二次项系数不为1时需兼顾二次项、常数项的拆分，交叉验证一次项系数即可。该方法是解一元二次方程的简便方法，熟练掌握可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.75
配方法是解一元二次方程的重要方法,其主要步骤是将方程左边配成一个完全平方式,右边为一个非负常数.配方法可以将一个看似不能因式分解的多项式进行因式分解,还可以解决一些代数式的最值问题.如分解因式$x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2+2x)(x^2+2-2x)$,代数式$x^2-2x-3=(x^2-2x+1)-4=(x-1)^2-4$,所以代数式的最小值为$-4$.
【尝试解决】
（1）用配方法证明:无论$x$取何值时,代数式$x^2-x+1$的值总大于0.
（2）请用配方法说明代数式$2x^2-8x+1$有最大值还是最小值?若有,请求出该值,并说出此时$x$为何值;若没有,请说明理由.
变式:代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值或最小值吗?若有,求出当$x$为何值时代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$取得最大值或最小值,并求出这个最大值或最小值.
【尝试解决】
（1）用配方法证明:无论$x$取何值时,代数式$x^2-x+1$的值总大于0.
（2）请用配方法说明代数式$2x^2-8x+1$有最大值还是最小值?若有,请求出该值,并说出此时$x$为何值;若没有,请说明理由.
变式:代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值或最小值吗?若有,求出当$x$为何值时代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$取得最大值或最小值,并求出这个最大值或最小值.
答案
（1）
∵代数式$x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
∴无论$x$取何值,代数式$x^2-x+1$的值总大于0.
（2）当$x=2$时,$2x^2-8x+1$有最小值$-7$.
变式:代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值.当$x=1$时,代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值13.
∵代数式$x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
∴无论$x$取何值,代数式$x^2-x+1$的值总大于0.
（2）当$x=2$时,$2x^2-8x+1$有最小值$-7$.
变式:代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值.当$x=1$时,代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值13.
解析
【分析】
（1）要证明代数式的值总大于0，可通过配方法将代数式变形为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方式的非负性（任何数的平方≥0），加上正数后结果必然大于0即可得证。
（2）对于二次项系数不为1的二次代数式，先提取二次项系数，将二次项、一次项组合后配方，变形为$a(x-h)^2+k$的形式，再根据$a$的正负判断最值：$a＞0$时有最小值$k$，$a＜0$时有最大值$k$，对应取最值时$x=h$。
变式：观察分式的分子和分母，发现分子的二次、一次项与分母的二次、一次项成倍数关系，先将分母配方，再把分子拆分为分母的整数倍加常数，将分式变形为“常数+简单分式”的形式，结合完全平方式的非负性即可判断最值。
【解析】
（1）对$x^2-x+1$配方：
$x^2-x+1=x^2-x+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$\because (x-\frac{1}{2})^2≥0$，$\therefore (x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$
即无论$x$取何值，代数式$x^2-x+1$的值总大于0。
（2）对$2x^2-8x+1$配方：
先提取二次项系数：$2x^2-8x+1=2(x^2-4x)+1$
括号内配方得：$2(x^2-4x+4-4)+1=2(x-2)^2-8+1=2(x-2)^2-7$
$\because 2＞0$，$\therefore 2(x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$2(x-2)^2=0$，代数式取得最小值$-7$。
变式：先对分母配方：$x^2-2x+2=(x-1)^2+1≥1＞0$，分母恒为正。
拆分分子：$5x^2-10x+18=5(x^2-2x+2)+8$
$\therefore$原式$=\frac{5(x^2-2x+2)+8}{x^2-2x+2}=5+\frac{8}{(x-1)^2+1}$
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2+1≥1$，当$x=1$时，$(x-1)^2+1$取最小值1，此时$\frac{8}{(x-1)^2+1}$取最大值8，代数式的最大值为$5+8=13$。
【答案】
（1）
∵代数式$x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
∴无论$x$取何值,代数式$x^2-x+1$的值总大于0.
（2）当$x=2$时,$2x^2-8x+1$有最小值$-7$.
变式:代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值.当$x=1$时,代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值13.
【知识点】
配方法的应用，完全平方式的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用，解题核心是将代数式通过配方转化为含完全平方式的形式，结合平方的非负性分析取值范围，对于分式类代数式，可通过拆分分子简化运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
（1）要证明代数式的值总大于0，可通过配方法将代数式变形为“完全平方式+正数”的形式，利用完全平方式的非负性（任何数的平方≥0），加上正数后结果必然大于0即可得证。
（2）对于二次项系数不为1的二次代数式，先提取二次项系数，将二次项、一次项组合后配方，变形为$a(x-h)^2+k$的形式，再根据$a$的正负判断最值：$a＞0$时有最小值$k$，$a＜0$时有最大值$k$，对应取最值时$x=h$。
变式：观察分式的分子和分母，发现分子的二次、一次项与分母的二次、一次项成倍数关系，先将分母配方，再把分子拆分为分母的整数倍加常数，将分式变形为“常数+简单分式”的形式，结合完全平方式的非负性即可判断最值。
【解析】
（1）对$x^2-x+1$配方：
$x^2-x+1=x^2-x+(\frac{1}{2})^2-(\frac{1}{2})^2+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$
$\because (x-\frac{1}{2})^2≥0$，$\therefore (x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}≥\frac{3}{4}＞0$
即无论$x$取何值，代数式$x^2-x+1$的值总大于0。
（2）对$2x^2-8x+1$配方：
先提取二次项系数：$2x^2-8x+1=2(x^2-4x)+1$
括号内配方得：$2(x^2-4x+4-4)+1=2(x-2)^2-8+1=2(x-2)^2-7$
$\because 2＞0$，$\therefore 2(x-2)^2≥0$，当$x=2$时，$2(x-2)^2=0$，代数式取得最小值$-7$。
变式：先对分母配方：$x^2-2x+2=(x-1)^2+1≥1＞0$，分母恒为正。
拆分分子：$5x^2-10x+18=5(x^2-2x+2)+8$
$\therefore$原式$=\frac{5(x^2-2x+2)+8}{x^2-2x+2}=5+\frac{8}{(x-1)^2+1}$
$\because (x-1)^2≥0$，$\therefore (x-1)^2+1≥1$，当$x=1$时，$(x-1)^2+1$取最小值1，此时$\frac{8}{(x-1)^2+1}$取最大值8，代数式的最大值为$5+8=13$。
【答案】
（1）
∵代数式$x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}＞0$,
∴无论$x$取何值,代数式$x^2-x+1$的值总大于0.
（2）当$x=2$时,$2x^2-8x+1$有最小值$-7$.
变式:代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值.当$x=1$时,代数式$\frac{5x^2-10x+18}{x^2-2x+2}$有最大值13.
【知识点】
配方法的应用，完全平方式的非负性，代数式最值求解
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用，解题核心是将代数式通过配方转化为含完全平方式的形式，结合平方的非负性分析取值范围，对于分式类代数式，可通过拆分分子简化运算，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
